☉江蘇省江陰高級中學 戴 穎

識辨究
——談某點處導數(shù)與切線的關系

☉江蘇省江陰高級中學 戴 穎

數(shù)學發(fā)展的里程碑之一是微積分的創(chuàng)立，它的發(fā)展和廣泛應用開拓了數(shù)學的新紀元，為現(xiàn)代數(shù)學的過渡創(chuàng)造了一個新的研究工具，為變量和函數(shù)研究開拓了不可估量的貢獻．導數(shù)是其一個核心的內容，在高中數(shù)學中“幾起幾落”，舊版教材中曾經由極限引入導數(shù)，改版后又將極限刪除，但是導數(shù)作為核心部分一直保留下來，可以看出教材的編者對其重視程度．

初等微積分在世界各地基本上都已進入高中教材．2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》把微積分初步規(guī)劃于選修系列1（文科）、2（理科），但是出乎意料的是，新教材對微積分初步的編排有悖于傳統(tǒng)教材的編排，舊版教材是按照“極限——連續(xù)——導數(shù)——微分——積分”的關系呈現(xiàn)，而新教材是以“變化率——導數(shù)——積分”的順序編排．筆者兩種版本都教授過，應該說各有利弊，在教學中發(fā)現(xiàn)一個有趣的問題：學生對于其中某一點處導數(shù)存在與否都是不理解的，尤其以新教材教授的學生為甚（大概就是因為新教材刪去了極限）．

針對這一有趣的問題，筆者就蘇教版《高中數(shù)學選修2-2》（以下簡稱“新教材”）中對關于函數(shù)在某一點處是否可導以及切線的存在提出自己的教學想法，供大家參考．

一、導數(shù)概念的深入理解

教材給出的導數(shù)定義略顯簡易．因為導數(shù)即為割線斜率的極限值，所以可以仿照單點極限而詳細化導數(shù)的定義1：

這是首先要解決的導數(shù)概念細化的問題，便于接下去的討論．

二、基本初等函數(shù)

高中教材中對函數(shù)在某一點處連續(xù)是這樣下的定義2：

（1）函數(shù)f（x）在x0處有定義；

（2）函數(shù)f（x）在x0處有極限；

導數(shù)教學中，有這樣一個定理：連續(xù)不一定可導，而可導一定連續(xù)．一線教師都有這樣的親身經歷，其實，學生不太理解這句話．因此也解決不了實際問題．

從高中數(shù)學的基本初等函數(shù)來說，比如：“正比例函數(shù)、多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)”等，函數(shù)在定義域內某點處，處處連續(xù)，但并非處處可導，但切線是否處處存在呢？對于一般的點當然沒有問題，不妨看些特殊的點．

圖1

問題1如圖1，函數(shù)（fx）=是基本初等函數(shù)之一的冪函數(shù)．函數(shù)（fx）在x=0處顯然連續(xù)，但右導數(shù)不存在，同樣左導數(shù)不存在，因此函數(shù)f（x）在x=0處不可導．但進一步思考：函數(shù)f（x）在x=0處的切線存在嗎？盡管有點超越高中數(shù)學的要求，但對愛思考的學生來說，是一種探究．為此，筆者想從兩個方面來談一談．

1．加深理解切線的概念

中學生對切線的理解，是循序漸進的．在初中，一個學生認為直線與圓有一個交點稱為相切；但在高中的圓錐曲線學習中，學生會知道雙曲線和直線有一個交點，但并非相切；在大學數(shù)學中，微分曲線的研究不僅僅是二次曲線，切線和曲線的交點不止一個，所以不能用交點個數(shù)來定義，而是用割線的極限位置定義切線．

圖2

2．切線的幾何意義

定義3：若函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)，且在點x0處的左（或右）導數(shù)存在，則函數(shù)f（x）的圖像在點（x0，f（x0））處的左（或右）半切線存在，且其斜率為f′－（x0）（或f′+（x0））．

圖3

從問題1可知，常見的基本初等函數(shù)在某些特殊點處并非處處可導，但切線依舊存在．導數(shù)概念易從左（右）導數(shù)加深理解，切線的存在可從切線的幾何意義以及左（右）半切線上領會．

三、分段函數(shù)（分界點處是連續(xù)的函數(shù)）

下文討論分界點處連續(xù)的分段函數(shù)．（函數(shù)f（x）在x0處不連續(xù)必不可導、無切線）

分段函數(shù)是函數(shù)的重要組成部分，對分段函數(shù)在某一點處的導數(shù)與切線存在與否的探究，更深刻的理解上述問題1中所闡述的．舉一個淺顯的例子：

圖4

把常見的分界點處連續(xù)的分段函數(shù)可導與切線問題以圖5～8所示：

圖5

圖6

圖7

圖8

由圖5可知：A≠B，左、右半切線不重合，f′（x0）不存在，切線不存在；由圖6可知：A=B，左右半切線重合，f′（x0）存在，切線存在；由圖7可知：A=B=+∞，且同號，f′（x0）不存在，但切線存在（問題1便是此類情形）；由圖8可知：A=－∞，B為有限數(shù)，f′（x0）不存在，切線不存在．

為此，可以有結論：分界點x0處連續(xù)的分段函數(shù)，若點x0是f′（x）的跳躍間斷點或無窮型間斷點，則f（x）在點x0處一定不可導，切線不存在．

四、結束語

對于某一點處導數(shù)與切線的存在與否問題，尤其是一些較為的特殊點（往往也只對特殊的點才需要此類研究），一般可用左右導數(shù)來比較．

本文主要探討高中常見基本初等函數(shù)在特殊點和分段函數(shù)在分界點連續(xù)的前提下，用左右導數(shù)值或左右半切線來判別導數(shù)的存在與否．將數(shù)形結合思想滲透其中，結合左右半切線的概念（對優(yōu)秀學生適時引入），使其提高對切線的理解，從圖像上進行了直觀形象的解釋，從思維上進行了一種突破．

希望通過此類探討，使學生在對某一點處導數(shù)與切線存在與否的問題上有更深刻的認識和理解，對進一步學習導數(shù)打下扎實的基礎．

1．中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］．北京：人民教育出版社，2003．