☉貴州省龍里中學 洪其強（特級教師）

高中“數(shù)學情境與提出問題教學實踐”與啟發(fā)式教學
——“圓錐曲線與對稱問題”的教學案例

☉貴州省龍里中學 洪其強（特級教師）

教學目的：

1.引導學生探索并掌握中心對稱及軸對稱問題的解決方法.

2.通過對稱問題的研究求解，進一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力.

3.通過對稱問題的探討，使學生進一步會運用運動變化的觀點，用化歸的思想處理問題.

教學重點：

兩曲線關(guān)于定點和定直線的對稱問題.

教學難點：

把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為對稱問題，即用對稱的觀點解決實際問題是難點.

教學過程：

師：前面學過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì).今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對稱的問題.大家想一想：點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）關(guān)于點Q（x0，y0）對稱，那么它們的坐標應(yīng)滿足什么關(guān)系？

師：點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）關(guān)于原點對稱，那么它們的坐標又滿足什么關(guān)系？

生：P1和P2的中點是原點.即x1=－x2，且y1=－y2.

師：若P1和P2關(guān)于x軸對稱，它們的坐標又怎樣呢？

生：x1=x2，且y1=－y2.

師：若P1和P2關(guān)于y軸對稱，它們的坐標有什么關(guān)系？

生：x1=－x2，且y1=y2.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=x對稱，它們的坐標又會怎樣？

生：y1=x2，且x1=y2.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=x+a對稱，它們的坐標又會怎樣？

生：y1=x2+a，且x1=y2－a.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=－x對稱，它們的坐標又會怎樣？

生：y1=－x2，且x1=－y2.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=－x+a對稱，它們的坐標又會怎樣？

生：y1=－x2+a，且x1=－y2+a.

師：下面哪位同學來歸納一下，P1和P2關(guān)于點以及上述有關(guān)的對稱問題？

生：橫變縱不變，關(guān)于y軸對稱；縱變橫不變，關(guān)于x軸對稱；橫縱都變負，關(guān)于原點對稱；橫縱都互換，關(guān)于y=x對稱.

生：它們關(guān)于直線y=x對稱.

師：若點P1和點P2關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱，那么它們的位置有何關(guān)系？

生：點P1和點P2必須在直線Ax+By+C=0的異側(cè).

師：還有嗎？

生：P1P2的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直.

師：點P1和點P2在直線Ax+By+C=0的異側(cè)且與直線垂直就能對稱了嗎？

生：還需要保證點P1和點P2的中點落在直線Ax+By+C=0上，也就是說P1和P2的中點坐標滿足直線方程Ax+By+C=0.

師：下面哪位同學來歸納一下，兩點P1和P2關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱應(yīng)滿足的條件？

生：應(yīng)滿足兩個條件.第一個條件是P1P2的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個條件是P1和P2的中點應(yīng)落在直線Ax+By+C=0上.

師：這兩個條件能否用方程表示呢？（在黑板上可畫出圖形，以示直觀）

生：設(shè)P（x，y），則P點關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點為P′（x1，y1），其方程組為：

師：這個方程組說明了什么？它能解決什么問題？

生：方程組中含有x1和y1，也可認為這是一個含x1和y1的二元一次方程組．也就是說，給定一個點P（x，y）和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點P′（x1，y1）的坐標．

師：今后有很多有關(guān)對稱的問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題．

例1 已知直線l1和l2關(guān)于直線2x－2y+1=0對稱，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

（選題目的：熟悉對稱直線方程）

師：哪位同學能談?wù)劊?/p>

生：先求出已知兩直線的交點，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程．

（讓這位同學在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正）

師：還有別的解法嗎？

生：在直線l1上任取一點，求出這點關(guān)于2x－2y+1=0對稱的點，然后再利用兩點式可求出l2的直線方程．

（讓這位學生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正）

師：還有別的解法嗎？

生：在l2上任取一點P（x，y），則P點關(guān)于2x-2y+1=0對稱的點P′（x′，y′）在l1上，列出方程組，解出x′、y′，代入l1，問題就解決了．

師：請你到黑板上把解題過程寫出來．

生：解：設(shè)P（x，y）為l2上的任意一點．

則P點關(guān)于直線2x－2y+1=0對稱點P′（x′，y′）在l1上．

師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對稱的曲線方程呢？

推廣：已知曲線C：f（x，y）=0，求它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的曲線方程．

（選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法）

師：例1中的幾種解法還都適用嗎？

生：第二種和第三種方法還能適用．

師：誰來試一試？

生：可先在曲線C：f（x，y）=0上任取一點P0（x0，y0），它關(guān)于直線的對稱點P ′（x1，y1），可得直線P0P ′與x-y-2=0的交點，從中解出x0、y0，代入曲線C：f（x，y）=0即可．

（讓學生把他的解法寫出來）

解：設(shè)P0（x0，y0）是曲線C：f（x，y）=0上任意一點，它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點為P′（x1，y1），因此，連接P0（x0，y0）和P′（x1，y1）兩點的直線方程為y-y0=-（x-x0）．

師：還有不同的方法嗎？

生：用兩點關(guān)于直線對稱的方法也能解決．

師：把你的解法寫在黑板上．

生：解：設(shè)M（x，y）為所求的曲線上任一點，M0（x0，y0）是M關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：f（x，y）=0上．

師：大家再看一個例子．

例2 已知點A（0，4）和圓C：（x－9）2+（y－8）2=16，一條光線從A點出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經(jīng)過的路程．（如圖1）

師：解這道題的關(guān)鍵是什么？

生：關(guān)鍵是找到光線與x軸的交點．

師：有辦法找到交點嗎？

（沒人回答）

圖1

師：交點不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？

生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx.

（讓這位學生把解答寫在黑板上）

師：巧用對稱性，化簡了計算，很好.哪位同學能把這個題適當改一下，變成另一個題目？

師：誰能解答這個問題？

生：先作點M（－3，0）關(guān)于直線l：x－y+9=0的對稱點M′（－9，6），連接M′N并延長交l于一點，易證該點即是所求的點P.

師：這題還能不能再做些變形，使之成為另一個題目？

師：哪位同學能夠解決？

圖2

師：你怎樣想到先找A點關(guān)于x軸的對稱點A′的呢？

師：很好，大家一起動筆算一算（同時讓這位學生上前面書寫）.

師：我們一起看下面的問題.

例3 若拋物線y=ax2－1上總存在關(guān)于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍.

師：這題的思路是什么？

圖3

師：很好，誰還有不同的解法嗎？

師：今天我們討論了有關(guān)點、直線、曲線關(guān)于定點、定直線對稱的問題.解決這些問題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運用兩點關(guān)于定直線對稱的思想方法，結(jié)合圖像利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

作業(yè)：

1.一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x－4y=0關(guān)于直線l對稱，求直線l的方程.

2.四邊形ABCD是平行四邊形，已知點A（－1，3）和C（－3，2），點D在直線x－3y－1=0上移動，則點B的軌跡方程是______.

3.若光線從點A（－3，5）射到直線3x－4y+4=0之后，反射到點B（3，9），則此光線所經(jīng)過的路程的長是______.

4.已知曲線C：y=－x2+x+2關(guān)于點（a，2a）對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個不同的公共點，求a的取值范圍.

設(shè)計說明：

1.這節(jié)課是一節(jié)專題習題課，也可以認為是復習題，通過討論對稱問題把有關(guān)的知識進行復習，最重要的是充分突出以學生為主體．讓學生討論和發(fā)言，就是讓學生參加到數(shù)學教學中來，使學生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學生的主動性，有利于培養(yǎng)學生獨立思考的習慣，發(fā)展學生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數(shù)學教學中，要有一定的時間讓學生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力．

2．這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，讓學生在腦海里留下一個深刻的印象，對稱問題歸根結(jié)底都可以化成點關(guān)于直線的對稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這個二次方程的判別式大于0，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時，只有站在一定的高度去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時水平才能提高得較快．

3．習題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學生做盡可能少的題，從而讓學生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題．本節(jié)課采取了讓學生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規(guī)律的目的，真正提高學生分析問題、提出問題、解決問題的能力，解決當前學生課業(yè)負擔過重的問題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學生帶來的危害．

4．本課的例題可根據(jù)自己所教學生的實際情況進行選擇，下面幾個備用題可供參考．

題目1 過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，△MAQ的垂心的軌跡方程．

（選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平面幾何簡化計算）

圖4

題目2 若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m（x－3）對稱的兩點，求實數(shù)m的取值范圍．

圖5

（選題目的：結(jié)合對稱問題，訓練反證法的應(yīng)用）

此題證法很多．下面給出一種證法，供參考．

證明：如圖6，若P、Q兩點關(guān)于y=x對稱，可設(shè)P（a，b）、Q（b，a）且a≠b，a、b∈R．

由P、Q在拋物線上，得

圖6

其判別式Δ=4－8＜0，所以a?R，這與題設(shè)矛盾，說明P、Q兩點不存在．