☉江蘇省連云港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 吳 昊

高中數(shù)學(xué)背景 初中數(shù)學(xué)解法
——對(duì)一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的探析

☉江蘇省連云港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 吳 昊

2011年黃岡市中考數(shù)學(xué)壓軸題是一道以高中數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的創(chuàng)新題，該題貌似平凡實(shí)則立意高遠(yuǎn)，突出考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握程度、數(shù)學(xué)思考的深度和廣度、自主探索能力與創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)學(xué)生的思維能力、理解能力、分析問題和解決問題的能力都提出了比較高的要求.下面讓我們一起來“親密接觸”這道試題.

圖1

一、試題回放

例1（2011年黃岡市中考?jí)狠S題）如圖1所示，過點(diǎn)F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點(diǎn)（其中x1＜0，x2＞0）.

（1）求b的值；

（2）求x1x2的值；

（3）分別過M、N作直線l∶y=－1的垂線，垂足分別是M1和N1，判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結(jié)論；

（4）對(duì)于過點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切？如果有，請(qǐng)求出這條直線m的解析式；如果沒有，請(qǐng)說明理由.

二、初中數(shù)學(xué)解法

本題的四個(gè)問題層層遞進(jìn)，體現(xiàn)了中考?jí)狠S題“入手容易深入難，得分容易滿分難”的特點(diǎn).第（1）問很簡(jiǎn)單；第（2）問考查函數(shù)與方程（組）之間的化歸與轉(zhuǎn)化，應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系容易解決；第（3）問考查直角三角形的判定以及數(shù)形結(jié)合思想，考生可運(yùn)用勾股定理的逆定理或相似三角形思考作答；第（4）問較難，可運(yùn)用由特殊到一般的策略來求解：先令MN∥x軸，這時(shí)以MN為直徑的圓剛好與直線l∶y=－1相切，于是猜想所求得的定直線m很有可能就是直線l∶y=－1，剩下的事情就是證明線段MN的中點(diǎn)到直線l的距離等于MN的一半.

解 ：（1）b=1.

（3）△M1FN1是直角三角形，理由如下.

設(shè)M1N1交y軸于點(diǎn)F1，顯然△M1F1F和△N1F1F都是直角三角形.

所以直線y=－1與以MN為直徑的圓相切.

三、高中數(shù)學(xué)背景

這道形式平凡的試題有著深刻的高中數(shù)學(xué)知識(shí)背景：由高中數(shù)學(xué)知識(shí)，可知圖1中的點(diǎn)F（0，1）和直線y=－1分別是拋物線y=x2的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線的定義，可知拋物線y=x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（0，1）的距離等于該點(diǎn)到直線y=－1的距離，在例1第（4）問的解答中，我們創(chuàng)造性地應(yīng)用了拋物線的這個(gè)幾何性質(zhì)，很明顯，這樣的解法是為了迎合初中學(xué)生的智力和水平.

實(shí)際上，拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)層出不窮，變化多端，如果把焦點(diǎn)弦比作一棵參天大樹，那么它的基本性質(zhì)就像是這棵常青樹上盛開的“五朵金花”．

第一朵金花：定值金花

第二朵金花：垂直金花

定理2 拋物線的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影和焦點(diǎn)的連線互相垂直．

這個(gè)定理的證法較多，如類似于例1第（3）問的解法可證，這里再給出一個(gè)簡(jiǎn)單直觀的幾何證法.

第三朵金花：兩個(gè)圓金花

定理3 以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與此拋物線的準(zhǔn)線相切．

定理3類似于例1第（4）問的解法可證，此處從略．

定理4 以拋物線的焦點(diǎn)弦在準(zhǔn)線上的射影為直徑的圓必與焦點(diǎn)弦相切于焦點(diǎn)．

證明：如圖2，根據(jù)定理2，有∠M1FN1=90°，所以點(diǎn)F在以M1N1為直徑的圓上．作出以M1N1為直徑的圓，設(shè)圓心為O1，連接O1F，則O1F是Rt△M1FN1的斜邊上的中線，所以O(shè)1F=O1M1，則∠O1FM1=∠O1M1F.由拋物線的定義可知MF=MM1，所以∠MFM1=∠MM1F.于是∠O1FM=∠MM1F+∠O1M1F=90°，所以⊙O1與MN相切.

第四朵金花：平分金花

定理5 拋物線焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)與準(zhǔn)線和對(duì)稱軸交點(diǎn)的連線所成的角被拋物線的對(duì)稱軸平分．

圖2

圖3

第五朵金花：共線金花

例2 如圖4，拋物線的焦點(diǎn)弦為MN，自M、N分別向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1、N1.

求證：（1）M、O、N1三點(diǎn)共線；

（2）N、O、M1三點(diǎn)共線．

圖4

同理可證N、O、M1三點(diǎn)共線．

例3 如圖4，拋物線的焦點(diǎn)弦為MN，分別延長(zhǎng)MO、NO與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)N1、M1．

求證：MM1∥NN1∥y軸.

同理可證點(diǎn)M1與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)相同.

所以MM1∥NN1∥y軸.

綜合例2和例3可以得到：

定理6 拋物線的焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)和準(zhǔn)線上一點(diǎn)的連線過拋物線頂點(diǎn)的充要條件是該弦的另一個(gè)端點(diǎn)和準(zhǔn)線上這點(diǎn)的連線平行于拋物線的對(duì)稱軸.

四、考后反思

例1作為中考?jí)狠S題，有一定的難度和區(qū)分度，命題專家選取高中數(shù)學(xué)中拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行改造，給予簡(jiǎn)單化和具體化處理，命出此題，雖然是高中數(shù)學(xué)背景，卻是初中數(shù)學(xué)解法，既考查了學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又考查了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)的和諧接軌，讓人耳目一新．以高中數(shù)學(xué)為背景的命題已逐漸為中考命題專家所青睞，本文揭示其背景只是為了讓一線教師把問題看得更加透徹，而沒有必要把相關(guān)知識(shí)引入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加重學(xué)生負(fù)擔(dān)．?dāng)?shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法是根，教師要牢牢把根留??！