☉江蘇省鹽城中學(xué) 孫開(kāi)華

對(duì)一道中考試題的再思考

☉江蘇省鹽城中學(xué) 孫開(kāi)華

二次函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形，圖像上的點(diǎn)除頂點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上以外，其他的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都是成對(duì)出現(xiàn)的，這樣的一對(duì)點(diǎn)和頂點(diǎn)形成的三角形，這里姑且稱(chēng)之為頂點(diǎn)三角形，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，很容易得到它是等腰三角形，并且等腰三角形的頂點(diǎn)就是二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn).因?yàn)樗奶厥庑?，所以成了中考命題者的偏愛(ài)和側(cè)重的重點(diǎn)，那么頂點(diǎn)三角形有哪些規(guī)律呢？下面由一道中考題談起.

參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題：

設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0）、B（x2，0），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形.

（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b2－4ac的值.

（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b2－4ac的值.

解：（1）如圖1.當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，過(guò)C作CE⊥AB于E，則AB=2CE.

本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)及根與系數(shù)的關(guān)系定理.結(jié)合本題求解過(guò)程，可以拓展探究出如下幾條結(jié)論.

命題1：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點(diǎn)為C，與x軸交點(diǎn)為A、B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，Δ=b2-4ac（Δ＞0），那么Δ=4tan2α.

圖1

推論1：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點(diǎn)為C，與x軸交點(diǎn)為A、B，則△ABC為等邊三角形的充要條件是Δ=b2-4ac=12.

推論2：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點(diǎn)為A，與x軸交點(diǎn)為B、C，那么△ABC為直角三角形的充要條件是Δ=b2-4ac=4.

推論3：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點(diǎn)為C，與x軸交點(diǎn)為A、B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，α=30°的充要條件是Δ=b2-4ac=證明略.

如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸交點(diǎn)及頂點(diǎn)構(gòu)不成特殊的等腰直角三角形或等邊三角形，或者二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸根本就沒(méi)有交點(diǎn)，情況又如何呢？

證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D.

圖2

在Rt△ADC中，∠CAD=α，∠CDA=90°，

推論1：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)P（0，n）作y軸的垂線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)A和點(diǎn)B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，則△ABC為等邊三角形的充要條件是Δ′=b2-4ac+4an=Δ+4an=12.

推論2：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)P（0，n）作y軸的垂線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)A和點(diǎn)B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，則△ABC為直角三角形的充要條件是Δ′=b2-4ac+4an=Δ+4an=4.

至此，我們已完全弄清楚了二次函數(shù)中的頂點(diǎn)三角形的特殊性與二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、Δ及角α之間的關(guān)系，這種特殊的關(guān)系給研究函數(shù)的性質(zhì)帶來(lái)許多方便.具體應(yīng)用這里沒(méi)有展開(kāi)闡述，讀者不妨用上述結(jié)論求解下列問(wèn)題：2012年江西、2012年陜西、2012年貴陽(yáng)等中考題里面涉及的頂點(diǎn)三角形以及近年來(lái)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，容易感覺(jué)到規(guī)律給問(wèn)題解決帶來(lái)了便利，節(jié)約了時(shí)間，淡化了問(wèn)題的復(fù)雜性.

往屆中考數(shù)學(xué)試題是一座值得深入挖掘的數(shù)學(xué)金礦，其中蘊(yùn)涵著豐富并極具教育價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有不少中考數(shù)學(xué)試題已經(jīng)進(jìn)入現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材，成為初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)典材料.正如我的老師所言：“處處留心皆學(xué)問(wèn)，平時(shí)留意用數(shù)學(xué)眼光觀察，就能編出許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.”

新的課程改革把教學(xué)定位在人的發(fā)展上，著重要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，因此自主探索成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.在平時(shí)的教學(xué)中，如果教者能夠堅(jiān)持這樣引領(lǐng)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或者通過(guò)這樣的滲透去培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就變成了學(xué)生的主體性、能動(dòng)性的提升過(guò)程，符合了新課程的理念.