☉河北省唐山市路南區(qū)教育局中學(xué)教研室 李姝俠

談垂直化與水平化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

☉河北省唐山市路南區(qū)教育局中學(xué)教研室 李姝俠

水平數(shù)學(xué)化是指由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，是把情景問(wèn)題表述為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，亦指數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平發(fā)展．垂直數(shù)學(xué)化是從符號(hào)到概念的轉(zhuǎn)化或用符號(hào)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，亦指數(shù)學(xué)問(wèn)題的梯度發(fā)展，類似演繹推理．本文擬舉例來(lái)談?wù)劥怪被c水平化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用．

一、新課導(dǎo)入時(shí)應(yīng)用垂直化與水平化

講解《有理數(shù)乘法》時(shí)有以下兩種課堂導(dǎo)入：

例1（水平化實(shí)例）如圖1，一只蝸牛沿直線l爬行，它現(xiàn)在恰好在l上的點(diǎn)O（規(guī)定向右為正）．

圖1

（2）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分鐘后它在什么位置？

（3）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分鐘前它在什么位置？

（4）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分鐘前它在什么位置？

例2（垂直化實(shí)例）

分析：以上兩種不同的導(dǎo)入，不難看出，水平化實(shí)例比較符合七年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)且垂直化實(shí)例不能正確表述類似（-2）×（-4）=8這個(gè)實(shí)例．顯然，水平化的導(dǎo)入為課程順利進(jìn)行做好了積極的鋪墊．

講解《扇形的面積》時(shí)有以下兩種課堂引入：

（水平化引入方法）問(wèn)題情境：制造圓弧型彎曲管道時(shí)，經(jīng)常要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”，再下料．這段展直長(zhǎng)度實(shí)際就是圓弧的弧長(zhǎng)．怎樣計(jì)算這段圓的弧長(zhǎng)呢？這就是本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)身陷局中的年輕人而言，他們關(guān)心的是一份穩(wěn)定的工作；無(wú)良公司盯住的，卻是上萬(wàn)元的貸款，以及可供驅(qū)使的人頭。每個(gè)人一兩萬(wàn)元錢(qián)，對(duì)年輕人而言，可能是很久才能攢夠的積蓄，而對(duì)無(wú)良企業(yè)而言，則是不當(dāng)謀利的工具。

提出問(wèn)題：大家還記得圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式嗎？圓的周長(zhǎng)可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)？

課堂追問(wèn)：1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？

（垂直化引入方法）問(wèn)題思考：設(shè)圓的半徑為R，（1）圓的周長(zhǎng)公式是什么？（2）圓的周長(zhǎng)可以看成是多少度的圓心角所對(duì)的??？（3）1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？（4）n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？

可以看出以上兩種課堂導(dǎo)入的方法都比較簡(jiǎn)潔明了，兩者的區(qū)別在于前面的一段話，可是實(shí)際效果截然不同，此例較好地反應(yīng)出恰當(dāng)運(yùn)用水平化的引入，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．但是如果不能找到這樣很貼切的實(shí)例，單刀直入也不失為上策．

比如：一元二次方程的講解：由于前面學(xué)習(xí)一元二次方程的概念時(shí)已經(jīng)從實(shí)例做了引入，再講用公式法解方程時(shí)就沒(méi)有必要使用水平法引入，可以直接使用垂直法引入．

二、試題講解時(shí)應(yīng)用垂直化與水平化

教師講解角平分線的應(yīng)用時(shí)曾出現(xiàn)如下兩個(gè)題目：

例3（水平化實(shí)例）已知三條公路如圖2所示，現(xiàn)欲建一加油站，保證到三條公路的距離相等，那么可建的加油站的位置有幾個(gè)？

答案：4個(gè).

例4（垂直化實(shí)例）已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？若將三角形三邊改為三條直線，那么這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？

答案：1個(gè)；4個(gè)．

分析：對(duì)于例3，學(xué)生的第一印象是符合條件的點(diǎn)只有一個(gè)，也可以說(shuō)這是幾何教學(xué)中學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)之一．例4則有效地將試題進(jìn)行分解即化綜合為基本，然后將試題進(jìn)行還原，不僅減少了學(xué)生出錯(cuò)的概率而且也能對(duì)同類試題起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用.

圖2

而通常很多時(shí)候教師講解試題時(shí)使用較多的是垂直化.

例5 如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點(diǎn)，∠BCE=15°，且AE=AD.連接DE交AC于點(diǎn)H，連接BH.

求證：（1）EH=DH，AH⊥DE；

（2）△CDE為等邊三角形；

圖3

這樣的例題采用垂直化方法效果會(huì)更好.此題還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入研究，這對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生知識(shí)視野、引發(fā)學(xué)生理性的數(shù)學(xué)思考大有益處.

三、課堂提問(wèn)時(shí)應(yīng)用垂直化與水平化

例6（水平化發(fā)展）教師提問(wèn)：兩圓的位置關(guān)系是什么？

答案：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

例7（垂直化發(fā)展）如果兩圓的半徑分別為2和4，當(dāng)兩圓的圓心距為0.5，4，8，2，6時(shí)，位置關(guān)系如何？請(qǐng)結(jié)合數(shù)軸（如圖4）說(shuō)明問(wèn)題.

答案：d=0.5時(shí)，內(nèi)含；d=4時(shí)，相交；d=8時(shí)，外離；d=2時(shí)，內(nèi)切；d=6時(shí)，外切.

圖4

分析：眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)的反饋主要以符號(hào)語(yǔ)言為主，圖形語(yǔ)言幫助學(xué)生理解記憶，文字語(yǔ)言可以作為一個(gè)簡(jiǎn)要的補(bǔ)充.當(dāng)然，垂直化的提問(wèn)不僅可以使學(xué)生理解知識(shí)更加透徹，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用的數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也可以將學(xué)生的思維引入更深一層的思考.筆者理解，對(duì)于學(xué)生剛剛接觸到的知識(shí)，可以采用水平化提問(wèn)，隨著知識(shí)學(xué)習(xí)的不斷深入以及對(duì)知識(shí)掌握的面越來(lái)越寬，適時(shí)采用垂直化提問(wèn)，能夠集中學(xué)生的注意力，引發(fā)學(xué)生思考、產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、建立知識(shí)聯(lián)系、明確教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生進(jìn)入活躍的求知狀態(tài)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

四、作業(yè)布置時(shí)應(yīng)用垂直化與水平化

精新選擇的作業(yè)布置無(wú)疑是一堂好課的有力補(bǔ)充.教師對(duì)于作業(yè)的布置也時(shí)常呈現(xiàn)大眾作業(yè)與精英作業(yè)，以下兩題正是呈現(xiàn)不同作業(yè)的實(shí)例.

例8 （水平化發(fā)展）如圖5，已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，且AB=6，CD=8，且⊙O的半徑為5，則AB、CD之間的距離時(shí)多少？

圖5

答案：1.

例9 （垂直化發(fā)展）已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，且AB=6，CD=8，且⊙O的半徑為5，則AB、CD之間的距離時(shí)多少？

答案：（需要畫(huà)出圖形（如圖6），分類討論）1或7.

圖6

分析：兩道作業(yè)的區(qū)別就在于有圖與無(wú)圖的區(qū)別，但兩字之差卻將水平發(fā)展與垂直發(fā)展充分體現(xiàn)，這也正是教育學(xué)生仔細(xì)審題、努力提高的關(guān)鍵所在.此題也真正體現(xiàn)了由于圖形不確定而導(dǎo)致的分類討論，所以也符合數(shù)學(xué)細(xì)、精、準(zhǔn)的特點(diǎn).我們倡導(dǎo)“以人為本”的教育理念，就是承認(rèn)差異，張揚(yáng)個(gè)性，提高素質(zhì).所以對(duì)于作業(yè)的布置要進(jìn)行科學(xué)性、針對(duì)性、可行性的選擇和分層，使學(xué)生逐步建立學(xué)習(xí)信心，讓不同層次的學(xué)生都能感覺(jué)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的容易和有趣.

自己在數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行的水平化和垂直化嘗試，實(shí)際就是“因材施教”和“因才施教”的進(jìn)一步體現(xiàn).達(dá)爾文曾說(shuō)過(guò)：“世界上沒(méi)有兩片完全相同的葉子.”生命體之間的各個(gè)方面都存在著差異，同樣作為生命個(gè)體的學(xué)生，也毫不例外地存在著差異.要做到“因才施教”，首要任務(wù)是對(duì)學(xué)生要有全面深刻的了解，對(duì)學(xué)生的智力因素、學(xué)習(xí)習(xí)慣、基礎(chǔ)知識(shí)等方面都要了如指掌，進(jìn)而實(shí)行區(qū)別對(duì)待的教學(xué)方式.因此教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該以學(xué)困生“吃得了”、優(yōu)秀生“吃得飽”為原則，積極創(chuàng)造條件讓優(yōu)秀生脫穎而出的同時(shí)，兼顧每一個(gè)個(gè)體.要做到“因材施教”，就要精通教材、精通課標(biāo)；放眼未來(lái)，使自己站在更高的高度審視教學(xué)，把每種教學(xué)方法發(fā)揮到極致.

總之，無(wú)論是水平化還是垂直化，在數(shù)學(xué)教學(xué)中都有非常適宜的發(fā)展空間，也可以說(shuō)，數(shù)學(xué)水平化與垂直化的有效運(yùn)用，必是促成高效教學(xué)的重要因素，促成教與學(xué)的實(shí)質(zhì)性提升.