☉江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 宋秀云

立體幾何重點(diǎn)研究的是空間中的點(diǎn)、線、面、體的各種位置關(guān)系.在學(xué)習(xí)中，如何提高空間想象能力是擺在廣大學(xué)生面前的一個(gè)大難題.借助最熟悉的幾何體構(gòu)造模型，可以幫助學(xué)生打破思維定勢(shì)，尋找解題的突破口，提高解題能力.

一、構(gòu)造正方體模型解題

例1 如圖1，甲烷CH4的分子結(jié)構(gòu)是：碳原子位于正四面體的中心，4個(gè)氫原子分別位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上（各個(gè)面都是正三角形的四面體叫做正四面體，到正四面體四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)叫做正四面體的中心）.設(shè)碳原子與4個(gè)氫原子連成的四條線段兩兩組成的角為θ，則cosθ=_____________.

圖1

分析：本題如果放在正四面體中直接求解，比較麻煩.先構(gòu)造一個(gè)正方體，如圖2，A-BCD為正四面體，正方體的中心就是碳原子，∠DOC即為θ.

圖2

評(píng)注：正四面體內(nèi)接于正方體，一般能用正四面體解決的問(wèn)題都可以借助“正方體”模型解決.

變式：已知三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD，∠BDC=90°，求BC與AD所成的角.

分析：常規(guī)方法是借助平行移動(dòng)找到所求角，但計(jì)算復(fù)雜.把該三棱錐放到正方體中，如圖3，BC與AD的位置關(guān)系一目了然，所求角為正方體兩條面對(duì)角線的夾角.

圖3

二、構(gòu)造長(zhǎng)方體模型解題

例2 從點(diǎn)P出發(fā)的三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，則過(guò)P、A、B、C四個(gè)點(diǎn)的球的表面積為_(kāi)____.

分析：構(gòu)造長(zhǎng)方體，以P為頂點(diǎn)的三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，過(guò)P、A、B、C四個(gè)點(diǎn)的球就是這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑.設(shè)球的半徑為R，則有

變式1：三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，Q是底面三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，Q到三個(gè)側(cè)面的距離分別為4cm、6cm、12cm，則PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

分析：構(gòu)造長(zhǎng)方體，PQ即為以4、6、12為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，故有

變式2：如果三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6cm2，4cm2，3cm2，那么它的外接球的體積是____.

分析：構(gòu)造長(zhǎng)方體，由三個(gè)側(cè)面兩兩垂直可以得到三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑.設(shè)球的半徑為R，則有.本題只要由面積條件求出三條棱的長(zhǎng)度即可.可設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，則有從而解得答案.

變式3：已知四面體的四個(gè)面都是邊長(zhǎng)分別是5、6、7的全等三角形，求這個(gè)四面體的體積.

分析：若按常規(guī)思路，這個(gè)問(wèn)題的解答很復(fù)雜.

通過(guò)對(duì)已知條件的分析，構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，如圖4，其中四面體

D1-AB1C符合條件，令A(yù)C=5，B1C=6，AB1=7.

圖4

由勾股定理得AB2+BC2=25，AB2+BB1=49，BB1+BC2=36，解得AB2=19，BC2=6，AA12=30.

評(píng)注：其實(shí)條件可以減弱，只要是對(duì)棱相等的四面體都是長(zhǎng)方體的一部分，并且四面體的體積都是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體體積的

構(gòu)造模型解立體幾何問(wèn)題，不但能提升學(xué)生的思維起點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，而且還能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.