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        三角函數(shù)最值的求解策略

        2012-08-28 02:35:26山東省菏澤二中洪寶華
        中學數(shù)學雜志 2012年7期
        關鍵詞:余弦斜率最值

        ☉山東省菏澤二中 洪寶華

        三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)知識的綜合應用,是對三角函數(shù)的概念、圖像和性質,以及對誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式的綜合考查,是函數(shù)內容的交匯點,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).三角函數(shù)最值有著廣泛的應用,是歷屆高考的重點,也是高考命題的熱點.對這類問題,只要我們采取恰當?shù)牟呗?,就可以簡捷地求?下面舉例介紹幾種三角函數(shù)最值問題的常用求解策略.

        一、y=asin x+bcos x型

        特點是含有正余弦函數(shù),并且是一次式.

        所以函數(shù)f(x)的最大值為2,最小值為-1.

        二、y=asin2x+bcos x+c型

        特點是含有sin x、cos x,并且其中一個是二次.

        求解策略:利用sin2x+cos2x=1,使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù),轉化成二次函數(shù)最值來求解.

        三、

        特點是一個分式,分子、分母分別會有正、余弦的一次式.求解策略1:利用sin x和cos x的有界性.

        求解策略2:看成直線的斜率.

        解法2:設A(2,2),P(cos x,sin x),則

        即kPA為過A、P兩點的斜率.所以要求函數(shù)的最大值,只需求直線PA的斜率kPA的最大值即可.

        由sin2x+cos2x=1,得P(cosx,sinx)在單位圓上.

        因為直線PA的方程為y=kPA(x-2)+2,即kPAx-y+2-2kPA=0.

        根據(jù)圖像,直線PA與單位圓相切時,斜率kPA取得最值.

        四、含有sin x與cos x的和與積型

        特點是含有或經過化簡整理后同時出現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx的式子.

        求解策略:利用(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x進行轉化,變成二次函數(shù)的問題.

        五、y=sin xcos 2x型

        特點是關于sin x、cos x的三次式(cos 2x可化為關于cos x的二次式).

        求解策略:化為多項式函數(shù),利用導數(shù)法.

        例5 已知x∈[0,π],求函數(shù)y=(cos 2x+1)sin x的最大值.

        解:y=(cos 2x+1)sin x=2cos2xsin x

        =2(1-sin2x)sin x=-2sin3x+2sin x.

        令t=sin x,則y=-2t3+2t.

        求三角函數(shù)的最值,要仔細觀察函數(shù)的特征,聯(lián)系已有的函數(shù)知識,采用正確的策略把陌生的問題轉化為熟悉的問題,這也是解決問題的一般策略.

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