☉江蘇省錫山高級中學(xué) 管恩臣

探究性教學(xué)是課堂教學(xué)的一種方式，其宗旨是讓學(xué)生通過探索的方式解決問題，促進(jìn)學(xué)生自主活動和積極思考，從而使學(xué)生的知識技能、興趣和愛好得到和諧發(fā)展.采用這種教學(xué)方式的關(guān)鍵是選擇好探究的問題，讓學(xué)生多方尋求答案，解決疑問，并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，把握問題本質(zhì)，使探究活動富有意義.

一、問題設(shè)計(jì)的背景

圖

蘇教版數(shù)學(xué)5第一章復(fù)習(xí)題有這樣一個(gè)問題：

如圖1，已知A為定角，P、Q分別在A的兩邊上，PQ為定長.當(dāng)P、Q處于什么位置時(shí)，△APQ的面積最大？

教材參考書提供了如下解法.

設(shè)A=α，PQ=a，AP=x，AQ=y，其中α、a為定值.

這個(gè)解法用到了重要不等式：x2+y2≥2xy，而關(guān)于不等式的知識要在數(shù)學(xué)5的第三章學(xué)習(xí)，顯然用這個(gè)解法不現(xiàn)實(shí).這又是一道非常好的題目，于是教師在本章復(fù)習(xí)課把它當(dāng)做一個(gè)探究材料，與學(xué)生一起探索這道題目的解法，收到非常良好的效果.

二、教學(xué)實(shí)錄和分析

1.解法探索.

例 如圖1，已知A為定角，P、Q分別在A的兩邊上，PQ為定長.當(dāng)P、Q處于什么位置時(shí)，△APQ的面積最大？

問題呈現(xiàn)給學(xué)生后，讓學(xué)生探索5分鐘.

教師：學(xué)生1以角為變量，根據(jù)正弦定理表示出兩邊，充分運(yùn)用了已知一邊及其對角這個(gè)條件.除了這個(gè)解法外，同學(xué)們還有沒有其他解法？

教師：有沒有同學(xué)幫助他解決這個(gè)問題？

學(xué)生3：由AP2+AQ2=（AP+AQ）2-2AP·AQ，可得PQ2=（AP+AQ）2-2AP·AQ（1+cosA），只要求AP+AQ的最大值就可以了，同學(xué)們感覺很有道理！

學(xué)生把a(bǔ)2+b2變形成（a+b）2-2ab這一想法很自然，不過對于本題不使用基本不等式來說，這樣變形意義不大.

教師：AP+AQ的最大值怎么求呢？學(xué)生3說暫時(shí)沒想好.

學(xué)生沉思了一會兒以后，學(xué)生4舉手：AP2+AQ2=（AP-AQ）2+2AP·AQ，所以PQ2=（AP-AQ）2+2AP·AQ（1-cosA），只要求（APAQ）2的最小值就可以了，至此，該問題得以解決！

學(xué)生把a(bǔ)2+b2變形成（a-b）2+2ab這一想法就有很大跳躍性，之前較少接觸！

教師點(diǎn)評：兩種解法是從解三角形的基本方法正弦定理和余弦定理出發(fā)，努力構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，實(shí)踐中學(xué)生運(yùn)用解法1變形思路常規(guī)但運(yùn)算煩瑣，解法2運(yùn)算簡潔但技巧性強(qiáng).兩種解法出發(fā)點(diǎn)都非常自然，用到的知識是解三角形的核心知識，過程中的變形尤其是解法1中的變形是常用方法，充分說明例題是一道入口寬、意境深的好題！值得探索.

2.歸納本質(zhì).

變式：（2009福建高考理科）如圖2，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈［0，4］）的圖像，且圖像的最高點(diǎn)為；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動員的安全，限定∠MNP=120°.應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？

圖2

學(xué)生很快得到兩種解法.

解法1：在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5.設(shè)∠PMN=θ，則0°<θ<60°.

由0°<θ<60°，得當(dāng)θ=30°時(shí)，折線段賽道MNP最長.

將∠PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，折線段道MNP最長.

解法2：MP2=NM2+NP2-2NM·NPcos∠MNP，即25=NM2+NP2+NM·NP=（NM+NP）2-NM·NP，則只要求出NM·NP的最大值即可.

教師：例題和變式題中的（2）解法相似，這兩個(gè)題目問題情景有什么共同特征？

學(xué)生：都是已知三角形的一條邊及其對角.

教師：所求的問題本質(zhì)上分別是什么？

學(xué)生：例題是求另兩邊積的最大值，變式題中的（2）求另兩邊和的最大值.

教師點(diǎn)評：這類問題的本質(zhì)是：已知三角形的一條邊及其對角求另兩邊積或和的最值問題，以另一角為變量，應(yīng)用正弦定理，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，是非常自然的想法；應(yīng)用余弦定理也非常好，因?yàn)橛嘞叶ɡ韆2=b2+c2-2bccosA可變形成a2=（b-c）2+2bc-2bccosA，這樣余弦定理與兩邊和、兩邊差可以直接建立聯(lián)系.

3.最值變化規(guī)律背景探索.

蘇教版數(shù)學(xué)5第17頁的第12題：如圖3，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，如何求四邊形ABCD的面積？

學(xué)生上節(jié)課曾解過這個(gè)問題，現(xiàn)拓展：如圖4，若A、B、D為定點(diǎn)條件不變，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧BD上運(yùn)動時(shí)，四邊形ABCD面積何時(shí)最大？

圖3圖4

學(xué)生5：連接BD，要使四邊形ABCD面積最大，只要△BCD面積最大，而BD是定值，只要C到BD的距離CE最大即可，即CE過圓心時(shí)四邊形ABCD面積最大.

教師：這個(gè)拓展問題和例題、變式題中的（2）有什么聯(lián)系？

學(xué)生6：點(diǎn)C在優(yōu)弧BD上運(yùn)動時(shí)∠BCD大小不變，線段BD長度不變，同時(shí)所求最大值就是求CB·CD的最大值，和例題一樣.

教師：對，同弧所對圓周角相等，所以保持∠BCD大小不變！除了學(xué)生的直觀觀察外，還能想到什么方法？

學(xué)生7：說出例題和變式題中的（2）的兩種解法

教師：你能說出變式題中的（2）中點(diǎn)N的軌跡嗎？學(xué)生8：根據(jù)題意應(yīng)該是在一段劣弧上，如圖5所示.教師：當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，保持了角的大小不變，例題能否從這個(gè)角度來看呢？

學(xué)生9：可以假設(shè)線段PQ不動，點(diǎn)A在△APQ的外接圓上運(yùn)動，這個(gè)過程中，A的大小保持不變，效果相當(dāng)于點(diǎn)A不動線段PQ在動！如圖6.此時(shí)，教室響起一陣掌聲！

圖5圖6

三、教學(xué)設(shè)計(jì)的反思與感悟

本節(jié)課圍繞已知三角形的一條邊及其對角，求另兩邊積或和的最大值（同一時(shí)刻取得）的問題，放棄了教材參考書中的解法，從學(xué)生熟悉的正、余弦定理出發(fā)，師生、生生互動嘗試、修正，一步步向目標(biāo)前進(jìn)，最終獲得此類問題的兩種解法，同時(shí)挖掘出幾何規(guī)律！在這個(gè)過程中，教師要能夠設(shè)計(jì)好探索的素材，把握好問題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面和角度進(jìn)行探索，設(shè)計(jì)中還應(yīng)注意：

1.一題多解要重視通性通法.

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程.教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

2.多題一解要抓住本質(zhì).

盡管數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海頭緒萬千，但正如一切事物都有自己的規(guī)律一樣，解數(shù)學(xué)題也有規(guī)律可循有方法可依，某些習(xí)題由于它們所反映的數(shù)量關(guān)系和空間形式存在相似之處，則可以串連起來考慮，提煉出共性，把握問題的本質(zhì)，多題歸一.為此，應(yīng)該在學(xué)習(xí)中重視探索、自覺摸索解不同題目的規(guī)律，并依據(jù)這個(gè)規(guī)律去思考分析，不斷豐富解題經(jīng)驗(yàn).長期堅(jiān)持，遇到新問題就能思維活躍判斷準(zhǔn)確，有法可循，就能掌握多題一解的金鑰匙.

3.立足教材靈活多變.

從近幾年江蘇高考題來看，把考查學(xué)生的能力和素質(zhì)放在了首位的同時(shí)，也未忽視對基礎(chǔ)知識、基本思想方法的考查，這些基本知識主要表現(xiàn)在課本例題和習(xí)題及其變形上.教師自己在平時(shí)的教學(xué)中要鉆研教材，精心設(shè)計(jì)一題多解和一題多變的練習(xí)題，并能對相似的多題進(jìn)行歸納，找出本質(zhì)上的共性，多題一解，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，讓學(xué)生在有趣的學(xué)習(xí)中探索知識，使他們靈活運(yùn)用知識的技能、技巧得到提高.而在課堂上，師生互助，生生互助，共同努力，體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)本質(zhì)與規(guī)律的樂趣.