☉河南汝州市第四初級(jí)中學(xué) 怯松林

例析數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用

☉河南汝州市第四初級(jí)中學(xué) 怯松林

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)得好：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”這句話說(shuō)明了“數(shù)”與“形”是緊密聯(lián)系的.所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問(wèn)題的思路，使問(wèn)題得以解決的思考方法.以下舉例談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在方程、不等式、函數(shù)等方面的應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合思想在方程、不等式中的應(yīng)用

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，可以借助于一次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖像——直線，直觀地解決一元一次方程、一元一次不等式組、二元一次方程組的問(wèn)題，下面結(jié)合例題加以說(shuō)明.

1.利用圖像解一元一次方程

例1 利用函數(shù)圖像解方程3x-6=0.

分析：在坐標(biāo)系中先畫(huà)方程所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)y=3x-6的圖像，由于解析式中函數(shù)值y就是圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y，當(dāng)y=0時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像上縱坐標(biāo)等于0的點(diǎn)，也就是與x軸的交點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是我們要求的方程的解.

解：在坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y=3x-6，如下圖.

從圖像可以看出直線y=3x-6與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

所以原方程的解為x=2.

2.利用圖像解一元一次不等式組

例2 如上圖，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-2）和點(diǎn)B（-2，0），直線y=2x過(guò)點(diǎn)A，則不等式2x＜kx+b＜0的解集為（ ）.

A.x＜-2 B.-2＜x＜-1 C.-2＜x＜0 D.-1＜x＜0

解：本題直接從圖像上觀察，直線y=kx+b和直線y=2x的交點(diǎn)為A（-1，-2），確定直線y=kx+b在直線y=2x上方的范圍：x＜-1.再觀察直線y=kx+b的圖像與x軸的交點(diǎn)為B（-2，0），確定此圖像在x軸下方的范圍：x＞-2.故選擇B答案.

3.利用函數(shù)圖像解方程組

例3 如圖，直線l1：y=x+1與直線l2：y=mx+n相交于點(diǎn)P（1，b）.（1）求b的值；

解：（1）因?yàn)椋?，b）在直線y=x+1上，

所以當(dāng)x=1時(shí)，b=1+1=2.

（2）如圖所示，由圖像知l1和l2的交點(diǎn)為P（1，2）.

注意：用數(shù)形結(jié)合思想解方程（組）與不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造它們所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)，再利用一次函數(shù)的圖像就可以說(shuō)明結(jié)果.圖像解法與它們的傳統(tǒng)解法相比，往往不夠方便，而且由于圖像的誤差常常導(dǎo)致求解的結(jié)果一般還不準(zhǔn)確，但這種解法，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.在日常生活中，象這種直觀解決問(wèn)題的方法也非常多見(jiàn)，它是一種很重要的能力，因此，同學(xué)們應(yīng)該重視相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，掌握這種利用數(shù)形結(jié)合思想求解問(wèn)題的方法.

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

1.利用反比例函數(shù)圖像比較大小

分析：解此題最直接的思路是將已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入解析式，求出各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)再進(jìn)行比較，但本題并沒(méi)有給出比例系數(shù)k的取值，因而要根據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，確定三個(gè)點(diǎn)落在雙曲線上的位置來(lái)確定大小.

解：因?yàn)閗＜0，反比例函數(shù)的圖像在三、四象限，畫(huà)出大致的圖像，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)在圖像上的位置，很容易看出b＞a＞c.

2.利用一次函數(shù)圖像比較租車費(fèi)用

例5 某單位急需用車，但又不準(zhǔn)備買(mǎi)車，他們準(zhǔn)備和一個(gè)個(gè)體車主或一出租公司其中的一家簽定月租車合同，設(shè)汽車每月行駛xkm，應(yīng)付給個(gè)體車主的月費(fèi)用是Y1元，應(yīng)付給出租公司的月費(fèi)用是Y2元，Y1、Y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像如上圖，觀察圖像回答下列問(wèn)題：

（1）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)，租公司的車合算？

（2）每月行駛的路程等于什么時(shí)，租兩輛車的費(fèi)用相同？

（3）如果這個(gè)單位每月行駛的路程為2300km，那么這個(gè)單位租哪家的車合算？

分析：這是一道一次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合的思想在本題中有很好的體現(xiàn).函數(shù)圖像在上方的說(shuō)明它的函數(shù)值較大，反之較小，當(dāng)然，兩圖像相交時(shí)，說(shuō)明在交點(diǎn)處的函數(shù)值是相等的.

解：（1）由圖像可知，直線Y2的圖像在直線Y1的圖像下方的范圍是：0＜x＜1500，所以每月行駛的路程在0＜x＜1500范圍內(nèi)，租公司的車合算

（2）直接觀察圖像，當(dāng)每月行駛的路程等于1500時(shí)，租兩輛車的費(fèi)用相同.

（3）由圖像可知，直線Y2的圖像在直線Y1的圖像上方的范圍是：x＞1500，所以當(dāng)每月行駛的路程為2300km，租個(gè)體車主合算

3.利用二次函數(shù)圖像求系數(shù)的范圍

例6 如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則a的取值范圍是__________.

分析：這是一道典型的數(shù)形結(jié)合解函數(shù)型綜合題，較好地體現(xiàn)了“以數(shù)解形、以形助數(shù)”的方法理念，正確運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)：增減性、對(duì)稱性、最大值等.

解：仔細(xì)觀察圖像，a的取值范圍分兩種情況討論：

4.利用二次函數(shù)圖像解綜合試題

分析：仔細(xì)觀察拋物線的位置走向、關(guān)鍵點(diǎn)的位置坐標(biāo)，以及解析式中各個(gè)系數(shù)與圖形性質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再做出相應(yīng)的判斷.

解：①由圖像開(kāi)口方向可知，a＜0.

②因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），由拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)x＝1時(shí)，有y＞0，即有a+b+c＞0.

故正確的結(jié)論是①②③.

例8 如圖，點(diǎn)G、D、C在直線a上，點(diǎn)E、F、A、B在直線b上，若a∥b，Rt△GEF從如圖所示的位置出發(fā)，沿直線b向右勻速運(yùn)動(dòng)，直到EG與BC重合.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△GEF與矩形ABCD 重合部分的面積（S）隨時(shí)間（t）變化的圖像大致是（ ）.

解：這是一道綜合性很強(qiáng)的識(shí)圖題，要分析動(dòng)態(tài)△GEF與矩形ABCD重合的各種情況.①有的考生錯(cuò)選A，沒(méi)有考慮從出發(fā)到F點(diǎn)與A點(diǎn)重合，這時(shí)間段重合部分面積S為0；②從F點(diǎn)與A點(diǎn)重合，直到EG與AD重合，重合部分為三角形，此三角形與△GEF相似，可以用t來(lái)表示重合三角形的邊長(zhǎng)，從而求出面積S應(yīng)為關(guān)于t的二次函數(shù)，且開(kāi)口向上；③繼續(xù)沿直線b向右勻速運(yùn)動(dòng)，直到EG與BC重合，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△GEF與矩形重合部分為直角梯形，同樣可以用t表示直角梯形的邊長(zhǎng)，求出面積S為關(guān)于t的二次函數(shù)，且開(kāi)口向下.綜合觀察，整個(gè)變化過(guò)程中面積（S）隨時(shí)間（t）變化的圖像大致是B答案.