向 婷 江明輝

（三峽大學(xué) 理學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

近年來(lái)，針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的研究已經(jīng)深入到生活和科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域，包括互聯(lián)網(wǎng)、食物鏈、電力網(wǎng)等，成為目前跨學(xué)科、跨領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題之一.所謂復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由大量節(jié)點(diǎn)通過(guò)一定的耦合方式連接起來(lái)，形成具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的大的網(wǎng)絡(luò).在不同環(huán)境下，這些節(jié)點(diǎn)所代表的意義不盡相同，比如在食物鏈中一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)物種，而在互聯(lián)網(wǎng)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一臺(tái)獨(dú)立工作的計(jì)算機(jī).同時(shí)，節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度和耦合關(guān)系對(duì)動(dòng)力行為也會(huì)產(chǎn)生不同的促進(jìn)或抑制作用.

在國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題更是顯得非常有吸引力，目前已經(jīng)得到了大量相關(guān)的重要理論結(jié)果［1－4].具有代表性的有：Wang和Chen基于簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型的同步問(wèn)題研究［1－2]；然后Li和Chen又將這個(gè)模型擴(kuò)展到具有耦合時(shí)滯的系統(tǒng)［3]，Lv研究了時(shí)變動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型的周期同步［4].這些工作主要集中在對(duì)網(wǎng)絡(luò)同步能力的研究上，側(cè)重于網(wǎng)絡(luò)屬性對(duì)網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響，以此通過(guò)設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)耦合強(qiáng)度來(lái)提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力，從而達(dá)到實(shí)際應(yīng)用中對(duì)網(wǎng)絡(luò)的要求.而事實(shí)上，大部分網(wǎng)絡(luò)在沒(méi)有外部控制器的作用下很難實(shí)現(xiàn)同步，即便能實(shí)現(xiàn)也需要付出較大的代價(jià).因此，同步控制受到廣泛關(guān)注，一系列的同步控制方法也應(yīng)運(yùn)而生.由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)眾多，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制的方法在實(shí)際應(yīng)用中可行性較小，因此有專家學(xué)者提出了pinning控制（牽制控制）的思想：通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點(diǎn)施加控制從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有實(shí)際所期望的行為［5－8].基于這一理論，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的控制就有了實(shí)際可行的方法.

同時(shí)，至目前為止的研究結(jié)果大多建立在理想狀態(tài)下，并沒(méi)有考慮事實(shí)存在而且可能會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)行為的外部干擾和噪聲.因此，提高系統(tǒng)的抗干擾能力顯得尤為重要.根據(jù)H∞的理論應(yīng)用，許多相關(guān)問(wèn)題可轉(zhuǎn)變?yōu)镠∞問(wèn)題［9－10]，而H∞性能指數(shù)恰能精確地反映系統(tǒng)的抗干擾能力.因此，本文將分析具有耦合時(shí)變時(shí)滯的一般復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞同步問(wèn)題.

綜上所述，本文首先基于pinning控制方法，為一類廣義時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了線性狀態(tài)反饋控制器，然后基于經(jīng)典Lyapunov理論［11]和線性矩陣不等式理論［12]，討論了在這類控制器作用下系統(tǒng)的H∞指數(shù)同步控制條件［13]，并給出了相應(yīng)的算法，最后通過(guò)一個(gè)經(jīng)典實(shí)例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性和可行性.

1 系統(tǒng)描述與定義

考慮一個(gè)由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其中每一節(jié)點(diǎn)均為一個(gè)n維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)方程描述［1－4]為

其中，xi（t）＝（xi1（t），…，xin（t））∈Rn為第i個(gè)動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量；常數(shù)c代表網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度；A＝（aij）N×N∈RN×N為外部耦合矩陣，其中aij定義如下：若節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j（j≠i）存在連接則aij＞0，否則aij＝0，同時(shí)A是不可約的.常矩陣H∈Rn×n為內(nèi)部耦合矩陣.f（xi（t））：Rn×Rn→Rn代表了單個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)特性，是連續(xù)可微向量函數(shù)，對(duì)于任意初始值（t，xi0）都存在唯一連續(xù)解，其中xi0是一個(gè)n維向量；ωi（t）∈L0［0，∞）表示不確定外部干擾.時(shí)滯τ（t）是一個(gè)時(shí)變連續(xù)函數(shù)，滿足

其中τ，τd分別表示時(shí)滯和時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的上界.

注1：在網(wǎng)絡(luò)（1）中，外部耦合矩陣A可以是不對(duì)稱的，而且矩陣元素也可以不是0或1.同時(shí)，對(duì)于內(nèi)部耦合矩陣H沒(méi)有任何約束條件，這也大大降低了本系統(tǒng)的保守性.

定義1［11]稱系統(tǒng)（1）是具有給定H∞性能γ下的魯棒指數(shù)同步，如果滿足

1）當(dāng)外部干擾ω（t）＝0時(shí)，系統(tǒng)解s（t）是全局指數(shù)同步的，即閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定；

2）在零初始條件下，對(duì)于任意非零外部干擾ω（t）∈L2［0，∞），被控輸出滿足 ‖z（t）‖2≤γ‖ω（t）‖2.

定義2 函數(shù)QUAD（Θ，P）：令P為對(duì)稱正定矩陣，Θ為對(duì)角矩陣，QUAD（（Θ，P））表示一類函數(shù)f（x）：RN×n→RN×n，對(duì)于任意σ＞0，所有的x，y∈RN×n，t＞t0均滿足

定義3［12]如果存在正常數(shù)ε＞0，M＞0，使得對(duì)于任意初始條件均滿足

在適當(dāng)?shù)目刂破髯饔孟?，原系統(tǒng)（1）是全局指數(shù)同步的.

引理1（Schur補(bǔ)）［12]令S11，S12，S22為給定對(duì)稱矩陣，且滿足S22＞0，則

引理2［12]對(duì)于任意向量x，y∈Rm，正定矩陣Q∈Rm×m，下述矩陣不等式均成立：

2 主要結(jié)果

2.1 連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步

本文的主要目標(biāo)是通過(guò)引入牽制控制策略使得網(wǎng)絡(luò)（1）中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)趨于一致，即

其中s（t）是孤立節(jié)點(diǎn)的解，即為此時(shí)的同步狀態(tài).不失一般性，這里將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重新排序，并對(duì)前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制［5－8，14].因此，被控系統(tǒng)可描述為

在此，應(yīng)用時(shí)滯狀態(tài)反饋控制器，具體形式為

其中，反饋增益di≥0，ki≥0.定義誤差向量：Δi（t）＝xi（t）－s（t），i＝1，2，…，N.

結(jié)合式（1）～（4），若j∈｛l＋1，…，N｝，則令dj＝0，kj＝0.則誤差系統(tǒng)可通過(guò)非線性微分方程描述為

定義如下矩陣：K＝diag（k1，……，kN），D＝diag（d1，…，dN），其中對(duì)于任意i∈｛l＋1，…，N｝有di＝ki＝0.在此采用Kronecker積的表示形式，可將誤差系統(tǒng)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

因此，將N×n維復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）的同步控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了非線性誤差系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定性問(wèn)題.

同時(shí)，為了讓系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力，定義如下系統(tǒng)輸出函數(shù)

而系統(tǒng)的抗干擾能力可通過(guò)閉環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)進(jìn)行判斷［15－16]，函數(shù)具體形式為

此時(shí)的目的是使得對(duì)于任意給定的H∞性能指標(biāo)γ均有：‖Tωz‖≤γ，即

定理1 若假設(shè)條件（2）成立，f（x（t））∈QUAD（（Θ，P）），且對(duì)于任意給定的γ＞0，存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P，Q滿足

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετQ，E＝D?H，F(xiàn)＝（A－K）?H，則誤差系統(tǒng)（5）是指數(shù)穩(wěn)定的，即被控閉環(huán)系統(tǒng)（4）是H∞指數(shù)同步的，且指數(shù)收斂率為

證明：由于E＝D?H，F(xiàn)＝（A－K）?H，則誤差系統(tǒng)（5）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

首先，建立系統(tǒng)（7）在ω（t）＝0下的指數(shù)穩(wěn)定性［11，17].選取 Lyapunov函數(shù)

其中P，Q是對(duì)稱正定矩陣.接下來(lái)沿系統(tǒng)（7）的任意軌跡，讓V（t）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετQ.因此V（t）≤V（0）.

同時(shí)，在此結(jié)式合（6），（7）和（8），還可得到

其中，

接著應(yīng)用Schur補(bǔ)引理，可知不等式（6）就等價(jià)于：Ω＜0.

因此，

在此，對(duì)式（9）的左右兩邊均從0到t進(jìn)行積分，則可得到：

令t→∞，則在零初始條件下，有

因此，對(duì)于任意非零的ω（t）∈L2［0，∞），均有‖z（t）‖2≤γ2‖ω（t）‖2成立.根據(jù)定義1，結(jié)果得證，定理證明完畢.

定理1將時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）的H∞指數(shù)同步控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣P，Q的存在性問(wèn)題，為進(jìn)一步簡(jiǎn)化結(jié)論，不妨令Q為單位矩陣Im，可得如下結(jié)論.

定理2 若假設(shè)條件（2）成立，f（x（t））∈QUAD（Θ，P），且對(duì)于任意給定的γ＞0，存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P，滿足

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετIm，則誤差系統(tǒng)（5）是指數(shù)穩(wěn)定的，即被控閉環(huán)系統(tǒng)（4）是H∞指數(shù)同步的，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

定理3 當(dāng)τ′（t）＝0時(shí)，若假設(shè)條件（2）成立，f（x（t））∈QUAD（Θ，P），且對(duì)于任意給定的γ＞0，存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P，Q，滿足

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετQ＋PFQ－1F－1P－1，則誤差系統(tǒng)（5）是指數(shù)穩(wěn)定的，即被控閉環(huán)系統(tǒng)（4）是H∞指數(shù)同步的，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

證明：定義Lyapunov函數(shù)

其中，P，Q是對(duì)稱正定矩陣.接下來(lái)沿系統(tǒng)（7）的任意軌跡，讓V（t）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

根據(jù)引理2，可得

因此，

接下來(lái)的論證過(guò)程類似于定理（1）的證明，在此省略.

2.2 離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步

連續(xù)型系統(tǒng)可由微分方程來(lái)表述，而離散型系統(tǒng)由差分方程描述，兩者需要差別對(duì)待.在此，本文有必要將所得結(jié)論進(jìn)一步推廣到離散型系統(tǒng)［18－21].考慮一個(gè)由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)絡(luò)，其中每一節(jié)點(diǎn)均為一個(gè)n維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)方程為

其中xi，f，c，aij，H，ω所代表的意義與系統(tǒng)（1）中相同.時(shí)滯τ（k）是一個(gè)時(shí)變離散函數(shù)，滿足

本節(jié)首先需要考慮的是將系統(tǒng)（1）穩(wěn)定到同步狀態(tài)s（k），即

為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，本節(jié)仍然采用牽制控制策略.為了不失一般性，這里將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重新排序，并令前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)為受控節(jié)點(diǎn).在此，應(yīng)用時(shí)滯狀態(tài)反饋控制器，具體形式為

其中，反饋增益di≥0，ki≥0.定義誤差系統(tǒng)：Δi（k）＝xi（k）－s（k），i＝1，2，…，N.

結(jié)合式（10）～（13），如果j∈｛l＋1，…，N｝，令dj＝0，kj＝0.則誤差系統(tǒng)可通過(guò)非線性微分方程描述為

其中對(duì)于任意l≤i≤N有di＝ki＝0.

因此，將N×n維系統(tǒng)（10）的同步控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了非線性系統(tǒng)（14）的穩(wěn)定性問(wèn)題.

同時(shí)，為了讓系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力，定義如下系統(tǒng)輸出函數(shù)

在此的目的是使得對(duì)于任意給定的H∞性能指標(biāo)γ均能有：‖Tωz‖≤γ，即

定理4 如果假設(shè)條件（11）成立，且對(duì)于任意給定標(biāo)量τm＞0，τM＞0，γ＞0，存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P，Q滿足

其中Γ＝eε（J－cE）P（J－cE）－P＋Q，則在控制器（13）的作用下，原系統(tǒng)（10）實(shí)現(xiàn)H∞指數(shù)同步，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

證明：定義矩陣K＝diag（k1，…，kN），D＝diag（d1，…，dN），并將網(wǎng)絡(luò)模型在s（k）處線性化，則可將式（4.5）轉(zhuǎn)化為

其中J＝diag（J1，…，JN）且是f（x）在s（k）處的Jacobian矩陣，E＝D?H，F(xiàn)＝（AK）?H.在此，首先建立系統(tǒng)（16）在ω（t）＝0下的指數(shù)穩(wěn)定性.構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

其中P，Q∈RN×n是對(duì)稱正定矩陣.

其中Γ＝eε（J－cE）P（J－cE）－P＋Q.因此，

下面，需要證明對(duì)于任意非零ω（k）∈L2［0，∞），閉環(huán)系統(tǒng)（4.6）在零初始狀態(tài)下滿足‖Tωz‖≤γ.這里將Jωz進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

由于V（Δ（k））≥0，容易得到

那么，根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)，在零初始狀態(tài)下，就有‖z‖2≤γ‖ω‖2，定理得證.

定理5：如果假設(shè)條件（11）成立，且對(duì)于任意給定標(biāo)量τm＞0，τM＞0，γ＞0，存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P滿足

其中Γ＝eε（J－cE）P（J－cE）－P＋ceε（J－cE）PF，則在控制器（13）的作用下，原系統(tǒng)（10）實(shí)現(xiàn)H∞指數(shù)同步，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

由此可見(jiàn)，由差分方程描述的離散系統(tǒng)在牽制控制下也能實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步.

注2：與文獻(xiàn)［7，21]相比，本文結(jié)論主要作了幾方面的推廣：（1）網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)無(wú)需假設(shè)aij為0或1，對(duì)內(nèi)部矩陣H也沒(méi)有約束的條件；（2）在文獻(xiàn)［7]中，時(shí)滯是一個(gè)常數(shù)，不隨時(shí)間的變化而變化，但本文考慮的是時(shí)變耦合時(shí)滯系統(tǒng)；（3）應(yīng)用萊布尼茲－牛頓公式和一些自由加權(quán)矩陣使得本文的研究結(jié)論具有更好的保守性；（4）與文獻(xiàn)［7，21]中的漸進(jìn)同步相比，本文的指數(shù)同步具有更快的收斂速度.

注3：本文采用了Pinning控制策略使得具有時(shí)變時(shí)滯和不確定干擾的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步.此外，在已有文獻(xiàn)中，很多研究結(jié)論都集中在指數(shù)同步問(wèn)題上，很少考慮到時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步問(wèn)題.因此，本文恰是對(duì)以往研究成果的一個(gè)有用推廣.

注4：容易看出在定理1，定理4中所敘述的條件關(guān)于ε，P，Q都不是嚴(yán)格的線性矩陣不等式，出現(xiàn)了非線性部分.但是，在此一旦固定P，Q，這些條件就可轉(zhuǎn)化為基于優(yōu)化問(wèn)題的線性矩陣不等式.

1）估算定理1中ε的最優(yōu)界：Maximize：ε

Subject to（6）；

2）估算定理4中ε的最優(yōu)界：

Maximize：ε

Subject to（15）；

為了在后面給出直觀的實(shí)例分析，在此將具體討論相應(yīng)的算法分析.算法描述如下：

步驟1：首先為ε選擇一個(gè)非負(fù)初值，并令N0＝1，k＝0.同時(shí)計(jì)算終止次數(shù)N，然后轉(zhuǎn)到步驟3；

步驟2：若Nk＋1≤N，則令ε＝0.5＊ε，然后繼續(xù)下一步.否則，計(jì)算失敗，終止算法；

步驟3：利用Matlab中的LMI工具箱解線性矩陣不等式（6）或（15）.若不可解，則令Nk＋1≤Nk＋1，k＝k＋1，然后轉(zhuǎn)到步驟2.否則，計(jì)算P，Q并結(jié)束算法.

3 仿真實(shí)例

本節(jié)將通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)驗(yàn)證結(jié)論的有效性.

考慮一個(gè)由4個(gè)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)，而每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)三維子系統(tǒng).此時(shí)系統(tǒng)可記為

例：對(duì)于式（19），選擇如下：

很顯然，函數(shù)f（x）滿足函數(shù)QUAD（Θ，P）的條件.在此，選擇第2和第3個(gè)節(jié)點(diǎn)實(shí)施控制，且控制增益選擇為d2＝d3＝k2＝k3＝3.根據(jù)前面介紹的算法，可計(jì)算得到指數(shù)同步的最大收斂率為ε≤1.2，同時(shí)，通過(guò)應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱計(jì)算得到存在對(duì)稱正定矩陣P，Q.

4 結(jié) 論

本文主要研究了牽制控制下的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的H∞指數(shù)同步問(wèn)題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，并借助于線性矩陣不等式方法給出了時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步控制充分條件，在保證系統(tǒng)具有較好同步性能的同時(shí)還保證了系統(tǒng)的抗外部干擾能力，并在實(shí)際應(yīng)用中將H∞指數(shù)同步控制問(wèn)題和指數(shù)收斂率的確定問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化為能利用LMI工具箱解決的優(yōu)化問(wèn)題，大大提高了該理論在實(shí)際應(yīng)用中的可操作性.最后通過(guò)有代表性的實(shí)例對(duì)所得結(jié)論分別進(jìn)行了驗(yàn)證.

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