向 婷 江明輝

（三峽大學 理學院，湖北 宜昌 443002）

近年來，針對復雜網(wǎng)絡模型的研究已經(jīng)深入到生活和科學研究的各個領域，包括互聯(lián)網(wǎng)、食物鏈、電力網(wǎng)等，成為目前跨學科、跨領域研究的熱點和重點問題之一.所謂復雜網(wǎng)絡是由大量節(jié)點通過一定的耦合方式連接起來，形成具有復雜動力學行為的大的網(wǎng)絡.在不同環(huán)境下，這些節(jié)點所代表的意義不盡相同，比如在食物鏈中一個節(jié)點表示一個物種，而在互聯(lián)網(wǎng)中一個節(jié)點代表一臺獨立工作的計算機.同時，節(jié)點間的耦合強度和耦合關系對動力行為也會產(chǎn)生不同的促進或抑制作用.

在國內(nèi)外大量學者研究復雜網(wǎng)絡的熱潮中，復雜網(wǎng)絡的同步問題更是顯得非常有吸引力，目前已經(jīng)得到了大量相關的重要理論結果［1－4].具有代表性的有：Wang和Chen基于簡單動力學網(wǎng)絡模型的同步問題研究［1－2]；然后Li和Chen又將這個模型擴展到具有耦合時滯的系統(tǒng)［3]，Lv研究了時變動力學網(wǎng)絡模型的周期同步［4].這些工作主要集中在對網(wǎng)絡同步能力的研究上，側重于網(wǎng)絡屬性對網(wǎng)絡同步能力的影響，以此通過設計網(wǎng)絡的拓撲結構和網(wǎng)絡耦合強度來提高網(wǎng)絡的同步能力，從而達到實際應用中對網(wǎng)絡的要求.而事實上，大部分網(wǎng)絡在沒有外部控制器的作用下很難實現(xiàn)同步，即便能實現(xiàn)也需要付出較大的代價.因此，同步控制受到廣泛關注，一系列的同步控制方法也應運而生.由于復雜網(wǎng)絡節(jié)點眾多，在每個節(jié)點施加控制的方法在實際應用中可行性較小，因此有專家學者提出了pinning控制（牽制控制）的思想：通過對網(wǎng)絡中的部分節(jié)點施加控制從而實現(xiàn)整個網(wǎng)絡具有實際所期望的行為［5－8].基于這一理論，復雜網(wǎng)絡的控制就有了實際可行的方法.

同時，至目前為止的研究結果大多建立在理想狀態(tài)下，并沒有考慮事實存在而且可能會影響網(wǎng)絡動態(tài)行為的外部干擾和噪聲.因此，提高系統(tǒng)的抗干擾能力顯得尤為重要.根據(jù)H∞的理論應用，許多相關問題可轉變?yōu)镠∞問題［9－10]，而H∞性能指數(shù)恰能精確地反映系統(tǒng)的抗干擾能力.因此，本文將分析具有耦合時變時滯的一般復雜網(wǎng)絡的H∞同步問題.

綜上所述，本文首先基于pinning控制方法，為一類廣義時變時滯復雜網(wǎng)絡設計了線性狀態(tài)反饋控制器，然后基于經(jīng)典Lyapunov理論［11]和線性矩陣不等式理論［12]，討論了在這類控制器作用下系統(tǒng)的H∞指數(shù)同步控制條件［13]，并給出了相應的算法，最后通過一個經(jīng)典實例驗證了所得結論的有效性和可行性.

1 系統(tǒng)描述與定義

考慮一個由N個相同節(jié)點構成的時變時滯復雜網(wǎng)絡，其中每一節(jié)點均為一個n維動態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)方程描述［1－4]為

其中，xi（t）＝（xi1（t），…，xin（t））∈Rn為第i個動態(tài)節(jié)點的狀態(tài)變量；常數(shù)c代表網(wǎng)絡的耦合強度；A＝（aij）N×N∈RN×N為外部耦合矩陣，其中aij定義如下：若節(jié)點i與節(jié)點j（j≠i）存在連接則aij＞0，否則aij＝0，同時A是不可約的.常矩陣H∈Rn×n為內(nèi)部耦合矩陣.f（xi（t））：Rn×Rn→Rn代表了單個節(jié)點的動力學特性，是連續(xù)可微向量函數(shù)，對于任意初始值（t，xi0）都存在唯一連續(xù)解，其中xi0是一個n維向量；ωi（t）∈L0［0，∞）表示不確定外部干擾.時滯τ（t）是一個時變連續(xù)函數(shù)，滿足

其中τ，τd分別表示時滯和時滯導數(shù)的上界.

注1：在網(wǎng)絡（1）中，外部耦合矩陣A可以是不對稱的，而且矩陣元素也可以不是0或1.同時，對于內(nèi)部耦合矩陣H沒有任何約束條件，這也大大降低了本系統(tǒng)的保守性.

定義1［11]稱系統(tǒng)（1）是具有給定H∞性能γ下的魯棒指數(shù)同步，如果滿足

1）當外部干擾ω（t）＝0時，系統(tǒng)解s（t）是全局指數(shù)同步的，即閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定；

2）在零初始條件下，對于任意非零外部干擾ω（t）∈L2［0，∞），被控輸出滿足 ‖z（t）‖2≤γ‖ω（t）‖2.

定義2 函數(shù)QUAD（Θ，P）：令P為對稱正定矩陣，Θ為對角矩陣，QUAD（（Θ，P））表示一類函數(shù)f（x）：RN×n→RN×n，對于任意σ＞0，所有的x，y∈RN×n，t＞t0均滿足

定義3［12]如果存在正常數(shù)ε＞0，M＞0，使得對于任意初始條件均滿足

在適當?shù)目刂破髯饔孟?，原系統(tǒng)（1）是全局指數(shù)同步的.

引理1（Schur補）［12]令S11，S12，S22為給定對稱矩陣，且滿足S22＞0，則

引理2［12]對于任意向量x，y∈Rm，正定矩陣Q∈Rm×m，下述矩陣不等式均成立：

2 主要結果

2.1 連續(xù)型復雜網(wǎng)絡的H∞指數(shù)同步

本文的主要目標是通過引入牽制控制策略使得網(wǎng)絡（1）中的每個節(jié)點的狀態(tài)趨于一致，即

其中s（t）是孤立節(jié)點的解，即為此時的同步狀態(tài).不失一般性，這里將網(wǎng)絡節(jié)點進行重新排序，并對前l(fā)個節(jié)點施加控制［5－8，14].因此，被控系統(tǒng)可描述為

在此，應用時滯狀態(tài)反饋控制器，具體形式為

其中，反饋增益di≥0，ki≥0.定義誤差向量：Δi（t）＝xi（t）－s（t），i＝1，2，…，N.

結合式（1）～（4），若j∈｛l＋1，…，N｝，則令dj＝0，kj＝0.則誤差系統(tǒng)可通過非線性微分方程描述為

定義如下矩陣：K＝diag（k1，……，kN），D＝diag（d1，…，dN），其中對于任意i∈｛l＋1，…，N｝有di＝ki＝0.在此采用Kronecker積的表示形式，可將誤差系統(tǒng)進一步簡化為

因此，將N×n維復雜網(wǎng)絡（1）的同步控制問題轉化成了非線性誤差系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定性問題.

同時，為了讓系統(tǒng)具有較強的抗干擾能力，定義如下系統(tǒng)輸出函數(shù)

而系統(tǒng)的抗干擾能力可通過閉環(huán)傳遞函數(shù)來進行判斷［15－16]，函數(shù)具體形式為

此時的目的是使得對于任意給定的H∞性能指標γ均有：‖Tωz‖≤γ，即

定理1 若假設條件（2）成立，f（x（t））∈QUAD（（Θ，P）），且對于任意給定的γ＞0，存在一個正常數(shù)ε以及對稱正定矩陣P，Q滿足

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετQ，E＝D?H，F(xiàn)＝（A－K）?H，則誤差系統(tǒng)（5）是指數(shù)穩(wěn)定的，即被控閉環(huán)系統(tǒng)（4）是H∞指數(shù)同步的，且指數(shù)收斂率為

證明：由于E＝D?H，F(xiàn)＝（A－K）?H，則誤差系統(tǒng)（5）可進一步簡化為

首先，建立系統(tǒng)（7）在ω（t）＝0下的指數(shù)穩(wěn)定性［11，17].選取 Lyapunov函數(shù)

其中P，Q是對稱正定矩陣.接下來沿系統(tǒng)（7）的任意軌跡，讓V（t）對時間t求導可得

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετQ.因此V（t）≤V（0）.

同時，在此結式合（6），（7）和（8），還可得到

其中，

接著應用Schur補引理，可知不等式（6）就等價于：Ω＜0.

因此，

在此，對式（9）的左右兩邊均從0到t進行積分，則可得到：

令t→∞，則在零初始條件下，有

因此，對于任意非零的ω（t）∈L2［0，∞），均有‖z（t）‖2≤γ2‖ω（t）‖2成立.根據(jù)定義1，結果得證，定理證明完畢.

定理1將時變時滯復雜網(wǎng)絡（1）的H∞指數(shù)同步控制問題轉化為矩陣P，Q的存在性問題，為進一步簡化結論，不妨令Q為單位矩陣Im，可得如下結論.

定理2 若假設條件（2）成立，f（x（t））∈QUAD（Θ，P），且對于任意給定的γ＞0，存在一個正常數(shù)ε以及對稱正定矩陣P，滿足

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετIm，則誤差系統(tǒng)（5）是指數(shù)穩(wěn)定的，即被控閉環(huán)系統(tǒng)（4）是H∞指數(shù)同步的，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

定理3 當τ′（t）＝0時，若假設條件（2）成立，f（x（t））∈QUAD（Θ，P），且對于任意給定的γ＞0，存在一個正常數(shù)ε以及對稱正定矩陣P，Q，滿足

其中Γ＝εP－2σP＋2PΘ－2cPE＋eετQ＋PFQ－1F－1P－1，則誤差系統(tǒng)（5）是指數(shù)穩(wěn)定的，即被控閉環(huán)系統(tǒng)（4）是H∞指數(shù)同步的，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

證明：定義Lyapunov函數(shù)

其中，P，Q是對稱正定矩陣.接下來沿系統(tǒng)（7）的任意軌跡，讓V（t）對時間t求導可得

根據(jù)引理2，可得

因此，

接下來的論證過程類似于定理（1）的證明，在此省略.

2.2 離散型復雜網(wǎng)絡的H∞指數(shù)同步

連續(xù)型系統(tǒng)可由微分方程來表述，而離散型系統(tǒng)由差分方程描述，兩者需要差別對待.在此，本文有必要將所得結論進一步推廣到離散型系統(tǒng)［18－21].考慮一個由N個相同節(jié)點組成的網(wǎng)絡，其中每一節(jié)點均為一個n維動態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)方程為

其中xi，f，c，aij，H，ω所代表的意義與系統(tǒng)（1）中相同.時滯τ（k）是一個時變離散函數(shù)，滿足

本節(jié)首先需要考慮的是將系統(tǒng)（1）穩(wěn)定到同步狀態(tài)s（k），即

為實現(xiàn)這一目標，本節(jié)仍然采用牽制控制策略.為了不失一般性，這里將網(wǎng)絡節(jié)點進行重新排序，并令前l(fā)個節(jié)點為受控節(jié)點.在此，應用時滯狀態(tài)反饋控制器，具體形式為

其中，反饋增益di≥0，ki≥0.定義誤差系統(tǒng)：Δi（k）＝xi（k）－s（k），i＝1，2，…，N.

結合式（10）～（13），如果j∈｛l＋1，…，N｝，令dj＝0，kj＝0.則誤差系統(tǒng)可通過非線性微分方程描述為

其中對于任意l≤i≤N有di＝ki＝0.

因此，將N×n維系統(tǒng)（10）的同步控制問題轉化成了非線性系統(tǒng)（14）的穩(wěn)定性問題.

同時，為了讓系統(tǒng)具有較強的抗干擾能力，定義如下系統(tǒng)輸出函數(shù)

在此的目的是使得對于任意給定的H∞性能指標γ均能有：‖Tωz‖≤γ，即

定理4 如果假設條件（11）成立，且對于任意給定標量τm＞0，τM＞0，γ＞0，存在一個正常數(shù)ε以及對稱正定矩陣P，Q滿足

其中Γ＝eε（J－cE）P（J－cE）－P＋Q，則在控制器（13）的作用下，原系統(tǒng)（10）實現(xiàn)H∞指數(shù)同步，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

證明：定義矩陣K＝diag（k1，…，kN），D＝diag（d1，…，dN），并將網(wǎng)絡模型在s（k）處線性化，則可將式（4.5）轉化為

其中J＝diag（J1，…，JN）且是f（x）在s（k）處的Jacobian矩陣，E＝D?H，F(xiàn)＝（AK）?H.在此，首先建立系統(tǒng)（16）在ω（t）＝0下的指數(shù)穩(wěn)定性.構造如下Lyapunov函數(shù)：

其中P，Q∈RN×n是對稱正定矩陣.

其中Γ＝eε（J－cE）P（J－cE）－P＋Q.因此，

下面，需要證明對于任意非零ω（k）∈L2［0，∞），閉環(huán)系統(tǒng)（4.6）在零初始狀態(tài)下滿足‖Tωz‖≤γ.這里將Jωz進一步轉化為

由于V（Δ（k））≥0，容易得到

那么，根據(jù)Schur補性質(zhì)，在零初始狀態(tài)下，就有‖z‖2≤γ‖ω‖2，定理得證.

定理5：如果假設條件（11）成立，且對于任意給定標量τm＞0，τM＞0，γ＞0，存在一個正常數(shù)ε以及對稱正定矩陣P滿足

其中Γ＝eε（J－cE）P（J－cE）－P＋ceε（J－cE）PF，則在控制器（13）的作用下，原系統(tǒng)（10）實現(xiàn)H∞指數(shù)同步，且指數(shù)收斂率為－ε／2.

由此可見，由差分方程描述的離散系統(tǒng)在牽制控制下也能實現(xiàn)指數(shù)同步.

注2：與文獻［7，21]相比，本文結論主要作了幾方面的推廣：（1）網(wǎng)絡系統(tǒng)的結構無需假設aij為0或1，對內(nèi)部矩陣H也沒有約束的條件；（2）在文獻［7]中，時滯是一個常數(shù)，不隨時間的變化而變化，但本文考慮的是時變耦合時滯系統(tǒng)；（3）應用萊布尼茲－牛頓公式和一些自由加權矩陣使得本文的研究結論具有更好的保守性；（4）與文獻［7，21]中的漸進同步相比，本文的指數(shù)同步具有更快的收斂速度.

注3：本文采用了Pinning控制策略使得具有時變時滯和不確定干擾的復雜網(wǎng)絡實現(xiàn)指數(shù)同步.此外，在已有文獻中，很多研究結論都集中在指數(shù)同步問題上，很少考慮到時變時滯復雜網(wǎng)絡的H∞指數(shù)同步問題.因此，本文恰是對以往研究成果的一個有用推廣.

注4：容易看出在定理1，定理4中所敘述的條件關于ε，P，Q都不是嚴格的線性矩陣不等式，出現(xiàn)了非線性部分.但是，在此一旦固定P，Q，這些條件就可轉化為基于優(yōu)化問題的線性矩陣不等式.

1）估算定理1中ε的最優(yōu)界：Maximize：ε

Subject to（6）；

2）估算定理4中ε的最優(yōu)界：

Maximize：ε

Subject to（15）；

為了在后面給出直觀的實例分析，在此將具體討論相應的算法分析.算法描述如下：

步驟1：首先為ε選擇一個非負初值，并令N0＝1，k＝0.同時計算終止次數(shù)N，然后轉到步驟3；

步驟2：若Nk＋1≤N，則令ε＝0.5＊ε，然后繼續(xù)下一步.否則，計算失敗，終止算法；

步驟3：利用Matlab中的LMI工具箱解線性矩陣不等式（6）或（15）.若不可解，則令Nk＋1≤Nk＋1，k＝k＋1，然后轉到步驟2.否則，計算P，Q并結束算法.

3 仿真實例

本節(jié)將通過具體的實例來驗證結論的有效性.

考慮一個由4個節(jié)點所構成的動力系統(tǒng)，而每個節(jié)點代表一個三維子系統(tǒng).此時系統(tǒng)可記為

例：對于式（19），選擇如下：

很顯然，函數(shù)f（x）滿足函數(shù)QUAD（Θ，P）的條件.在此，選擇第2和第3個節(jié)點實施控制，且控制增益選擇為d2＝d3＝k2＝k3＝3.根據(jù)前面介紹的算法，可計算得到指數(shù)同步的最大收斂率為ε≤1.2，同時，通過應用Matlab中的LMI工具箱計算得到存在對稱正定矩陣P，Q.

4 結 論

本文主要研究了牽制控制下的時變時滯系統(tǒng)的H∞指數(shù)同步問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，并借助于線性矩陣不等式方法給出了時變時滯復雜網(wǎng)絡的H∞指數(shù)同步控制充分條件，在保證系統(tǒng)具有較好同步性能的同時還保證了系統(tǒng)的抗外部干擾能力，并在實際應用中將H∞指數(shù)同步控制問題和指數(shù)收斂率的確定問題有效轉化為能利用LMI工具箱解決的優(yōu)化問題，大大提高了該理論在實際應用中的可操作性.最后通過有代表性的實例對所得結論分別進行了驗證.

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