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        一類變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞牽制同步

        2012-08-02 03:41:04江明輝
        關(guān)鍵詞:同步控制時(shí)變時(shí)滯

        向 婷 江明輝

        (三峽大學(xué) 理學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

        近年來(lái),針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的研究已經(jīng)深入到生活和科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域,包括互聯(lián)網(wǎng)、食物鏈、電力網(wǎng)等,成為目前跨學(xué)科、跨領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題之一.所謂復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由大量節(jié)點(diǎn)通過(guò)一定的耦合方式連接起來(lái),形成具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的大的網(wǎng)絡(luò).在不同環(huán)境下,這些節(jié)點(diǎn)所代表的意義不盡相同,比如在食物鏈中一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)物種,而在互聯(lián)網(wǎng)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一臺(tái)獨(dú)立工作的計(jì)算機(jī).同時(shí),節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度和耦合關(guān)系對(duì)動(dòng)力行為也會(huì)產(chǎn)生不同的促進(jìn)或抑制作用.

        在國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮中,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題更是顯得非常有吸引力,目前已經(jīng)得到了大量相關(guān)的重要理論結(jié)果[1-4].具有代表性的有:Wang和Chen基于簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型的同步問(wèn)題研究[1-2];然后Li和Chen又將這個(gè)模型擴(kuò)展到具有耦合時(shí)滯的系統(tǒng)[3],Lv研究了時(shí)變動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型的周期同步[4].這些工作主要集中在對(duì)網(wǎng)絡(luò)同步能力的研究上,側(cè)重于網(wǎng)絡(luò)屬性對(duì)網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響,以此通過(guò)設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)耦合強(qiáng)度來(lái)提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力,從而達(dá)到實(shí)際應(yīng)用中對(duì)網(wǎng)絡(luò)的要求.而事實(shí)上,大部分網(wǎng)絡(luò)在沒(méi)有外部控制器的作用下很難實(shí)現(xiàn)同步,即便能實(shí)現(xiàn)也需要付出較大的代價(jià).因此,同步控制受到廣泛關(guān)注,一系列的同步控制方法也應(yīng)運(yùn)而生.由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)眾多,在每個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制的方法在實(shí)際應(yīng)用中可行性較小,因此有專家學(xué)者提出了pinning控制(牽制控制)的思想:通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點(diǎn)施加控制從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有實(shí)際所期望的行為[5-8].基于這一理論,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的控制就有了實(shí)際可行的方法.

        同時(shí),至目前為止的研究結(jié)果大多建立在理想狀態(tài)下,并沒(méi)有考慮事實(shí)存在而且可能會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)行為的外部干擾和噪聲.因此,提高系統(tǒng)的抗干擾能力顯得尤為重要.根據(jù)H∞的理論應(yīng)用,許多相關(guān)問(wèn)題可轉(zhuǎn)變?yōu)镠∞問(wèn)題[9-10],而H∞性能指數(shù)恰能精確地反映系統(tǒng)的抗干擾能力.因此,本文將分析具有耦合時(shí)變時(shí)滯的一般復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞同步問(wèn)題.

        綜上所述,本文首先基于pinning控制方法,為一類廣義時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了線性狀態(tài)反饋控制器,然后基于經(jīng)典Lyapunov理論[11]和線性矩陣不等式理論[12],討論了在這類控制器作用下系統(tǒng)的H∞指數(shù)同步控制條件[13],并給出了相應(yīng)的算法,最后通過(guò)一個(gè)經(jīng)典實(shí)例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性和可行性.

        1 系統(tǒng)描述與定義

        考慮一個(gè)由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),其中每一節(jié)點(diǎn)均為一個(gè)n維動(dòng)態(tài)系統(tǒng),狀態(tài)方程描述[1-4]為

        其中,xi(t)=(xi1(t),…,xin(t))∈Rn為第i個(gè)動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量;常數(shù)c代表網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度;A=(aij)N×N∈RN×N為外部耦合矩陣,其中aij定義如下:若節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j(j≠i)存在連接則aij>0,否則aij=0,同時(shí)A是不可約的.常矩陣H∈Rn×n為內(nèi)部耦合矩陣.f(xi(t)):Rn×Rn→Rn代表了單個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)特性,是連續(xù)可微向量函數(shù),對(duì)于任意初始值(t,xi0)都存在唯一連續(xù)解,其中xi0是一個(gè)n維向量;ωi(t)∈L0[0,∞)表示不確定外部干擾.時(shí)滯τ(t)是一個(gè)時(shí)變連續(xù)函數(shù),滿足

        其中τ,τd分別表示時(shí)滯和時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的上界.

        注1:在網(wǎng)絡(luò)(1)中,外部耦合矩陣A可以是不對(duì)稱的,而且矩陣元素也可以不是0或1.同時(shí),對(duì)于內(nèi)部耦合矩陣H沒(méi)有任何約束條件,這也大大降低了本系統(tǒng)的保守性.

        定義1[11]稱系統(tǒng)(1)是具有給定H∞性能γ下的魯棒指數(shù)同步,如果滿足

        1)當(dāng)外部干擾ω(t)=0時(shí),系統(tǒng)解s(t)是全局指數(shù)同步的,即閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定;

        2)在零初始條件下,對(duì)于任意非零外部干擾ω(t)∈L2[0,∞),被控輸出滿足 ‖z(t)‖2≤γ‖ω(t)‖2.

        定義2 函數(shù)QUAD(Θ,P):令P為對(duì)稱正定矩陣,Θ為對(duì)角矩陣,QUAD((Θ,P))表示一類函數(shù)f(x):RN×n→RN×n,對(duì)于任意σ>0,所有的x,y∈RN×n,t>t0均滿足

        定義3[12]如果存在正常數(shù)ε>0,M>0,使得對(duì)于任意初始條件均滿足

        在適當(dāng)?shù)目刂破髯饔孟?,原系統(tǒng)(1)是全局指數(shù)同步的.

        引理1(Schur補(bǔ))[12]令S11,S12,S22為給定對(duì)稱矩陣,且滿足S22>0,則

        引理2[12]對(duì)于任意向量x,y∈Rm,正定矩陣Q∈Rm×m,下述矩陣不等式均成立:

        2 主要結(jié)果

        2.1 連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步

        本文的主要目標(biāo)是通過(guò)引入牽制控制策略使得網(wǎng)絡(luò)(1)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)趨于一致,即

        其中s(t)是孤立節(jié)點(diǎn)的解,即為此時(shí)的同步狀態(tài).不失一般性,這里將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重新排序,并對(duì)前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制[5-8,14].因此,被控系統(tǒng)可描述為

        在此,應(yīng)用時(shí)滯狀態(tài)反饋控制器,具體形式為

        其中,反饋增益di≥0,ki≥0.定義誤差向量:Δi(t)=xi(t)-s(t),i=1,2,…,N.

        結(jié)合式(1)~(4),若j∈{l+1,…,N},則令dj=0,kj=0.則誤差系統(tǒng)可通過(guò)非線性微分方程描述為

        定義如下矩陣:K=diag(k1,……,kN),D=diag(d1,…,dN),其中對(duì)于任意i∈{l+1,…,N}有di=ki=0.在此采用Kronecker積的表示形式,可將誤差系統(tǒng)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

        因此,將N×n維復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)的同步控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了非線性誤差系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性問(wèn)題.

        同時(shí),為了讓系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力,定義如下系統(tǒng)輸出函數(shù)

        而系統(tǒng)的抗干擾能力可通過(guò)閉環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)進(jìn)行判斷[15-16],函數(shù)具體形式為

        此時(shí)的目的是使得對(duì)于任意給定的H∞性能指標(biāo)γ均有:‖Tωz‖≤γ,即

        定理1 若假設(shè)條件(2)成立,f(x(t))∈QUAD((Θ,P)),且對(duì)于任意給定的γ>0,存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P,Q滿足

        其中Γ=εP-2σP+2PΘ-2cPE+eετQ,E=D?H,F(xiàn)=(A-K)?H,則誤差系統(tǒng)(5)是指數(shù)穩(wěn)定的,即被控閉環(huán)系統(tǒng)(4)是H∞指數(shù)同步的,且指數(shù)收斂率為

        證明:由于E=D?H,F(xiàn)=(A-K)?H,則誤差系統(tǒng)(5)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

        首先,建立系統(tǒng)(7)在ω(t)=0下的指數(shù)穩(wěn)定性[11,17].選取 Lyapunov函數(shù)

        其中P,Q是對(duì)稱正定矩陣.接下來(lái)沿系統(tǒng)(7)的任意軌跡,讓V(t)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

        其中Γ=εP-2σP+2PΘ-2cPE+eετQ.因此V(t)≤V(0).

        同時(shí),在此結(jié)式合(6),(7)和(8),還可得到

        其中,

        接著應(yīng)用Schur補(bǔ)引理,可知不等式(6)就等價(jià)于:Ω<0.

        因此,

        在此,對(duì)式(9)的左右兩邊均從0到t進(jìn)行積分,則可得到:

        令t→∞,則在零初始條件下,有

        因此,對(duì)于任意非零的ω(t)∈L2[0,∞),均有‖z(t)‖2≤γ2‖ω(t)‖2成立.根據(jù)定義1,結(jié)果得證,定理證明完畢.

        定理1將時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)的H∞指數(shù)同步控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣P,Q的存在性問(wèn)題,為進(jìn)一步簡(jiǎn)化結(jié)論,不妨令Q為單位矩陣Im,可得如下結(jié)論.

        定理2 若假設(shè)條件(2)成立,f(x(t))∈QUAD(Θ,P),且對(duì)于任意給定的γ>0,存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P,滿足

        其中Γ=εP-2σP+2PΘ-2cPE+eετIm,則誤差系統(tǒng)(5)是指數(shù)穩(wěn)定的,即被控閉環(huán)系統(tǒng)(4)是H∞指數(shù)同步的,且指數(shù)收斂率為-ε/2.

        定理3 當(dāng)τ′(t)=0時(shí),若假設(shè)條件(2)成立,f(x(t))∈QUAD(Θ,P),且對(duì)于任意給定的γ>0,存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P,Q,滿足

        其中Γ=εP-2σP+2PΘ-2cPE+eετQ+PFQ-1F-1P-1,則誤差系統(tǒng)(5)是指數(shù)穩(wěn)定的,即被控閉環(huán)系統(tǒng)(4)是H∞指數(shù)同步的,且指數(shù)收斂率為-ε/2.

        證明:定義Lyapunov函數(shù)

        其中,P,Q是對(duì)稱正定矩陣.接下來(lái)沿系統(tǒng)(7)的任意軌跡,讓V(t)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

        根據(jù)引理2,可得

        因此,

        接下來(lái)的論證過(guò)程類似于定理(1)的證明,在此省略.

        2.2 離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步

        連續(xù)型系統(tǒng)可由微分方程來(lái)表述,而離散型系統(tǒng)由差分方程描述,兩者需要差別對(duì)待.在此,本文有必要將所得結(jié)論進(jìn)一步推廣到離散型系統(tǒng)[18-21].考慮一個(gè)由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)絡(luò),其中每一節(jié)點(diǎn)均為一個(gè)n維動(dòng)態(tài)系統(tǒng),狀態(tài)方程為

        其中xi,f,c,aij,H,ω所代表的意義與系統(tǒng)(1)中相同.時(shí)滯τ(k)是一個(gè)時(shí)變離散函數(shù),滿足

        本節(jié)首先需要考慮的是將系統(tǒng)(1)穩(wěn)定到同步狀態(tài)s(k),即

        為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),本節(jié)仍然采用牽制控制策略.為了不失一般性,這里將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重新排序,并令前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)為受控節(jié)點(diǎn).在此,應(yīng)用時(shí)滯狀態(tài)反饋控制器,具體形式為

        其中,反饋增益di≥0,ki≥0.定義誤差系統(tǒng):Δi(k)=xi(k)-s(k),i=1,2,…,N.

        結(jié)合式(10)~(13),如果j∈{l+1,…,N},令dj=0,kj=0.則誤差系統(tǒng)可通過(guò)非線性微分方程描述為

        其中對(duì)于任意l≤i≤N有di=ki=0.

        因此,將N×n維系統(tǒng)(10)的同步控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了非線性系統(tǒng)(14)的穩(wěn)定性問(wèn)題.

        同時(shí),為了讓系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力,定義如下系統(tǒng)輸出函數(shù)

        在此的目的是使得對(duì)于任意給定的H∞性能指標(biāo)γ均能有:‖Tωz‖≤γ,即

        定理4 如果假設(shè)條件(11)成立,且對(duì)于任意給定標(biāo)量τm>0,τM>0,γ>0,存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P,Q滿足

        其中Γ=eε(J-cE)P(J-cE)-P+Q,則在控制器(13)的作用下,原系統(tǒng)(10)實(shí)現(xiàn)H∞指數(shù)同步,且指數(shù)收斂率為-ε/2.

        證明:定義矩陣K=diag(k1,…,kN),D=diag(d1,…,dN),并將網(wǎng)絡(luò)模型在s(k)處線性化,則可將式(4.5)轉(zhuǎn)化為

        其中J=diag(J1,…,JN)且是f(x)在s(k)處的Jacobian矩陣,E=D?H,F(xiàn)=(AK)?H.在此,首先建立系統(tǒng)(16)在ω(t)=0下的指數(shù)穩(wěn)定性.構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

        其中P,Q∈RN×n是對(duì)稱正定矩陣.

        其中Γ=eε(J-cE)P(J-cE)-P+Q.因此,

        下面,需要證明對(duì)于任意非零ω(k)∈L2[0,∞),閉環(huán)系統(tǒng)(4.6)在零初始狀態(tài)下滿足‖Tωz‖≤γ.這里將Jωz進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

        由于V(Δ(k))≥0,容易得到

        那么,根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì),在零初始狀態(tài)下,就有‖z‖2≤γ‖ω‖2,定理得證.

        定理5:如果假設(shè)條件(11)成立,且對(duì)于任意給定標(biāo)量τm>0,τM>0,γ>0,存在一個(gè)正常數(shù)ε以及對(duì)稱正定矩陣P滿足

        其中Γ=eε(J-cE)P(J-cE)-P+ceε(J-cE)PF,則在控制器(13)的作用下,原系統(tǒng)(10)實(shí)現(xiàn)H∞指數(shù)同步,且指數(shù)收斂率為-ε/2.

        由此可見(jiàn),由差分方程描述的離散系統(tǒng)在牽制控制下也能實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步.

        注2:與文獻(xiàn)[7,21]相比,本文結(jié)論主要作了幾方面的推廣:(1)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)無(wú)需假設(shè)aij為0或1,對(duì)內(nèi)部矩陣H也沒(méi)有約束的條件;(2)在文獻(xiàn)[7]中,時(shí)滯是一個(gè)常數(shù),不隨時(shí)間的變化而變化,但本文考慮的是時(shí)變耦合時(shí)滯系統(tǒng);(3)應(yīng)用萊布尼茲-牛頓公式和一些自由加權(quán)矩陣使得本文的研究結(jié)論具有更好的保守性;(4)與文獻(xiàn)[7,21]中的漸進(jìn)同步相比,本文的指數(shù)同步具有更快的收斂速度.

        注3:本文采用了Pinning控制策略使得具有時(shí)變時(shí)滯和不確定干擾的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步.此外,在已有文獻(xiàn)中,很多研究結(jié)論都集中在指數(shù)同步問(wèn)題上,很少考慮到時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步問(wèn)題.因此,本文恰是對(duì)以往研究成果的一個(gè)有用推廣.

        注4:容易看出在定理1,定理4中所敘述的條件關(guān)于ε,P,Q都不是嚴(yán)格的線性矩陣不等式,出現(xiàn)了非線性部分.但是,在此一旦固定P,Q,這些條件就可轉(zhuǎn)化為基于優(yōu)化問(wèn)題的線性矩陣不等式.

        1)估算定理1中ε的最優(yōu)界:Maximize:ε

        Subject to(6);

        2)估算定理4中ε的最優(yōu)界:

        Maximize:ε

        Subject to(15);

        為了在后面給出直觀的實(shí)例分析,在此將具體討論相應(yīng)的算法分析.算法描述如下:

        步驟1:首先為ε選擇一個(gè)非負(fù)初值,并令N0=1,k=0.同時(shí)計(jì)算終止次數(shù)N,然后轉(zhuǎn)到步驟3;

        步驟2:若Nk+1≤N,則令ε=0.5*ε,然后繼續(xù)下一步.否則,計(jì)算失敗,終止算法;

        步驟3:利用Matlab中的LMI工具箱解線性矩陣不等式(6)或(15).若不可解,則令Nk+1≤Nk+1,k=k+1,然后轉(zhuǎn)到步驟2.否則,計(jì)算P,Q并結(jié)束算法.

        3 仿真實(shí)例

        本節(jié)將通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)驗(yàn)證結(jié)論的有效性.

        考慮一個(gè)由4個(gè)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng),而每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)三維子系統(tǒng).此時(shí)系統(tǒng)可記為

        例:對(duì)于式(19),選擇如下:

        很顯然,函數(shù)f(x)滿足函數(shù)QUAD(Θ,P)的條件.在此,選擇第2和第3個(gè)節(jié)點(diǎn)實(shí)施控制,且控制增益選擇為d2=d3=k2=k3=3.根據(jù)前面介紹的算法,可計(jì)算得到指數(shù)同步的最大收斂率為ε≤1.2,同時(shí),通過(guò)應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱計(jì)算得到存在對(duì)稱正定矩陣P,Q.

        4 結(jié) 論

        本文主要研究了牽制控制下的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的H∞指數(shù)同步問(wèn)題,基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,并借助于線性矩陣不等式方法給出了時(shí)變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞指數(shù)同步控制充分條件,在保證系統(tǒng)具有較好同步性能的同時(shí)還保證了系統(tǒng)的抗外部干擾能力,并在實(shí)際應(yīng)用中將H∞指數(shù)同步控制問(wèn)題和指數(shù)收斂率的確定問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化為能利用LMI工具箱解決的優(yōu)化問(wèn)題,大大提高了該理論在實(shí)際應(yīng)用中的可操作性.最后通過(guò)有代表性的實(shí)例對(duì)所得結(jié)論分別進(jìn)行了驗(yàn)證.

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