于艷紅 劉 洋 李 宏
(1.山東英才職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,濟南 250116;2.內(nèi)蒙古大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,呼和浩特 010021)
本文研究如下一類半線性四階強阻尼波動方程[1-2]
式中,Ω是R2中具有Lipschitz連續(xù)邊界?Ω的有界區(qū)域,J=(0,T],0<T<∞,其中函數(shù)f(u)是足夠光滑的,且關(guān)于u滿足Lipschitz連續(xù)性條件:也即存在L>0,使得
系數(shù)A(x)是有界的正函數(shù),即存在正常數(shù)m和M滿足以下不等式
并且假設(shè)初值函數(shù)u0,u1,邊值函數(shù)g都是足夠光滑的.
近年來,混合有限元方法方面的研究得到了足夠的重視,文獻(xiàn)[3-5]中使用傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的混合元方法分別研究橢圓問題、拋物問題和一些非線性發(fā)展方程問題,文獻(xiàn)[6]研究了二階線性強阻尼波動方程的混合有限元方法.文獻(xiàn)[2]討論了四階強阻尼波動方程一維和多維情形的新的H1-Galerkin混合格式,還給出了有限元解的存在唯一性的證明,并給出了誤差估計.但是對于半線性四階強阻尼波動方程的標(biāo)準(zhǔn)混合有限元方法的研究還沒有出現(xiàn)過.本文利用文獻(xiàn)[6]的思想提出了半線性四階強阻尼波動方程的一種混合有限元格式,并分別給出了相應(yīng)的投影,引理和誤差估計證明.
為了下面分析問題需要,首先給出一些必要的定義及記號.(·,·)和‖·‖分別定義為L2內(nèi)積及范數(shù).并且定義加權(quán)L2(Ω)=(L2(Ω))2范數(shù)‖·‖A為‖v‖A=(A-1v,v)1/2,v∈(L2(Ω))2.并且L2(Ω)的子空間H(div;Ω)如下定義的
相應(yīng)的范數(shù)定義為
令σ=A(x)(▽utt+▽ut+▽u),可將原方程化為如下一階系統(tǒng):
令V=H(div;Ω)和W=L2(Ω),下面給出混合有限元的弱形式,求{(u),σ}:[0,T]→W×V使得:
其中〈·,·〉是定義在L2(?Ω)的內(nèi)積和v是?Ω的外法向量.
本文使用 Riviart-Thomas空間[4]Vh×Wh?V×W,問題(4)~(5)的半離散混合有限元格式為:求{σh,uh}:[0,T]→Vh×Wh,使得
為了用混合有限元方法來研究半線性四階強阻尼波動方程,應(yīng)該引入一個適合該方程的混合橢圓投影.求滿足:
腌漬方式:在制作脆皮雞時,先加鹽、味精等調(diào)味料進行前期腌漬,再加入新鮮的蒜苗和蒜瓣等蔬菜一同腌制,然后再刷脆皮水。
下面給出投影的存在唯一性.
定理1 系統(tǒng)(8)~(9)的解是存在唯一的.
證明 采用文獻(xiàn)[6]中的證明方法,只需證明相應(yīng)的齊次系統(tǒng)
有零解即可.
再者,對于空間Wh×Vh,存在一個與h無關(guān)的正常數(shù)C使得
因此由式(12)和式(17),得到
從式(14)和(15)兩式,可以得到
為理論分析的需要,相對于Rviart-Thomas空間,引進投影算子[6]Ph:W→Wh,滿足:
且有逼近性質(zhì)
這里Ph是L2投影,∏h是Rviart-Thomas投影.下面給出幾個重要的引理.
引理1[6]上面引進的投影算子對?φ∈V,成立div∏hφ=Phdivφ(其中div=▽·).下面給出的一些誤差估計.令u-Phu,則式(8)~(11)可以改寫為
引理2 令η=σ-σh,ρ1=Phu-uh和ρ2=u-Phu,滿足式(27)~(30),則以下的誤差估計成立.
證明 考慮輔助問題
設(shè)Ω對問題(31)是2正則,即當(dāng)g∈L2(Ω)時,存在唯一φ∈H2(Ω)∩H10(Ω)為(31)的解,且有先驗估計:
由式(27)和式(31)可以得到
使用已知投影估計及式(28),可得
注意到式(29)~式(30),得到
聯(lián)合式(37)和式(38),使用Gronwall引理,得到
從而有
引理3 令{σ,u}和{σh,uh}分別是(4)~(5)和(8)~(11)的解,則以下的誤差估計成立
對于k=0,有
對于k≥1,2≤r≤k+1,有
證明 利用ρ和η的定義,將誤差寫成
因為ρ和η由引理1給定,所以只需估計θ和ζ.因此關(guān)于θ和ζ的誤差由方程(4)~(9)可以寫成
在式(41)中分別取wh=θtt,wh=θt和wh=θ,并將這3個方程相加得
在式(42)中取vh=ζ,有
將式(43)和(44)相加,并注意到下面表達(dá)式
利用Cauchy-Schwarz不等式及Young不等式,有
對上式兩端關(guān)于時間從0到t積分,得到
再者,由于uht(0)=Phu1,從而有
聯(lián)立式(46)~(48),并使用Gronwall引理可得
聯(lián)立式(47)和式(49)使用引理3和三角不等式即得定理2結(jié)論.
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