于艷紅 劉 洋 李 宏

（1.山東英才職業(yè)技術學院 基礎部，濟南 250116；2.內蒙古大學 數學科學學院，呼和浩特 010021）

本文研究如下一類半線性四階強阻尼波動方程［1－2]

式中，Ω是R2中具有Lipschitz連續(xù)邊界?Ω的有界區(qū)域，J＝（0，T]，0＜T＜∞，其中函數f（u）是足夠光滑的，且關于u滿足Lipschitz連續(xù)性條件：也即存在L＞0，使得

系數A（x）是有界的正函數，即存在正常數m和M滿足以下不等式

并且假設初值函數u0，u1，邊值函數g都是足夠光滑的.

近年來，混合有限元方法方面的研究得到了足夠的重視，文獻［3－5]中使用傳統(tǒng)標準的混合元方法分別研究橢圓問題、拋物問題和一些非線性發(fā)展方程問題，文獻［6]研究了二階線性強阻尼波動方程的混合有限元方法.文獻［2]討論了四階強阻尼波動方程一維和多維情形的新的H1－Galerkin混合格式，還給出了有限元解的存在唯一性的證明，并給出了誤差估計.但是對于半線性四階強阻尼波動方程的標準混合有限元方法的研究還沒有出現過.本文利用文獻［6]的思想提出了半線性四階強阻尼波動方程的一種混合有限元格式，并分別給出了相應的投影，引理和誤差估計證明.

為了下面分析問題需要，首先給出一些必要的定義及記號.（·，·）和‖·‖分別定義為L2內積及范數.并且定義加權L2（Ω）＝（L2（Ω））2范數‖·‖A為‖v‖A＝（A－1v，v）1／2，v∈（L2（Ω））2.并且L2（Ω）的子空間H（div；Ω）如下定義的

相應的范數定義為

1 混合格式和重要引理

令σ＝A（x）（▽utt＋▽ut＋▽u），可將原方程化為如下一階系統(tǒng)：

令V＝H（div；Ω）和W＝L2（Ω），下面給出混合有限元的弱形式，求｛（u），σ｝：［0，T]→W×V使得：

其中〈·，·〉是定義在L2（?Ω）的內積和v是?Ω的外法向量.

本文使用 Riviart－Thomas空間［4]Vh×Wh?V×W，問題（4）～（5）的半離散混合有限元格式為：求｛σh，uh｝：［0，T]→Vh×Wh，使得

為了用混合有限元方法來研究半線性四階強阻尼波動方程，應該引入一個適合該方程的混合橢圓投影.求滿足：

腌漬方式：在制作脆皮雞時，先加鹽、味精等調味料進行前期腌漬，再加入新鮮的蒜苗和蒜瓣等蔬菜一同腌制，然后再刷脆皮水。

下面給出投影的存在唯一性.

定理1 系統(tǒng)（8）～（9）的解是存在唯一的.

證明 采用文獻［6]中的證明方法，只需證明相應的齊次系統(tǒng)

有零解即可.

再者，對于空間Wh×Vh，存在一個與h無關的正常數C使得

因此由式（12）和式（17），得到

從式（14）和（15）兩式，可以得到

為理論分析的需要，相對于Rviart－Thomas空間，引進投影算子［6]Ph：W→Wh，滿足：

且有逼近性質

這里Ph是L2投影，∏h是Rviart－Thomas投影.下面給出幾個重要的引理.

引理1［6]上面引進的投影算子對?φ∈V，成立div∏hφ＝Phdivφ（其中div＝▽·）.下面給出的一些誤差估計.令u－Phu，則式（8）～（11）可以改寫為

引理2 令η＝σ－σh，ρ1＝Phu－uh和ρ2＝u－Phu，滿足式（27）～（30），則以下的誤差估計成立.

證明 考慮輔助問題

設Ω對問題（31）是2正則，即當g∈L2（Ω）時，存在唯一φ∈H2（Ω）∩H10（Ω）為（31）的解，且有先驗估計：

由式（27）和式（31）可以得到

使用已知投影估計及式（28），可得

注意到式（29）～式（30），得到

聯合式（37）和式（38），使用Gronwall引理，得到

從而有

引理3 令｛σ，u｝和｛σh，uh｝分別是（4）～（5）和（8）～（11）的解，則以下的誤差估計成立

對于k＝0，有

對于k≥1，2≤r≤k＋1，有

2 誤差估計

證明 利用ρ和η的定義，將誤差寫成

因為ρ和η由引理1給定，所以只需估計θ和ζ.因此關于θ和ζ的誤差由方程（4）～（9）可以寫成

在式（41）中分別取wh＝θtt，wh＝θt和wh＝θ，并將這3個方程相加得

在式（42）中取vh＝ζ，有

將式（43）和（44）相加，并注意到下面表達式

利用Cauchy－Schwarz不等式及Young不等式，有

對上式兩端關于時間從0到t積分，得到

再者，由于uht（0）＝Phu1，從而有

聯立式（46）～（48），并使用Gronwall引理可得

聯立式（47）和式（49）使用引理3和三角不等式即得定理2結論.

［1]尚亞東.方程utt－Δu－Δut－Δutt＝f（u）的初邊值問題［J].應用數學學報，2000，23（3）：385－393.

［2]劉 洋，李 宏.四階強阻尼波方程的新混合元方法［J].計算數學，2010，32（2）：157－170.

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