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        兩種群競爭系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其數(shù)值仿真

        2012-08-02 03:41:06李曉康
        關(guān)鍵詞:軌線平衡點(diǎn)種群

        李曉康

        (陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系,陜西 漢中 723000)

        兩種群生態(tài)系統(tǒng)包括食餌-捕食者系統(tǒng)、共生系統(tǒng)、競爭系統(tǒng)[1].競爭系統(tǒng)是指兩個(gè)種群生活在同一環(huán)境下,具有相同的食物來源,為了生成而競爭,競爭的常見結(jié)局是競爭力較弱的種群數(shù)量逐步減少直至滅絕,競爭力較強(qiáng)的種群數(shù)量逐步增加趨于環(huán)境容許的最大數(shù)量[2].對兩種群競爭系統(tǒng)的研究,取得了大量的成果,文獻(xiàn)[3]對具有捕獲兩種群競爭系統(tǒng)的捕獲系數(shù)進(jìn)行了研究,王庚對兩種群競爭非線性反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)奇攝動Robin問題及其漸進(jìn)性進(jìn)行了研究[4-5].文獻(xiàn)[6]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群競爭系統(tǒng)的周期解,文獻(xiàn)[7-9]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)三競爭種群系統(tǒng)的適定性.

        本文將對兩種群競爭系統(tǒng)Volterra prey-predator模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析,并對模型進(jìn)行數(shù)值仿真.

        1 Volterra prey-predator模型

        兩競爭種群的數(shù)量x,y所滿足的微分方程組為

        模型(1)的含義為:種群數(shù)量變化率與自身數(shù)量成正比,同時(shí)由于自身數(shù)量和競爭者數(shù)量的阻滯作用,故在模型中減去它們的交叉項(xiàng).

        由于模型(1)為非線性模型,得不到其解析解,下面通過穩(wěn)定性及相軌線進(jìn)行分析.

        2 穩(wěn)定性及相軌線

        為分析兩種群相互競爭的結(jié)果,下面分析模型(1)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.由平衡點(diǎn)的定義,由模型(1),令其右端為0,得方程組:

        求解方程組(2),可得兩個(gè)平衡點(diǎn):P1(0,0),P2平衡點(diǎn)P1(0,0)表明兩種群最終消失,平衡點(diǎn)表明兩種群最終趨于某穩(wěn)定數(shù)量,這是希望看到的結(jié)果.下面分析平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件.

        由平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性理論:

        將2個(gè)平衡點(diǎn)的p,q計(jì)算結(jié)果及穩(wěn)定條件列入表1.

        表1 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

        下面利用相軌線對模型(1)進(jìn)行分析.

        首先,求解相軌線,即求

        分離變量,得:

        兩邊分別對y,x積分,有

        這里,C是任意常數(shù),化簡,得到

        這里,C0為任意常數(shù),且

        滿足初值條件x(0)=x0,y(0)=y(tǒng)0的解為

        顯然,y=0是一個(gè)特解.為分析相軌線的特征,下面對(3)進(jìn)行討論,有以下4種情況:

        1)-c+dx>0,a-by>0,即此時(shí),說明種群數(shù)量增加;

        2)-c+dx>0,a-by<0,即此時(shí)說明種群數(shù)量x增加,y減少;

        3)-c+dx<0,a-by>0,即此時(shí),說明種群數(shù)量x減少,y增加;

        4)-c+dx<0,a-by<0,即,此時(shí)說明種群數(shù)量減少.

        3 數(shù)值仿真

        下面利用Matlab軟件編程對模型(1)進(jìn)行數(shù)值仿真,Matlab程序如下:

        首先編輯M文件如下:

        function y=volterra(t,x)

        a=0.005;b=0.0006;c=0.006;d=0.0015;

        y=[a*x(1)-b*x(1)*x(2),-c*x(2)+d*x(1)*x(2)]';

        然后在命令窗口鍵入如下程序并運(yùn)行:ts=0:300;x0=[4,8.33];

        [t,x]=ode45('volterra',ts,x0);

        [t,x]

        subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),t,x(:,2));grid

        subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));grid

        運(yùn)行結(jié)果如圖1~7所示.圖6表明了Volterra prey-predator模型在參數(shù)給定時(shí)奇點(diǎn)周圍相軌線的走向.從圖6可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)在奇點(diǎn)8.33)周圍有一條閉軌線.

        4 結(jié) 論

        從以上分析及數(shù)值仿真的結(jié)果可以看出,兩種群競爭系統(tǒng)中兩種群的數(shù)量在平衡點(diǎn)附近震蕩、波動,對給定的參數(shù)值a=0.005,b=0.000 6,c=0.006,d=0.001 5和初值(x0,y0)=(4,8.33),種群甲的數(shù)量在4附近波動,種群乙的數(shù)量在8.33附近波動,周期大約為1 200,如圖7所示,存在一條閉軌線,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向,如圖6所示.且數(shù)值仿真結(jié)果表明:初值x0在[4,8],y0在[3,8]范圍內(nèi)變化,兩種群數(shù)量變化的特征和相軌線的特征基本不變.

        [1]Lucas W F.生命科學(xué)模型[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,1996:12.

        [2]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社,2006.

        [3]嚴(yán)鶴庭.具有捕獲兩種群競爭系統(tǒng)的捕獲系數(shù)研究[J].農(nóng)業(yè)與技術(shù),2011,31(3):70-72.

        [4]王 庚.兩種群競爭非線性反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)奇攝動Robin問題[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009,41(3):196-198.

        [5]王 庚.非線性兩種群競爭反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的漸近分析[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2006,41(2):253-256.

        [6]張玉娟,王紅麗.具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群競爭系統(tǒng)的周期解[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2011,26(1):25-33.

        [7]孫宏雨,趙 春.具有年齡結(jié)構(gòu)三競爭種群系統(tǒng)的適定性[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,31(2):1-5.

        [8]Luo Z X.Optimal Harvesting Control Problem for an Age-dependent Competing System of n Species[J].Apply Math Comput,2006,183:119-127.

        [9]Luo Z X,Du M Y.Optimal Harvesting for Age-dependent Food Chain Model[J].Appl Math Mech,2008,29(5):683-695.

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