李曉康

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 漢中 723000）

兩種群生態(tài)系統(tǒng)包括食餌－捕食者系統(tǒng)、共生系統(tǒng)、競爭系統(tǒng)［1].競爭系統(tǒng)是指兩個種群生活在同一環(huán)境下，具有相同的食物來源，為了生成而競爭，競爭的常見結(jié)局是競爭力較弱的種群數(shù)量逐步減少直至滅絕，競爭力較強的種群數(shù)量逐步增加趨于環(huán)境容許的最大數(shù)量［2].對兩種群競爭系統(tǒng)的研究，取得了大量的成果，文獻［3]對具有捕獲兩種群競爭系統(tǒng)的捕獲系數(shù)進行了研究，王庚對兩種群競爭非線性反應(yīng)擴散系統(tǒng)奇攝動Robin問題及其漸進性進行了研究［4－5].文獻［6]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群競爭系統(tǒng)的周期解，文獻［7－9]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)三競爭種群系統(tǒng)的適定性.

本文將對兩種群競爭系統(tǒng)Volterra prey－predator模型進行穩(wěn)定性分析，并對模型進行數(shù)值仿真.

1 Volterra prey－predator模型

兩競爭種群的數(shù)量x，y所滿足的微分方程組為

模型（1）的含義為：種群數(shù)量變化率與自身數(shù)量成正比，同時由于自身數(shù)量和競爭者數(shù)量的阻滯作用，故在模型中減去它們的交叉項.

由于模型（1）為非線性模型，得不到其解析解，下面通過穩(wěn)定性及相軌線進行分析.

2 穩(wěn)定性及相軌線

為分析兩種群相互競爭的結(jié)果，下面分析模型（1）的平衡點的穩(wěn)定性.由平衡點的定義，由模型（1），令其右端為0，得方程組：

求解方程組（2），可得兩個平衡點：P1（0，0），P2平衡點P1（0，0）表明兩種群最終消失，平衡點表明兩種群最終趨于某穩(wěn)定數(shù)量，這是希望看到的結(jié)果.下面分析平衡點穩(wěn)定的條件.

由平衡點的穩(wěn)定性理論：

將2個平衡點的p，q計算結(jié)果及穩(wěn)定條件列入表1.

表1 平衡點及其穩(wěn)定性

下面利用相軌線對模型（1）進行分析.

首先，求解相軌線，即求

分離變量，得：

兩邊分別對y，x積分，有

即

這里，C是任意常數(shù)，化簡，得到

這里，C0為任意常數(shù)，且

滿足初值條件x（0）＝x0，y（0）＝y(tǒng)0的解為

顯然，y＝0是一個特解.為分析相軌線的特征，下面對（3）進行討論，有以下4種情況：

1）－c＋dx＞0，a－by＞0，即此時，說明種群數(shù)量增加；

2）－c＋dx＞0，a－by＜0，即此時說明種群數(shù)量x增加，y減少；

3）－c＋dx＜0，a－by＞0，即此時，說明種群數(shù)量x減少，y增加；

4）－c＋dx＜0，a－by＜0，即，此時說明種群數(shù)量減少.

3 數(shù)值仿真

下面利用Matlab軟件編程對模型（1）進行數(shù)值仿真，Matlab程序如下：

首先編輯M文件如下：

function y＝volterra（t，x）

a＝0.005；b＝0.0006；c＝0.006；d＝0.0015；

y＝［a＊x（1）－b＊x（1）＊x（2），－c＊x（2）＋d＊x（1）＊x（2）]＇；

然后在命令窗口鍵入如下程序并運行：ts＝0：300；x0＝［4，8.33]；

［t，x]＝ode45（＇volterra＇，ts，x0）；

［t，x]

subplot（1，2，1）；plot（t，x（：，1），t，x（：，2））；grid

subplot（1，2，2）；plot（x（：，1），x（：，2））；grid

運行結(jié)果如圖1～7所示.圖6表明了Volterra prey－predator模型在參數(shù)給定時奇點周圍相軌線的走向.從圖6可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在奇點8.33）周圍有一條閉軌線.

4 結(jié) 論

從以上分析及數(shù)值仿真的結(jié)果可以看出，兩種群競爭系統(tǒng)中兩種群的數(shù)量在平衡點附近震蕩、波動，對給定的參數(shù)值a＝0.005，b＝0.000 6，c＝0.006，d＝0.001 5和初值（x0，y0）＝（4，8.33），種群甲的數(shù)量在4附近波動，種群乙的數(shù)量在8.33附近波動，周期大約為1 200，如圖7所示，存在一條閉軌線，方向為逆時針方向，如圖6所示.且數(shù)值仿真結(jié)果表明：初值x0在［4，8]，y0在［3，8]范圍內(nèi)變化，兩種群數(shù)量變化的特征和相軌線的特征基本不變.

［1]Lucas W F.生命科學(xué)模型［M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，1996：12.

［2]姜啟源.數(shù)學(xué)模型［M].北京：高等教育出版社，2006.

［3]嚴鶴庭.具有捕獲兩種群競爭系統(tǒng)的捕獲系數(shù)研究［J].農(nóng)業(yè)與技術(shù)，2011，31（3）：70－72.

［4]王 庚.兩種群競爭非線性反應(yīng)擴散系統(tǒng)奇攝動Robin問題［J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2009，41（3）：196－198.

［5]王 庚.非線性兩種群競爭反應(yīng)擴散系統(tǒng)的漸近分析［J].西南交通大學(xué)學(xué)報，2006，41（2）：253－256.

［6]張玉娟，王紅麗.具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群競爭系統(tǒng)的周期解［J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，26（1）：25－33.

［7]孫宏雨，趙 春.具有年齡結(jié)構(gòu)三競爭種群系統(tǒng)的適定性［J].天津大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，31（2）：1－5.

［8]Luo Z X.Optimal Harvesting Control Problem for an Age－dependent Competing System of n Species［J].Apply Math Comput，2006，183：119－127.

［9]Luo Z X，Du M Y.Optimal Harvesting for Age－dependent Food Chain Model［J].Appl Math Mech，2008，29（5）：683－695.