李曉康
(陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系,陜西 漢中 723000)
兩種群生態(tài)系統(tǒng)包括食餌-捕食者系統(tǒng)、共生系統(tǒng)、競爭系統(tǒng)[1].競爭系統(tǒng)是指兩個種群生活在同一環(huán)境下,具有相同的食物來源,為了生成而競爭,競爭的常見結(jié)局是競爭力較弱的種群數(shù)量逐步減少直至滅絕,競爭力較強的種群數(shù)量逐步增加趨于環(huán)境容許的最大數(shù)量[2].對兩種群競爭系統(tǒng)的研究,取得了大量的成果,文獻[3]對具有捕獲兩種群競爭系統(tǒng)的捕獲系數(shù)進行了研究,王庚對兩種群競爭非線性反應(yīng)擴散系統(tǒng)奇攝動Robin問題及其漸進性進行了研究[4-5].文獻[6]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群競爭系統(tǒng)的周期解,文獻[7-9]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)三競爭種群系統(tǒng)的適定性.
本文將對兩種群競爭系統(tǒng)Volterra prey-predator模型進行穩(wěn)定性分析,并對模型進行數(shù)值仿真.
兩競爭種群的數(shù)量x,y所滿足的微分方程組為
模型(1)的含義為:種群數(shù)量變化率與自身數(shù)量成正比,同時由于自身數(shù)量和競爭者數(shù)量的阻滯作用,故在模型中減去它們的交叉項.
由于模型(1)為非線性模型,得不到其解析解,下面通過穩(wěn)定性及相軌線進行分析.
為分析兩種群相互競爭的結(jié)果,下面分析模型(1)的平衡點的穩(wěn)定性.由平衡點的定義,由模型(1),令其右端為0,得方程組:
求解方程組(2),可得兩個平衡點:P1(0,0),P2平衡點P1(0,0)表明兩種群最終消失,平衡點表明兩種群最終趨于某穩(wěn)定數(shù)量,這是希望看到的結(jié)果.下面分析平衡點穩(wěn)定的條件.
由平衡點的穩(wěn)定性理論:
將2個平衡點的p,q計算結(jié)果及穩(wěn)定條件列入表1.
表1 平衡點及其穩(wěn)定性
下面利用相軌線對模型(1)進行分析.
首先,求解相軌線,即求
分離變量,得:
兩邊分別對y,x積分,有
即
這里,C是任意常數(shù),化簡,得到
這里,C0為任意常數(shù),且
滿足初值條件x(0)=x0,y(0)=y(tǒng)0的解為
顯然,y=0是一個特解.為分析相軌線的特征,下面對(3)進行討論,有以下4種情況:
1)-c+dx>0,a-by>0,即此時,說明種群數(shù)量增加;
2)-c+dx>0,a-by<0,即此時說明種群數(shù)量x增加,y減少;
3)-c+dx<0,a-by>0,即此時,說明種群數(shù)量x減少,y增加;
4)-c+dx<0,a-by<0,即,此時說明種群數(shù)量減少.
下面利用Matlab軟件編程對模型(1)進行數(shù)值仿真,Matlab程序如下:
首先編輯M文件如下:
function y=volterra(t,x)
a=0.005;b=0.0006;c=0.006;d=0.0015;
y=[a*x(1)-b*x(1)*x(2),-c*x(2)+d*x(1)*x(2)]';
然后在命令窗口鍵入如下程序并運行:ts=0:300;x0=[4,8.33];
[t,x]=ode45('volterra',ts,x0);
[t,x]
subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),t,x(:,2));grid
subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));grid
運行結(jié)果如圖1~7所示.圖6表明了Volterra prey-predator模型在參數(shù)給定時奇點周圍相軌線的走向.從圖6可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)在奇點8.33)周圍有一條閉軌線.
從以上分析及數(shù)值仿真的結(jié)果可以看出,兩種群競爭系統(tǒng)中兩種群的數(shù)量在平衡點附近震蕩、波動,對給定的參數(shù)值a=0.005,b=0.000 6,c=0.006,d=0.001 5和初值(x0,y0)=(4,8.33),種群甲的數(shù)量在4附近波動,種群乙的數(shù)量在8.33附近波動,周期大約為1 200,如圖7所示,存在一條閉軌線,方向為逆時針方向,如圖6所示.且數(shù)值仿真結(jié)果表明:初值x0在[4,8],y0在[3,8]范圍內(nèi)變化,兩種群數(shù)量變化的特征和相軌線的特征基本不變.
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