☉江蘇省揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校 趙玉龍

求與圓有關(guān)的陰影部分的面積是中考中常見的題型，這類問題能考查同學(xué)們的觀察能力、隨機(jī)應(yīng)變能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，解答此類問題要注意觀察和分析圖形的形成，學(xué)會(huì)分解和組合圖形，明確要計(jì)算圖形的面積，可以通過哪些圖形的和或差得到，切勿盲目計(jì)算.

下面介紹幾種常用的解法，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、等積變換法

例1如圖1，P是半徑為1的⊙O外一點(diǎn)，OP=2，PA切⊙O于A，弦AB∥OP，連接PA，則圖中陰影部分的面積是_______.

圖1

解析：連接OA、OB，由PA切⊙O于A，知OA⊥PA.

又由OA=1，OP=2，知∠OPA=30°，∠AOP=60°，

因AB∥OP，故S△PAB=S△OAB，∠AOP=∠BAO=60°.

評(píng)注：等積變換法是在不改變圖形面積的前提下，利用“等底、等高的兩個(gè)三角形的面積相等”，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來求解的方法.

圖2

二、作差法

例2（2011年四川達(dá)州）如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，已知扇形EAD和扇形FBD的圓心分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AC=2，則圖中陰影部分的面積為________（結(jié)果不取近似值）.

解析：用三角形ABC的面積減去扇形EAD和扇形FBD的面積，即可得出陰影部分的面積.

因BC=AC，∠C=90°，AC=2，所以AB=2.

又點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=.

圖3

三、割補(bǔ)法

例3如圖3，以BC為直徑，在半徑為2圓心角為90°的扇形內(nèi)作半圓，交弦AB于點(diǎn)D，連接CD，則圖中陰影部分的面積是（ ）.

評(píng)注：割補(bǔ)法是指在不改變圖形面積的前提下，通過割補(bǔ)，把分散的面積集中在一起，把不規(guī)則的圖形湊合成規(guī)則圖形的方法.

圖4

四、特殊位置法

例4如圖4，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′，使A、B、C′在同一直線上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，則圖4中陰影部分面積為____cm2.

解析：只要將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°就與△A′BC′重合，此時(shí)陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)扇形面積之差.

因?yàn)樵赗t△ABC中，∠BAC=30°，所以∠ABC=60°，所以∠ABA′=120°，又AB=4cm，所以BC=2cm.

例5（2011年浙江衢州）如圖5，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a≥3）的正方形內(nèi)任意移動(dòng)，則在該正方形內(nèi)，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（ ）.

圖5

A.a2-πB.（4-π）a2

C.π D.4-π

解析：設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D，當(dāng)圓形紙片移動(dòng)至⊙O1時(shí)與AD相切，過點(diǎn)O1作O1M⊥AB，O1N⊥AD，垂足分別為M、N，則四邊形AMO1N為正方形.所以∠O1=90°.

此時(shí)圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積，即圓形紙片與正方形的相鄰兩邊都相切時(shí)兩切點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)形成的曲三角形面積.

圖6

五、整體代換法

解析：直接求出陰影部分的面積是不可能的，根據(jù)題意結(jié)合圖形，知陰影面積等于直角三角形的面積減去三個(gè)扇形的面積.其中A、B兩個(gè)扇形的面積無法直接求出，但若把它們看做一個(gè)“整體”，則問題易求.

因A、B兩個(gè)扇形的半徑相等且圓心角之和為90°，

以上為同學(xué)們總結(jié)了五種求圓中陰影面積的方法，在遇到求與圓有關(guān)的陰影面積時(shí)，我們只要認(rèn)真分析陰影部分的形成方法，并找出其與圓的關(guān)系，就能正確的求出面積.