☉安徽省舒城縣教育局教研室 陳先榮（特級教師）

《課標(biāo)（2011版）》課程目標(biāo)首次創(chuàng)新地提出了“增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，把義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的總體目標(biāo)由《課標(biāo)（實驗版）》的“兩能”（分析問題和解決問題的能力），發(fā)展為“四能”（發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力）.本文就數(shù)學(xué)教學(xué)的總體目標(biāo)由“兩能”發(fā)展為“四能”的意義、對發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的認(rèn)識，談點粗淺的體會.

一、從“兩能”發(fā)展到“四能”的意義

舉世公認(rèn)，中國學(xué)生的解題能力世界一流，我國中學(xué)生屢屢在國際奧林匹克競賽中獲得（甚至囊括）金獎就是證明.在傳統(tǒng)的教學(xué)理念的指引下，教師往往只注重培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，要求學(xué)生按照一定的解題思路反復(fù)訓(xùn)練，由量的積累到質(zhì)的飛躍，形成相應(yīng)的學(xué)習(xí)能力，忽視了引導(dǎo)學(xué)生怎樣在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)和提出新的問題進(jìn)而探究解決，天長日久，學(xué)生形成了思維定勢：問題總是由老師提出，自己的任務(wù)就是學(xué)習(xí)怎樣解決問題.

其實，發(fā)現(xiàn)和提出問題往往比解決問題更重要.

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展就是由問題引起的，數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)和提出問題并不斷地加以解決中前進(jìn)的，數(shù)學(xué)教學(xué)也是圍繞不斷“產(chǎn)生”的新問題進(jìn)行的.

陶行知說過“發(fā)明千千萬，起點在一問”.解決問題也許僅僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏眩蕾囉诎l(fā)現(xiàn)和質(zhì)疑.科學(xué)上的發(fā)明往往都是從假設(shè)（提出問題）開始的，解決了假設(shè)就產(chǎn)生了新的發(fā)明.可以說，假設(shè)（提出問題）和發(fā)明推動了科學(xué)和社會的進(jìn)步.

發(fā)現(xiàn)和提出問題還可以發(fā)展學(xué)生的思維能力.學(xué)生要想提出一個新的問題、提出一個新的可能性，需要有創(chuàng)造性的想象力.我們常說的“發(fā)散性思維”、“創(chuàng)新式思維”、“求異思維”，其實就是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和提出新的問題的思維方法.學(xué)生只有積極開動腦筋，深入思考，才能發(fā)現(xiàn)新問題，提出新看法.因此，探索、發(fā)現(xiàn)問題的過程也就是發(fā)展學(xué)生思維能力的過程.

沒有問題哪來的探究.科學(xué)史上的每一項重大發(fā)現(xiàn)都是從問題開始的.牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力是從“蘋果為什么會落地”這一問題開始的.不能發(fā)現(xiàn)問題就談不上創(chuàng)新，可見這對于培養(yǎng)人的創(chuàng)新能力是非常重要的.讓學(xué)生能夠提出有探究價值的問題，本身也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目標(biāo).學(xué)生如果具有了這種能力，也說明他已經(jīng)具備一定的數(shù)學(xué)乃至科學(xué)素養(yǎng).就學(xué)習(xí)過程來說，產(chǎn)生問題才能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，這對于達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)也是十分重要的.

“解決問題”首先要有問題來源，倡導(dǎo)一種問題意識，要讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”，才能“分析問題和解決問題”.《課標(biāo)（2011版）》將培養(yǎng)學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)問題”和“提出問題”能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的總體目標(biāo)，把原來的“兩能”（分析問題和解決問題的能力）調(diào)整為“四能”（發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力），這種提法目標(biāo)廣泛，對學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性體現(xiàn)得更豐富，體現(xiàn)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)必須從基礎(chǔ)教育抓起.

二、對“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力”的認(rèn)識

1.發(fā)現(xiàn)問題的能力

“發(fā)現(xiàn)”新華詞典上的解釋是：①經(jīng)過研究、探索等，看到或找到前人沒有看到的事物或規(guī)律：～新的基本粒子|有所發(fā)明，有所～，有所創(chuàng)造.②發(fā)覺：這兩天，我～他好像有什么心事.

發(fā)現(xiàn)是不創(chuàng)造新的物品或新的方法的.發(fā)現(xiàn)根據(jù)人們對客觀事物的認(rèn)識程度正確性的不同，可以分為科學(xué)發(fā)現(xiàn)和錯誤發(fā)現(xiàn).科學(xué)發(fā)現(xiàn)是指在科學(xué)活動中對未知事物或規(guī)律的揭示，主要包括事實的發(fā)現(xiàn)和理論的提出，是一切科學(xué)活動的直接目標(biāo)和科學(xué)進(jìn)步的主要標(biāo)志.

“發(fā)現(xiàn)問題”就是一定主體為了實現(xiàn)一定的目標(biāo)，根據(jù)已有的經(jīng)驗、知識、能力，按照一定的認(rèn)識方法，在一定條件下根據(jù)感覺和思維認(rèn)識世界事物的現(xiàn)象、本質(zhì)、規(guī)律之間的矛盾.如果我們把“問題”看作矛盾的話，發(fā)現(xiàn)問題實質(zhì)就是認(rèn)識事物的矛盾，就是認(rèn)識事物內(nèi)部各個要素之間或者事物內(nèi)部和外部之間的矛盾.發(fā)現(xiàn)問題實質(zhì)是指人們知覺到了自己的現(xiàn)有狀態(tài)與認(rèn)知目標(biāo)有距離或空缺之間的矛盾.發(fā)現(xiàn)問題相對于一定個體來講，是認(rèn)識到新的事物，或者事物現(xiàn)象之間、現(xiàn)象與本質(zhì)之間的不協(xié)調(diào)和不一致的表現(xiàn).

對于義務(wù)教育階段中提出的培養(yǎng)學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)問題的能力”，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和問題探究中，有困惑或在顯而易見之中發(fā)現(xiàn)“問題”的能力.更多地是指發(fā)現(xiàn)了書本上不曾教過的新方法、新觀點、新途徑以及知道了以前不曾知道的新東西.例如，在學(xué)習(xí)“一次函數(shù)圖像的畫法”時，學(xué)生首先只知道用描點法畫函數(shù)的圖像，通過畫出一個個的一次函數(shù)圖像，學(xué)生會驚奇地發(fā)現(xiàn)：用描點法畫一次函數(shù)圖像，所畫的每個一次函數(shù)的圖像上的點好象都在同一條直線上，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)為提出并解決一次函數(shù)圖像的畫法提供了前提和保證.

又如，將一些半徑相同的小圓按如圖1所示的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第n個圖形有______個小圓.（用含n的代數(shù)式表示）

圖1

解決問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)生通過認(rèn)真觀察會發(fā)現(xiàn)：每個圖形的小圓是由外面小圓和中間小圓兩部分組成的，其中，第一個圖形小圓個數(shù)是外面4個加中間1×2個，即共有（1×2+4）個，第二個圖形小圓個數(shù)是外面4個加中間2×3個，即共有（2×3+4）個，第三個圖形小圓個數(shù)是外面4個加中間3×4個，即（3×4+4）個，……，學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)圖形的這些規(guī)律，很容易由特殊到一般地歸納出：第n個圖形小圓個數(shù)是由外面和中間兩部分組成，外面是4個，中間是n×（n+1）個，總共有：［n×（n+1）+4］個，即（n2+n+4）個.

2.提出問題的能力

提出問題的能力是將某些問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來的能力，核心在于數(shù)學(xué)的抽象、建模的相關(guān)能力.

提出問題的關(guān)鍵是能夠認(rèn)清問題、概括問題.問題的提出必須進(jìn)行深入思考和自我組織，因而可以激發(fā)學(xué)生的智慧，調(diào)動學(xué)生的身心進(jìn)入活動狀態(tài).發(fā)現(xiàn)問題并不一定要提出問題，原因就在于條件的不成熟性.不成熟性表現(xiàn)在：問題的根源在哪兒？問題的積極、消極因素的波及面有多大？對待同一事物的認(rèn)同程度有多少？說白了就是對一個事物結(jié)構(gòu)性組成、事物的發(fā)展規(guī)律沒有一個根本性、實質(zhì)性的揭示.

提出問題就一定要分析問題，這是由人的本性所決定的.分析問題的目的就是揭示事物的機(jī)理（是指為實現(xiàn)某一特定功能，一定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中各要素的內(nèi)在工作方式以及諸要素在一定環(huán)境條件下相互聯(lián)系、相互作用的運(yùn)行規(guī)則和原理），根本性、本質(zhì)性的規(guī)律.

在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上提出問題，需要邏輯推理和理論抽象，不要精確的概括，在錯綜復(fù)雜事物中抓住問題的核心進(jìn)行條分縷析的陳述，并給出解決問題的建議，而不是一件簡單的事情.例如，在學(xué)習(xí)判定三角形全等的“邊角邊”公理時，可先讓每個學(xué)生利用直尺和量角器在白紙上畫一個△ABC，使∠B=30°，AB=4cm，BC=6cm，并用剪刀剪下此三角形，然后與其他同學(xué)所作三角形進(jìn)行對照，看看能否重合，這時學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)是能夠重合的.學(xué)生會很快提出類似的兩個三角形是否一定重合？問題提出后，學(xué)生會立即改變角度和長度大小再畫三角形，剪三角形并對照，這樣學(xué)生自然會發(fā)現(xiàn)每次所作三角形都能夠完全重合.學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程是解決問題的前提，也是解決問題的探究過程，有了這個過程學(xué)生能很自然地得出“邊角邊”公理.

“發(fā)現(xiàn)問題”和“提出問題”之間有聯(lián)系也有區(qū)別，就其聯(lián)系來講，“發(fā)現(xiàn)問題”和“提出問題”都是圍繞“問題”進(jìn)行的，“發(fā)現(xiàn)問題”是“提出問題”的前提，“發(fā)現(xiàn)問題”一般都是為了“提出問題”，“提出問題”是“發(fā)現(xiàn)問題”的繼續(xù).就其區(qū)別來講，“發(fā)現(xiàn)問題是指頭腦中產(chǎn)生疑問，但這種疑問未必非常明確.提出問題則是指將頭腦中產(chǎn)生的疑問用明確的語言表述出來，這中間往往要經(jīng)歷邏輯思維和組織語言的過程.”

“發(fā)現(xiàn)問題”屬于“內(nèi)容”范疇，“提出問題”屬于“形式”范疇.“提出問題”是把“發(fā)現(xiàn)問題”的內(nèi)容用某種形式表現(xiàn)出來.“發(fā)現(xiàn)問題”一般可以不表現(xiàn)出來，比如，只是在頭腦中存在，不用說、寫等方式表現(xiàn)出來，“提出問題”一般情況下都是把頭腦中認(rèn)識到的事物用某種方式表達(dá)出來，這個表達(dá)過程又叫問題的陳述過程，如果是問題的陳述過程，這就有分析加工整理的過程，就是對“發(fā)現(xiàn)問題”的內(nèi)容進(jìn)一步理解的過程.例如：“探究多邊形內(nèi)角和”.學(xué)生已經(jīng)知道了“三角形的內(nèi)角和是180°”，學(xué)生首先探究：四邊形的內(nèi)角和是多少？探究方法主要有：

方法一：用量角器量出四個角的度數(shù)，然后把四個角加起來，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和是360°.

方法二：畫四邊形的一條對角線，把四邊形分成兩個三角形，發(fā)現(xiàn)兩個三角形內(nèi)角和相加是360°.

圖2

通過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形可以分為兩個三角形，通過進(jìn)一步對五邊形、六邊形、七邊形等的內(nèi)角和的探究.學(xué)生可能提出下面的問題：（1）多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和的關(guān)系？（2）多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系？（3）從多邊形一個頂點引的對角線分三角形的個數(shù)與多邊形邊數(shù)的關(guān)系？

在提出問題的同時學(xué)生會發(fā)現(xiàn)問題：

發(fā)現(xiàn)1：四邊形內(nèi)角和是2個180°的和，五邊形內(nèi)角和是3個180°的和，六邊形內(nèi)角和是4個180°的和，十邊形內(nèi)角和是8個180°的和.

發(fā)現(xiàn)2：多邊形的邊數(shù)增加1，內(nèi)角和增加180°.

發(fā)現(xiàn)3：一個n邊形從一個頂點引出的對角線分三角形的個數(shù)與邊數(shù)n存在（n-2）的關(guān)系.

通過發(fā)現(xiàn)和提出問題，學(xué)生能夠順利歸納得出結(jié)論：多邊形內(nèi)角和公式：（n-2）·180°.

學(xué)生通過自覺探究數(shù)學(xué)問題，體驗發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的過程，形成知識與能力，真正把培養(yǎng)創(chuàng)新型人才落到實處.