解析幾何是高考的必考內(nèi)容之一，而學(xué)生對(duì)解析幾何又往往感到頭疼，所以解析幾何被視作考試成敗的分水嶺。在解析幾何的教學(xué)中，優(yōu)化問(wèn)題經(jīng)常見到。很多同學(xué)對(duì)于此類問(wèn)題的處理感到困難，本文就這一問(wèn)題的處理略作介紹。

一、利用圓錐曲線的定義解決問(wèn)題

例1：點(diǎn)P在橢圓■+■=1上，定點(diǎn)A(2，1)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最大值和最小值是___________。

分析：設(shè)F1是橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF1并延長(zhǎng)交橢圓于P1，P2，如圖所示，由橢圓的定義可知，有|PF|+|PF1|=2a=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|。

①若|PA|≤|PF1|，則有|PF1|-|PA|≤|AF1|，所以|PA|-|PF1|

≥-|AF1|。

②若|PA|>|PF1|，則有|PA|-|PF1|

≤|AF1|。所以|PA|+|PF|=10+|PA|-

|PF1|的最小值為10-|AF1|=10-■，即點(diǎn)P為點(diǎn)P1；最大值為10+|AF1|=10+■，即點(diǎn)P為點(diǎn)P2。

小結(jié)：例1是利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，若點(diǎn)P不在AF1連線上，則利用三角形兩邊之差小于第三邊，說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P是AF1的連線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取最值。

二、利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解決問(wèn)題

例2：在橢圓■+■=1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，-1)，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，則這一最小值為 。

分析：通常第一次接觸這種類型的題目，我們都會(huì)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式和橢圓方程聯(lián)立求解。顯然，很繁瑣。我們知道|MF|為橢圓的焦半徑，故可利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義有，■=e，其中d為M到右準(zhǔn)線的距離，e為橢圓的離心率。所以|MP|+2|MF|=|MP|+2ed=|MP|+d，要使其最小，只要過(guò)P作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N，垂線交橢圓于M1，即為使|MP|+2|MF|的值最小的M點(diǎn)。顯然，此時(shí)最小值為3。

小結(jié)：例2是利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化為已知圓錐曲線內(nèi)的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短。

三、利用對(duì)稱性解決問(wèn)題

例3：已知直線l:3x-y-1=0，在l上求一點(diǎn)P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差的絕對(duì)值最大。

（2）P到A（4，1）和C(3，4)的距離之和最小。

分析：如果直接設(shè)點(diǎn)P利用距離公式化簡(jiǎn)，將相當(dāng)復(fù)雜。所以我們采用對(duì)稱的觀點(diǎn)來(lái)解決。設(shè)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A1，易求得A1（-2，3）。

（1）連接A1B交l于點(diǎn)P，即為所求。易求得P（2，5），因?yàn)锳關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A1，所以|PA|=|PA1|，此時(shí)有||PA|-|PB||=||PA1|-|PB||=|A1B|。

因?yàn)樵趌上取異于點(diǎn)P的點(diǎn)P1，|P1A|=|P1A1|，又||P1A|-|P1B||=||P1A1|

-|P1B||<|A1B|。

（2）連接A1C交l于點(diǎn)P，即為所求。易求得P(■，■)，此時(shí)有|PA|+

|PC|=|PA1|+|PC|=|A1C|，因?yàn)樵趌上取異于點(diǎn)P的點(diǎn)P1，有|P1A|+|P1C|=|P1A1|+|P1C|>|A1C|。

小結(jié)：利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)可以很迅速地解決上述問(wèn)題。另外，通過(guò)觀察我們還能得到，兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，應(yīng)該是和最??；兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，應(yīng)該是差的絕對(duì)值最大。

四、利用幾何意義解決問(wèn)題

（1）利用直線的斜率

例4：已知實(shí)數(shù)x，y，滿足x2+y2=2，求■的最大值與最小值。

分析：把■看成圓上點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)A（-2，-2）之間連線的斜率。如圖，可設(shè)過(guò)A點(diǎn)與圓相切的直線方程為y+2=k(x+2)（斜率k存在），利用圓心到切線的距離等于半徑，即■=■，得k=2±■，從而得■最大值為2+■，最小值為2-■。

（2）利用兩點(diǎn)間的距離

例5：已知A(-2，0)，B(2，0)，點(diǎn)P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上運(yùn)動(dòng)，則PA2+PB2的最小值是 。

分析：設(shè)P（x，y），則PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8，而x2+y2可看作是圓上點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)距離的平方。又圓上點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)距離的最小值是圓心到原點(diǎn)的距離減去圓的半徑，即■-2=3。所以x2+y2的最小值是9，所以PA2+PB2的最小值是26。

小結(jié)：利用直線的斜率與兩點(diǎn)間距離來(lái)解決一些問(wèn)題，可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，省去了很繁瑣的計(jì)算。

解析幾何是高考的必考內(nèi)容，而優(yōu)化問(wèn)題又經(jīng)常出現(xiàn)在考題中，只要我們掌握以上幾種方法，就能很好地處理這類問(wèn)題。