一、問題的提出

概念同化教學模式是建立在一般學習理論基礎之上，偏重于概念的邏輯結構。這種教學模式比較簡明，使學生能夠比較直接地學習概念，因此，被稱為是“學生獲得概念的最基本方式”。概念同化雖然是一種省時、省力且見效快的概念教學模式，但在這種模式下，它忽視了數學概念本身所蘊含的現實背景，學生的學習缺乏“活動”，對概念的形成過程沒有充分的體驗。

二、APOS理論的構建

APOS別是由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對象）和Scheme（圖式）的第一個字母組合而成。這種理論認為，在數學概念學習中，如果引導個體經過思維的操作、過程和對象等幾個階段后，個體一般就能在建構、反思的基礎上把它們組成圖式從而理清問題情境，順利解決問題。這四個階段的內容如下：

1.活動階段（Action）：親身體驗、感受概念的直觀背景和概念間的關系。通過操作活動，理解概念的意義。

2.過程階段（Process）：對“操作”進行思考，經歷思維的內化、壓縮過程，在頭腦中進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質。

3.對象階段（Object）：認識概念本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象。

4.圖式階段（Scheme）：反映概念的定義及符號，建立與其他概念、規(guī)則、圖形的聯系，形成綜合的心理圖式。

APOS理論將數學概念的建立分為活動——過程——對象——概念四個階段，如果數學教學停留在活動層面，那不是真正的理想的數學概念學習，數學概念學習還應上升到抽象層面，使概念的形成的“活動、過程”向“對象”階段轉化，從而達到“圖式”階段，才能掌握數學知識的本質與內在。

三、基于APOS理論的教學設計

筆者認為，APOS理論的活動階段相當于觀察、呈現數學概念的具體實體階段，過程階段則是對具體實體進行思維概括得出數學概念的階段。下面是僅以浙教版八年級（上）《平面直角坐標系》的教學設計為例來說明。

1.活動階段——創(chuàng)設問題情境，在活動中思考問題

筆者發(fā)給同學們一張地圖，請大家仔細觀察地圖并回答問題：

（1）向你的同桌描述建筑物A（動物園）、B（青少年宮）、C（電影院）的位置。（2）假設你在另一處D（學校），你將怎樣找到A、B、C？

結合學生的生活經驗，創(chuàng)造學生展開思考的環(huán)境，給予學生充分表達自己看法的機會，讓他們在自主思考、自由交流中，在與同學觀點交鋒中，撞擊出思維的火花。

2.過程階段——體驗并抽象比例概念的過程

老師廣泛聽取學生意見后，因勢利導，總結、概括大家的意見，引導學生得出確定平面某一位置的方法，以及這些方法的共同之處。接下來，老師與學生共同回顧之前學過的有關數軸的內容——數軸上的每一個點都對應著一個實數值，然后找到那個點，以此誘發(fā)學生思考平面上一個點的確定。結合先前活動的經驗，抽象得出平面上的確定位置的過程，也是尋找、設置兩條數軸（兩個方向）的過程。而兩條互相垂直的數軸也是其中的一種過程，也就構成平面直角坐標系，而這一過程也就是形成平面直角坐標系的過程。將平面直角坐標系這一概念的形成過程歸結于兩條數軸的出現過程，這應該是一種全新的視角。

3.對象階段——對平面直角坐標系形式化、工具性的表達

將平面直角坐標系作為一個新的對象來認識，對其進行形式化、工具性地表達，這是對象階段應該達到的目標。課題練習：（1）請你在先前地圖中，建立平面直角坐標系。（2）寫出各點的坐標。（3）寫出與B點關于坐標數軸相對稱的點的坐標。1小題用于鞏固平面直角坐標系的概念；2、3題皆在聯系通過點寫坐標。而這一切都將學生的動手嘗試放在老師講解之前，也是考慮到知識內容本身的難易程序和學生已有的知識背景。

4.圖式階段——建立綜合心理圖式

通過以上三個階段的教學，學生在頭腦中應該建立如下的心理圖式：現實生活中直角坐標系思想的應用、直角坐標系的作用、在直角坐標系中確定點的過程及其與數軸的區(qū)別和聯系等等。老師帶領學生訂正課堂練習，并在其中嘗試區(qū)分平面直角坐標系與數軸的不同，認識它們的優(yōu)越性。

老師引導學生思考平面直角坐標系與數軸的關系，對學生拓寬思考問題的方式大有好處，明確此事物和它事物的區(qū)別與聯系，也是認識事物的一種方式。

四、數學概念教學中幾點建議

APOS理論對于數學的概念的學習能產生多大的指導作用，最終還要依賴于老師的課堂實踐。為此，提出以下幾點教學建議：

1.努力創(chuàng)設適合學生概念發(fā)展的現實情境。

2.對象、圖式階段是數學概念在學生頭腦中建立的長遠之計，二者可以循環(huán)上升。

3.創(chuàng)設情境不是數學概念教學的最終目的。

要形成概念，需要尋找它生存的現實土壤，需要活動讓學生親身感知問題，也需要學生積極展開思考，從現實情境中去發(fā)現數學。但是，概念教學也不能僅僅停留于活動層面，對第一階段花大力氣、多時間，而對其他階段草草收場，這也是不符合理論的，甚至是舍本逐末的。