【摘 要】實際問題中孤子方程通常并不以標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn)，而是含有阻尼項、增益項、三階色散項等一些較小的附加項，將這些附加項當(dāng)作微擾來處理進(jìn)而求解各種非線性偏微分方程，發(fā)展出了多種孤子微擾理論。本文結(jié)合KdV方程詳細(xì)介紹了兩種應(yīng)用范圍最廣的基于逆散射變換(IST)的微擾理論和基于線性編微分方程理論的直接微擾理論。

【關(guān)鍵詞】孤子；微擾；逆散射變換；非線性偏微分方程

1895年，兩位荷蘭科學(xué)家科學(xué)家Kortweg與de Vries用一波動方程對孤立波現(xiàn)象進(jìn)行完整的理論分析后，在長波近似和小振幅的假定下，建立了單向運動淺水波的非線性淺水波方程，即著名的KdV方程[1]：

(1)

孤立子理論的基礎(chǔ)便是求解各種非線性偏微分方程。精確孤子解大多存在于由標(biāo)準(zhǔn)方程所描述的理想系統(tǒng)中。而實際問題中，孤子方程通常不是以標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn)的，它一般還含有阻尼項、增益項、三階色散項等一些較小的附加項，這時我們就可以將這些附加項當(dāng)作微擾來處理。孤子微擾論是孤子理論中最有實用價值的內(nèi)容之一。至今已發(fā)展出了多種孤子微擾理論，如：基于逆散射變換(IST)的微擾理論，基于線性編微分方程理論的直接微擾理論，哈密頓微擾理論，線性微擾理論，拉格朗日微擾理論，修正守恒律微擾理論，奇點微擾理論等，其中，IST微擾理論和直接微擾理論是兩種應(yīng)用范圍最廣、處理問題能力最強、系統(tǒng)性最完善的孤子微擾理論。接下來我們便以KdV方程(1)為例，簡單介紹這兩種主要的孤子微擾理論。

1.基于逆散射變換(IST)的微擾理論

逆散射變換(inverse sacttering transformation)方法被廣泛用來求解各類非線性系統(tǒng)的問題[2]。其主要思路如下：首先對某個非線性偏微分方程引入一對相容的線性方程(又稱Lax方程)

(2)

(3)

其中方程(2)是的本征值方程，和分別是的本征值和本征函數(shù)。如果獨立于時間，相應(yīng)的一對線性算子和(Lax對)滿足的相容條件為

(4)

然后求解與Lax方程(2)和(3)相對應(yīng)的逆散射問題，得到含有散射數(shù)據(jù)的逆散射方程。在無反射條件下，由方程的約斯特(Jost)解獲得孤子解。對于KdV方程(1)，Lax對被選為：

(5)

(6)

不同的非線性方程有不同的Lax對，它們滿足的相容性條件是相應(yīng)非線性方程的等價形式。這種方法在數(shù)學(xué)上具有很高的嚴(yán)性謹(jǐn)，將它用于許多非線性方程，都可得到單孤子、雙孤子和多孤子解，是較經(jīng)典的孤子理論之一。

當(dāng)不考慮微擾時，假設(shè)非線性方程具有Lax對和，當(dāng)給這個標(biāo)準(zhǔn)方程一個微擾項時，則受微擾的方程Lax對不再滿足方程的相容條件（4），而應(yīng)滿足：

(7)

這便是用Lax形式表示的孤子的微擾方程。

當(dāng)存在微擾時，算子仍滿足（2）式，不過不同于與前面標(biāo)準(zhǔn)方程是，式（2）中的不再獨立于時間，并且本征函數(shù)也不再滿足第二個Lax方程(3)。由于只保留了第一個Lax方程，此時引入的Jost解的解析性和漸近行為都與未受微擾時的系統(tǒng)的—致，逆散射方程也會保留相同的形式，只是散射數(shù)據(jù)隨時間的演化不能再利用方程(3)來得到，需要另行設(shè)法求出。

由于放棄了第二個Lax方程(3)(因為其已不成立)，則必須用其它方程替代，來求出散射數(shù)據(jù)隨時間的演化.將方程(2)對時間進(jìn)行偏微商，

對應(yīng)于分立譜有：

(8)

對應(yīng)于連續(xù)譜有：

(9)

上述兩個方程為非齊次偏微分方程，我們可以先求解其對應(yīng)的齊次方程，然后利用參數(shù)變易法求解，可導(dǎo)出離散譜，反射系數(shù)，正歸化系數(shù)隨時間的演化關(guān)系.將所定出的散射數(shù)據(jù)隨時間的演化關(guān)系代回到逆散射方程中就可定解，此解將滿足含微擾項的非線性方程。我們可以看出，整個理論的核心就在于怎樣確定散射數(shù)據(jù)隨時間的演化。這種方法在處理孤子微擾問題的能力方面是很強大的，能成功的處理很多孤子微擾問題。如KdV、SG和NLS等非線性方程的孤子微擾問題。然而，這種方法思路迂回曲折。這一理論完全是建立在逆散射變換基礎(chǔ)上的，它要求描述未受微擾影響系統(tǒng)的非線性方程能夠用逆散射法精確求解。而一般情況下，Lax對算子較難求得，這就使得此理論的應(yīng)用有很大局限性。因而只適用于可積系統(tǒng).同時，對于那些不懂得或是不熟悉逆散射變換法的人來說想運用此理論具有很大難度。

2.直接孤子微擾理論

為了更有效和更廣泛地研究非線性系統(tǒng)的孤子問題，J.R.Yan和Y.Tang發(fā)展了一套基于分離變量法的直接孤子微擾理論。這一理論最顯著的特點是它完全不依賴于逆散射變換理論，思路清晰簡潔，易于理解和操作。其次，這一微擾理論對沒有微擾時的非線性方程，沒有可積性要求，因此它既適用于可積系統(tǒng)，又適用于非可積系統(tǒng)，具有較大的普適性和實用性[3]。已成功處理了十余種不同孤子的微擾問題，這一孤子微擾理論主要思路為：

2.1 含微擾項孤子方程的線性化

引入時間多重尺度：

，

同時對孤子解作微擾漸近展開：

代入含微擾項的非線性方程中，得到關(guān)于孤子零級、一級等各級解的近似方程。其中零級解的方程正是標(biāo)準(zhǔn)的非線性方程的孤子精確解，只是所得孤子解的孤子參數(shù)會因為微擾的影響，而隨時間發(fā)生緩慢變化。其余各級修正方程，則變?yōu)榱司€性化的非齊次偏微分方程。在一般情況下，各級線性方程是可以分離變量(或近似分離變量)的，它們包含一個共同的不含時的線性微分算子。這個線性化的步驟，將求解含微擾的非線性方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼飧骷壏驱R次線性偏微分方程的問題。

2.2 線性微分算子和共軛算子的本征值問題

為求解各級非齊次線性偏微分方程，首先要解出相應(yīng)的各級齊次線性偏微分方程。此部分關(guān)鍵是求解各級方程中所含線性微分算子和共軛算子的本征函數(shù)，并用它們來構(gòu)造正交完備的微擾展開基。求本征值問題是孤子微擾理論的一個難點，Yah的理論主要創(chuàng)新之一就是給出一種遞推的方法可以有效地求得和的本征函數(shù)，并利用復(fù)變函數(shù)論中留數(shù)定理嚴(yán)格的直接證明本征函數(shù)系的正交性和完備性。

2.3 各級非齊次線性偏微分方程的求解

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的分離變量的方法，將各級修正解和對應(yīng)的等效源按的完備基展開后，代入各級非齊次線性偏微分方程，就得到各級修正解的展開系數(shù)滿足的常微分方程，利用初始條件解得展開系數(shù)即可。由于不含時間，微擾展開基也獨立于時間，因此數(shù)學(xué)計算比前兩種方法都要簡單。理論上，用這種方法可計算各級修正解。

2.4 獲得孤子參數(shù)的演化方程

與無微擾的標(biāo)準(zhǔn)非線性方程精確孤子解不同的是，零級(絕熱)解的參數(shù)會隨時間便變量演化。另一方面，各級修正展開式中的分離譜項通常是發(fā)散的(又稱“久期”項)，消除這些“久期”行為就可得到孤子參數(shù)的演化方程。

在上述方法的基礎(chǔ)上，直接微擾理論又有了一些發(fā)展，如基于Fourier變換法的，基于Laplace變換法的和基于Green函數(shù)的直接法。

參考文獻(xiàn)：

[1]王明亮.非線性發(fā)展方程和孤立子[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社，1982.

[2]俞慧友.孤子理論及其在玻色愛因斯坦凝聚中的應(yīng)用[D].長沙:湖南師范大學(xué)，2009.

[3]李彪.孤立子理論中若干精確求解方法的研究及應(yīng)用[D].大連:大連理工大學(xué)，2004.

作者簡介：陳澤章（1982—），男，河南新鄉(xiāng)人，新鄉(xiāng)學(xué)院物理系教師，研究方向：理論物理。