函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，必然也是高考的重要考查內(nèi)容。分段函數(shù)（凡是把函數(shù)的定義域分成幾個區(qū)間，在各個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的解析式不一樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)）在高中數(shù)學教材中所占比重不大，所以很多學生對分段函數(shù)的認識比較膚淺。但近幾年在高考中又頻繁考查。本文對近幾年高考考查分段函數(shù)的有關(guān)問題，做一歸納和例釋。

一、分段函數(shù)的定義域和值域，最值，求值

分段函數(shù)在定義域的不同部分有不同的對應(yīng)法則。分段函數(shù)是一個函數(shù)，不能認為是多個函數(shù)，分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，可以說這個函數(shù)由若干段組建而成。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，分段函數(shù)的最值與值域問題應(yīng)當分別討論各段上的最值與值域，分段函數(shù)求值時不同范圍的自變量代入的解析式也不相同。一般地對于f(f(x))的復(fù)合形式求值由里向外，一步一判斷，再代入求值，

然后再綜合。

例1 （2009遼寧卷）已知函數(shù)f（x）滿足：x≥4，則f（x）= ；當x＜4時f（x）f（x+1），則f（2+log23）=

（A） （B） （C） （D）

解：∵3＜2＋log23＜4，所以f（2＋log23）=f（3＋log23）

且3＋log23＞4

∴f（2＋log23）=f（3＋log23）

=

故選A。

二、分段函數(shù)求解析式

求解析式時要對定義域劃分成若干部分，分別求解。這時要用分類討論思想。

例2 （2009上海卷）某算法的程序框如圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是_________。

解：根據(jù)算法的程序框圖知，當x＞1時，

有y=x-2，當x＜1時有y=2x，所以，有分段函數(shù)：

三、分段函數(shù)的圖象

作分段函數(shù)的圖象要分開來畫，注意在兩段之間的端點處是虛點還是實點。

例3 （2008江西卷）函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的圖象是 （ ）

解：當 時，此時，解析式

當 時， 此時，解析式y(tǒng)=2tanx；

四、分段函數(shù)的反函數(shù)

求分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)先分別求各段上的反函數(shù)，最后再合并成一個分段函數(shù)。分段函數(shù)的反函數(shù)仍是一個分段函數(shù)，是原分段函數(shù)各區(qū)間上的反函數(shù)的合并。

例4 （2008遼寧卷）函數(shù) 的反函數(shù)是____。

解略

五、分段函數(shù)與不等式

解決分段函數(shù)與不等式的問題要分別分段列出不等式，然后再求解。同時要注意x的范圍。

例5 （2011遼寧卷）設(shè)函數(shù)f（x）= 則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（ ）

（A） [-1，2] （B） [0，2] （C） [1，+∞） （D） [0，+∞）

解：不等式等價于 或 解不等式組，可得 0≤x≤1或x＞1，即x≥0，故選D。

六、分段函數(shù)的連續(xù)性

考察分段函數(shù)的連續(xù)性往往要注意在分界點處的連續(xù)性，這時要用連續(xù)的定義。

例6 （2009四川卷）已知函數(shù)

在點x=2處連續(xù)，則常數(shù)a的值是（ ）

Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５

解：由 ， ，

由函數(shù)的連續(xù)性在一點處的連續(xù)性的定義知 ，可得a=3。

故選B。

七、考查分段函數(shù)中的參數(shù)求值

結(jié)合分段函數(shù)各段的定義和所給已知條件，轉(zhuǎn)化為方程問題求解。

例7 （2011陜西卷）設(shè) ，若 ，

則a= 。

解：