增長(zhǎng)率（下降率）問題先后在中學(xué)統(tǒng)編教材的初中數(shù)學(xué)一元二次方程的應(yīng)用題、利用對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算、高中數(shù)學(xué)的指數(shù)和對(duì)數(shù)方程及等比數(shù)列等章節(jié)中反復(fù)出現(xiàn)，在五年制高等職業(yè)教育文化基礎(chǔ)課教學(xué)數(shù)學(xué)用書的第一冊(cè)指數(shù)與對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和第二冊(cè)等比數(shù)列中也多次出現(xiàn)，且每一次出現(xiàn)，都在新的知識(shí)范圍內(nèi)有所深化。增長(zhǎng)率（下降率）問題因其所涉及的知識(shí)前后跨度大，知識(shí)面廣，題型的種類雜，解題的方法多而成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。但又由于其在科研、生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用，增長(zhǎng)率（下降率）問題在教學(xué)、科研、生產(chǎn)、生活中的重要性是不言而喻的，也因此，增長(zhǎng)率（下降率）問題成為歷年中考、高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，在近年的公務(wù)員招考中，增長(zhǎng)率（下降率）問題更是成為每年必考題。下面將通過不同類型的例題，讓學(xué)生感悟不同形式題目的不同解法，以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

增長(zhǎng)率（下降率）的基本數(shù)學(xué)模型為：若平均增長(zhǎng)率（下降率）為x，增長(zhǎng)（下降）前的量是a，增長(zhǎng)（下降）后的量為增長(zhǎng)（下降）前的量與增長(zhǎng)（下降）量的和（差）。則：

一次增長(zhǎng)（下降）后的量為：a（1±x）；

二次增長(zhǎng)（下降）后的量為：a（1±x）2；

……

N次后增長(zhǎng)（下降）的量為：a（1±x）n。

設(shè)N次增長(zhǎng)（下降）后的量是b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為：

a（1±x）n=b （增長(zhǎng)取“+”，下降取“-”）

一、一元二次方程應(yīng)用中的增長(zhǎng)率（下降率）率的問題

在增長(zhǎng)率（下降率）率問題中，當(dāng)出現(xiàn)二次增長(zhǎng)（下降）的問題，一般可考慮用一元二次方程知識(shí)解題。如何正確分析這類問題中的各種數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵，現(xiàn)舉例予以說明。

【例1】 據(jù)報(bào)道，某省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長(zhǎng)率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增長(zhǎng)率。

【解析】 由于不知道每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量，可引入輔助元，設(shè)該省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a，每年的增長(zhǎng)率為x，則2006年的利用量為30%a，2007年的利用量為30%a+30%ax=30%a（1+x），2008年的利用量為30%a（1+x）+30%a（1+x）x=30%a（1+x）（1+x）=30%a（1+x）2，則有30%a（1+x）2=60%a，即（1+x）2=2，

解得x1≈0.41，x2≈-2.41（不合題意舍去），所以x≈0.41。

答：該省每年秸稈合理利用量的增長(zhǎng)率約為41%。

〖點(diǎn)評(píng)〗 從上面的例子可以看出，增長(zhǎng)率問題變化前后兩個(gè)量之間的關(guān)系為：后來量=原來量×（1+增長(zhǎng)率）；當(dāng)兩次增長(zhǎng)率相同時(shí)，連續(xù)變化兩次：后來量=原來量×（1+增長(zhǎng)率）2。

【例2】 在國家的宏觀調(diào)控下，某市的商品房成交價(jià)由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2。

（1）問4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率是多少·（參考數(shù)據(jù)： ）

（2）如果房?jī)r(jià)繼續(xù)回落，按此降價(jià)的百分率，你預(yù)測(cè)到7月份該市的商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破10000元/m2·請(qǐng)說明理由。

【解析】 （1）如果設(shè)4、5月份每月平均降價(jià)的百分率為x，由降價(jià)后的價(jià)格=降價(jià)前的價(jià)格-降低量，那么可得第一次降價(jià)后的價(jià)格為14000-14000x=14000（1-x）元/m2，第二次降價(jià)后的價(jià)格為14000（1-x）-14000（1-x）x=14000（1-x）（1-x）=14000（1-x）2，則有14000（1-x）2=12600，解得x1=0.05，x2=1.95。

因?yàn)閤=1.95＞1，不合題意，舍去，所以x=0.05=5％。

（2）按照每月5％的降低率，由題意，

到7月份的房?jī)r(jià)應(yīng)為12600（1-0.05）2，

計(jì)算可得12600（1-0.05）2=11371.5。

答：（1）4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率是5％。

（2）到7月份該市的商品房成交均價(jià)不會(huì)跌破10000元/m2

〖點(diǎn)評(píng)〗 由此可見，降低率問題變化前后兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系為：后來量=原來量×（1-降低率）；當(dāng)兩次降低率相同時(shí)，連續(xù)變化兩次：后來量=原來量×（1-降低率）2。

二、指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算或指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用中的增長(zhǎng)率（下降率）問題

在增長(zhǎng)率（下降率）問題中，當(dāng)出現(xiàn)三次以上（含三次）增長(zhǎng)（下降），一般在解題中需要進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算或運(yùn)用到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)。解決此類問題的關(guān)鍵，是正確分析這類問題中的各種數(shù)量關(guān)系，列出方程或函數(shù)式，再利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算。

【例3】 2008年我國人口總數(shù)是13.28億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在5‰，問哪一年我國人口總數(shù)將超過15億·

【解析】 設(shè)x年后人口總數(shù)為15億，由題意，得：

13.28×（1＋0.005）x=15，

即 （1+0.005）x= 。

兩邊取對(duì)數(shù)，得：

xlog1.005=log15-log13.28，

所以x≈24.4。

答：25年后，即2033年我國人口總數(shù)將達(dá)到15億。

〖點(diǎn)評(píng)〗 這是根據(jù)增長(zhǎng)率（下降率）的基本模型，列出方程，再運(yùn)用指數(shù)方程的解法，兩邊取對(duì)數(shù)，即可求得結(jié)果。

【例4】 某林場(chǎng)對(duì)其所管理的樹林每10年規(guī)劃一次，或讓其繼續(xù)生長(zhǎng)，或砍伐重栽。假設(shè)該種樹木在其生長(zhǎng)的第一、第二、第三和第四個(gè)10年中，平均年生長(zhǎng)率依次為15%、8%、3%、1%。40年后，樹木的生長(zhǎng)極其緩慢，可忽略不計(jì)。試問：怎樣確定砍伐時(shí)間，能使木材的生產(chǎn)量最大·

【解析】 設(shè)新樹苗的木材量為Q，

到第一個(gè)10年后，木材量為：M=Q（1+15%）10≈4.046Q，

到第二個(gè)10年后，重栽過一次的方案的木材量為：

M=2Q（1+15%）10≈8.091Q，

而連續(xù)生長(zhǎng)20年的木材量為：

N=Q（1+15%）10（1+8%）10≈8.734Q，

所以，20年中是連續(xù)生長(zhǎng)的方案較好。

到第三個(gè)10年后，每10年重栽一次的方案的木材量為：

M=3Q（1+15%）10≈12.137Q，

而生長(zhǎng)20年后重栽的方案的木材量為：

N=Q（1+15%）10（1+8%）10+Q（1+15%）10≈12.780Q，

連續(xù)生長(zhǎng)30年的方案的木材量為：

L=Q（1+15%）10（1+8%）10（1+3%）10≈11.738Q，

答：每20年重栽一次的方案，能使木材的生產(chǎn)量最大。

〖點(diǎn)評(píng)〗 此題是一個(gè)開放性問題，需要對(duì)各種方案進(jìn)行討論，相互比較，得出最佳方案。在討論過程中，對(duì)各種方案的木材量的計(jì)算用到了增長(zhǎng)率（下降率）的基本模型和指數(shù)運(yùn)算。

三、等比數(shù)列應(yīng)用中的增長(zhǎng)率（下降率）問題

在增長(zhǎng)率（下降率）問題中，第一次增長(zhǎng)（下降）后的量、第二次增長(zhǎng)（下降）后的量、……、N次后增長(zhǎng)（下降）的量構(gòu)成等比數(shù)列，當(dāng)出現(xiàn)幾次增長(zhǎng)后，求各次量的總和時(shí)，一般在解題過程中要用到等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)及求和公式。

【例5】 北京市為成功舉辦2008年奧運(yùn)會(huì)，決定從2003年到2007年5年間更新市內(nèi)現(xiàn)有全部出租車，若每年更新的車輛數(shù)比前一年遞增10%，則2003年底更新的車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的（參考數(shù)據(jù)：1.14=1.46，1.15=1.61）（ ）

A.10% B.16.4% C.16.8% D.20%

【解析】 設(shè)市內(nèi)全部出租車為b，2003年更新的車輛為a，則2004年更新的車輛為a（1+10%），2005年更新的車輛為a（1+10%）2，2006、2007年分別更新的車輛為a（1+10%）3、a（1+10%）4，由題意可知：

a+a（1+10%）+a（1+10%）2+a（1+10%）3+a（1+10%）4=b，

即：a×（1+1.1+1.12+1.13+1.14）=b，解得： ≈0.164，

所以2003年底更新的車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的16.4%，選B。

〖點(diǎn)評(píng)〗 此題是一個(gè)等比數(shù)列求和問題，利用增長(zhǎng)率（下降率）及等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，列出方程求解。

四、公務(wù)員考試中的增長(zhǎng)率（下降率）問題

由于公務(wù)員考試中題量較大，數(shù)字復(fù)雜，且都為選擇題，因此在解題過程中往往采用近似計(jì)算或其它特殊的方法以提高解題速度。

常用近似公式：（1±x%）n≈1±nx%； （當(dāng)n+x＜10時(shí)適用）

；

【例6】 假設(shè)某國外匯匯率以30.5％的平均速度增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)8年之后的外匯匯率大約為現(xiàn)在的多少倍·（ ）

A. 3.4 B. 4.5 C. 6.8 D. 8.4

【解析】 （1＋30.5％）8=1.3058≈1.38=（1.32）4=1.694≈1.74=2.892

≈2.92=8.41，選擇D。

〖點(diǎn)評(píng)〗 本題速算反復(fù)運(yùn)用了常用平方數(shù)，并且中間進(jìn)行了多次近似，這些近似各自只忽略了非常小的量，并且三次近似方向也不相同，因此可以有效的抵消誤差，達(dá)到選項(xiàng)所要求的精度。

年均增長(zhǎng)率：假設(shè)第一年的值為A，第n+1年的值為B，這n年的年平均增長(zhǎng)率為r，則有B=A×（1+r）n，此即年均增長(zhǎng)率的模型。

計(jì)算公式：年均增長(zhǎng)率r= 。

當(dāng)r比較小時(shí)（5%），可近似計(jì)算為r 。

【例7】 設(shè)2005年某市經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為6%，2006年經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為10%。則2005、2006年，該市的平均經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為多少·（ ）

A.7.0% B.8.0% C.8.3% D.9.0%

【解析】 r≈ = =8%，選擇B。

若已知n年的增長(zhǎng)率分別為r1、r2、……rn，年均增長(zhǎng)率為r，則年均增長(zhǎng)率模型為（1+r）n=（1+r1）（1+r2）……（1+rn）。

計(jì)算公式：年均增長(zhǎng)率r= -1。

當(dāng)r1、r2、……rn接近時(shí)，可近似計(jì)算r≈ 。

上述近似計(jì)算大小關(guān)系為r＜ 。

兩期混合增長(zhǎng)模型。對(duì)某個(gè)量，基期量為A，第一期的增長(zhǎng)率為r1，第二期的增長(zhǎng)率為r2，則從基期到第二期的增長(zhǎng)率為r=r1+r2+r1×r2當(dāng)r1、r2均為正值時(shí)，r＞r1+r2。

【例8】 2007年第一季度，某市汽車銷量為10000臺(tái)，第二季度比第一季度增長(zhǎng)了12%，第三季度比第二季度增長(zhǎng)了17%，則第三季度汽車的銷售量為（ ）。

A.12900 B.13000 C.13100 D.13200

【解析】 12%+17%+12%×17%≈12%+17%+12%×1/6=31%，10000×（1+31%）=13100，選擇C。

公務(wù)員考試試題中的增長(zhǎng)率（下降率）問題比較復(fù)雜，還涉及到近似計(jì)算、識(shí)圖、經(jīng)濟(jì)知識(shí)、生活常識(shí)等方面的知識(shí)和能力，因篇幅有限，這里不再一一贅述。

總之，要正確解決增長(zhǎng)率（下降率）問題，必須掌握增長(zhǎng)率（下降率）問題的基本模型，分清問題的類型，準(zhǔn)確運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解題。