【摘 要】 發(fā)散性思維是思維活動形式之一，發(fā)散性思維有效形成能夠促使完備、全面、系統(tǒng)思維發(fā)展素養(yǎng)的建立和提升。本文作者結(jié)合數(shù)學(xué)問題內(nèi)在特性，從數(shù)學(xué)問題的開放性、易錯點(diǎn)、綜合性等三個方面特征，對發(fā)散性思維訓(xùn)練和提升進(jìn)行了簡要論述。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；發(fā)散性思維

發(fā)散性思維是創(chuàng)新思維活動的表現(xiàn)形式之一，就是將所設(shè)置的問題進(jìn)行無限的延伸和擴(kuò)大，使自身思維能夠進(jìn)行創(chuàng)新、加工。數(shù)學(xué)問題作為數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)涵要義和知識體系的有效載體和展示平臺。在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，特別發(fā)散性思維能力方面，作用和功效尤為顯著。近年來，本人結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)大綱和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展等方面的要求，就如何利用發(fā)散性思維進(jìn)行數(shù)學(xué)問題有效教學(xué)活動，進(jìn)行了粗淺的嘗試和探究，現(xiàn)進(jìn)行簡要論述。

一、利用開放性數(shù)學(xué)問題，開展學(xué)生發(fā)散性思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)問題在表現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識點(diǎn)內(nèi)容上具有多樣性的特點(diǎn)，可以通過多種多樣的問題形式表現(xiàn)同一知識點(diǎn)內(nèi)涵要義。這就為學(xué)生發(fā)散性思維能力訓(xùn)練和培養(yǎng)提供了條件和載體。教師在進(jìn)行問題教學(xué)活動中，就可以將開放性數(shù)學(xué)問題作為訓(xùn)練和提升學(xué)生發(fā)散性思維水平的重要抓手，認(rèn)真研析數(shù)學(xué)知識點(diǎn)內(nèi)容，領(lǐng)會教學(xué)大綱要求，設(shè)置具有一題多變、一題多解、一題多問等發(fā)散性數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生開展思考分析等活動，通過教師的引導(dǎo)和指導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)散性思維能力的有效訓(xùn)練。

問題：已知M=（1+cos2x，1），N=（1，√3sin2x+a）（x，a∈R，a是常數(shù)），且y= · （O是坐標(biāo)原點(diǎn)）。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；（2）若x∈[0， ]，f（x）的最大值為4，求a的值，并說明此時f（x）的圖象可由y=2sin（x+ ）的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到。

在講解“向量”知識點(diǎn)時，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際所設(shè)置的一道數(shù)學(xué)案例。在該問題教學(xué)中，教師采用一題多問的形式，既面向了不同類型學(xué)生，又針對學(xué)生思維實(shí)際，使學(xué)生有了運(yùn)用知識經(jīng)驗(yàn)、解答問題的“時間”和“舞臺”，避免了優(yōu)等生“獨(dú)角戲”的情況，使學(xué)生得到發(fā)散性思維的訓(xùn)練時機(jī)。

二、巧借典型性數(shù)學(xué)例題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力

問題：已知：a＞0，b＞0，a+b=1，求（a+1/a ）2+（b+1/b ）2的最小值。

在講解該問題時，教師先有意設(shè)置了矛盾性問題情境：

（a+ ）2+（b+ ）2=a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥4

+4=8 ∴（a+ ）2+（b+ ）2的最小值是8。

此時，引導(dǎo)學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組進(jìn)行問題解答過程辨析評價活動。學(xué)生在討論辨析過程中，認(rèn)識到，該問題上述解題過程有誤，存在“忽視不等式中等號成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤”不足之處。其原因在于：“上述解題過程中，基本不等式a2+b2≥2ab使用了兩次：第一次，等號成立的條件是a=b=1/2，第二次，等號成立的條件是ab=

。通過題意分析，顯然發(fā)現(xiàn)，這兩個條件是不能同時成立的。可見，8不是（a+ ）2+（b+ ）2它的最小值?！?，這時，教師要求學(xué)生闡明解題觀點(diǎn)，有學(xué)生認(rèn)為：

原式=a2+b2+ + +4=（a2+b2）+（ + ）+4

=[（a+b）2-2ab]+[（ + ）2- ]+4

=（1-2ab）（1+ ）+4

由ab≤（ ）2=1/4，得：1-2ab≥1- = ，且 ≥16，1+

≥17

∴原式≥1/2×17+4=25/2 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1/2時，等號成立），

∴（a + ）2 + （b + ）2的最小值是25/2。

上述解題過程中，教師巧借數(shù)學(xué)問題解答中的易錯性數(shù)學(xué)問題，利用評價辨析的指導(dǎo)功效，將問題評價過程變?yōu)樗伎?、分析、提升的過程，學(xué)生一方面得到了思維發(fā)散性能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)，一方面得到了表達(dá)觀點(diǎn)見解時機(jī)，獲得“一石二鳥”的教學(xué)功效。

三、借助綜合性數(shù)學(xué)問題，培樹學(xué)生發(fā)散性思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)問題在表現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識點(diǎn)內(nèi)容中具有極大地包容性，一道數(shù)學(xué)問題中可以囊括眾多數(shù)學(xué)知識點(diǎn)內(nèi)容，能夠考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的掌握能力，以及學(xué)生數(shù)學(xué)解題思想的運(yùn)用水準(zhǔn)。同時，綜合性數(shù)學(xué)問題作為數(shù)學(xué)學(xué)科問題表現(xiàn)的高級形式，一直以來，成為高考試卷命題的壓軸試題，成為考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要載體，成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的重要“抓手”。因此，教師在發(fā)散性思維能力培養(yǎng)過程中，要善于用全局性眼光，整體性思維，將多種知識點(diǎn)滲透于數(shù)學(xué)問題之中，“創(chuàng)新”出具有綜合性的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生在運(yùn)用多樣解題思維活動中，發(fā)散性思維品質(zhì)和素養(yǎng)得到有效培樹。

問題：設(shè)全集U=R，A={x|x2-5x-6＞0}，B={x||x-5|＜a}（a是常數(shù)），且11∈B，則A∪B的集合是多少·

分析：由x2-5x-6＞0得x＜-1或x＞6

即A={x|x＜-1或x＞6}由|x-5|＜a得5-a＜x＜5＋a

即B={x|5-a＜x＜5+a}

∵11∈B，∴|11-5|＜a得a＞6

∴5-a＜-1，5+a＞11 ∴A∪B=R

分析：上述問題案例是一道有關(guān)一元二次不等式的綜合性數(shù)學(xué)問題，涉及到的數(shù)學(xué)內(nèi)容要義非常廣泛，如集合、絕對值不等式、一元二次不等式等內(nèi)容方面都得到了考查。學(xué)生在解答該問題過程中，也運(yùn)用了排除法、等效替代法等數(shù)學(xué)解題思想，學(xué)生思維發(fā)散性能力素養(yǎng)得到了較好鍛煉和樹立。

總之，數(shù)學(xué)問題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科有效性教學(xué)活動的重要載體，也是學(xué)生思維能力鍛煉和培養(yǎng)的重要平臺。高中數(shù)學(xué)教師在問題教學(xué)中，可以將發(fā)散性思維訓(xùn)練和提升滲透融入到問題教學(xué)活動始終，發(fā)揮問題特性，活化教學(xué)形式，讓學(xué)生思維能力和素養(yǎng)得到提升。