【摘 要】 概率中涉及“至多”“至少”這一類(lèi)型問(wèn)題，如何處理，這里給出一種簡(jiǎn)單而快捷的處理辦法。

【關(guān)鍵詞】 “至多”；“至少”；處理辦法

在概率的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們經(jīng)常會(huì)遇到“至多”“至少”問(wèn)題，一時(shí)覺(jué)得難以處理，常常束手無(wú)策，怎么辦？

其實(shí)，我們完全可以利用對(duì)立事件來(lái)處理，至多至少問(wèn)題它包含一系列事件，若一一去探討，非常麻煩。而它的對(duì)立事件則往往比較簡(jiǎn)單，如：

例1：某人對(duì)靶板連續(xù)射擊8次，他每次命中靶板的概率為0.8，他每次射擊互不影響。問(wèn)：他至少命中一次的概率是多少？

解：這包括8次命中8次，8次命中7次，8次命中6次，8次命中5次，8次命中4次，8次命中3次，8次命中2次，8次命中1次。則P（A）=C（8∶8）p8+C（8∶7）p7（1-P）+C（8∶6）p6（1-P）2+C（8∶5）p5（1-P）3+C（8∶4）p4（1-P）4+C（8∶3）p3（1-P）5+C（8∶2）p2（1-P）6+C（8∶1）p（1-P）7=0.9999974

但是，我們把上述一系列事件看成一個(gè)整體事件A，它的對(duì)立事件就是：射擊8次一次都沒(méi)有打中A-，P（A）=1-P（A-）=1-（1-p）8=0.9999974

顯然，這樣比上面的解法簡(jiǎn)單的多。

例2：甲乙二人獨(dú)立解決同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p2，那么其中至少一人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是多少？

解：這包括甲解決乙沒(méi)解決，乙解決甲沒(méi)解決，甲乙同時(shí)都解決。

P（A）=P1+P2-P1P2

同樣，我們把上述三個(gè)事件看成一個(gè)整體A，它的對(duì)立事件就是：甲乙都沒(méi)有解決，于是有：P（A）=1-（1-P1）（1-P2）=P1+P2-

P1P2。

例3：某人投球命中率為2/3，現(xiàn)連續(xù)投5次，則至多命中4次的概率為多大？

解：直接做法，p（A）=C（5∶1）（2/3）（1/3）4+C（5∶2）（2/3）2（1/3）3+C（5∶3）（2/3）3（1/3）2+C（5∶4）（2/3）4（1/3）=211/243

間接做法，p（A）=1-C（5∶5）×（2/3）5

=211/243

即：連續(xù)投5次，則至多命中4次的對(duì)立事件就是投5次全命中。

在以上幾例中，都使用了對(duì)立事件。

因?yàn)椋篜（A）+P（A-）=1

可以看出：使用間接做法要比直接做法簡(jiǎn)單的多，對(duì)于至多至少問(wèn)題，使用對(duì)立事件明顯簡(jiǎn)單。有些問(wèn)題不滿(mǎn)足對(duì)立事件，可以創(chuàng)造條件使用對(duì)立事件，因此我們說(shuō)“至多至少找對(duì)立”。

在數(shù)學(xué)解題中，不墨守成規(guī)，善于思考問(wèn)題，處理問(wèn)題，多角度多層次思考問(wèn)題，靈活處理各種各樣的問(wèn)題，讓思維處于最活躍狀態(tài)，是我們解題的精髓。我們不是為解題而解題，解題是為了提高我們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的，不然，為解題而解題，就是應(yīng)試教育，應(yīng)試教育只要求會(huì)就行，不問(wèn)為什么，對(duì)我們的能力沒(méi)有多大提高，反倒使我們的大腦越來(lái)越僵化，談不上知識(shí)的靈活運(yùn)用，更談不上創(chuàng)造。只有夯實(shí)基礎(chǔ)，才能有所建樹(shù)，只有開(kāi)闊視野，才能面向未來(lái)，只有學(xué)會(huì)變通，才能適應(yīng)形勢(shì)。

通過(guò)概率中的至多至少問(wèn)題的解決，冀以達(dá)到舉一反三拋磚引玉的作用，也許對(duì)正在學(xué)習(xí)概率的同學(xué)有一定的啟發(fā)，解題時(shí)把發(fā)散思維和集中思維結(jié)合起來(lái)，這就可以收到意想不到的結(jié)果。