數(shù)學問題通常是由數(shù)量關系式或者圖形給出問題的條件和結論。若是能把抽象的數(shù)與直觀的圖形生動地結合起來，常常能誘發(fā)問題的線索，發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，給問題的解決帶來希望，化難為易。下面探討利用問題的數(shù)量關系式，構造適合數(shù)量關系式的形——圓錐曲線，把抽象的代數(shù)問題以形象的圖形反饋出來，結合直觀的圖形進行量化的算式或數(shù)理推證，從而使解題過程趨于簡化，優(yōu)化解題。

一、構造圓錐線求函數(shù)的值域

函數(shù)的值域是函數(shù)的一個重要性質，求函數(shù)的值域主要是通過觀察函數(shù)的解析式的結構和函數(shù)的性質來確定解法，解法一般有直接法、配方法、換元法、判別式法、反函數(shù)法、圖像法及導函數(shù)法，但由于函數(shù)表達式各異，常帶來求解的困難，根據(jù)函數(shù)的解析式，作某些變換，構造新的函數(shù)圖象——圓錐曲線求函數(shù)值域別具一番天地。

例1:求函數(shù)y=3x+2√x2-4的值域。

分析：要直接作出這個函數(shù)的圖象是比較困難的。

解：令u=3x，v=2√x2-4（v≥0，|u|≥6）

我們可以把y視作為平面直角坐標系uov下，直線（1）與雙曲線（2）有公共點時，直線（1）在v軸上的截距，如圖所示：

直線（1）過雙曲線（2）右頂點（6，0）時，直線（1）在v軸上的截距為y=6，直線（1）與雙曲線（2）左支相切時，由切線公式v=ku±

√k2a2-b2 得 y=-√36-16=-2√5

所以直線（1）與雙曲線（2）有公共點時，y≤-2√5或y≥6

所求函數(shù)的值域為（-∞，-2√5]∪[6，+∞）

二、構造圓錐曲線解方程

代數(shù)或三角方程一般是用代數(shù)方法或三角法也可以用圖象法。對某些形式的方程轉化，難度較大，若是根據(jù)方程的結構特征，設法構造圓錐曲線模型，使問題簡化，從而優(yōu)化解題質量。

例2：解方程√（x+4）2+5+√（x-4）2+5=10

分析：解含有根式的方程，一般是通過平方關系轉化為高次方程，這使得問題不僅復雜，而且計算量增大。

解：令y2=5，原方程可變?yōu)?/p>

√（x+4）2+y2+√（x-4）2+y2=10 （1）

根據(jù)橢圓的定義特征可知，方程（1）的軌跡是以原點為中心，F(xiàn)1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）為焦點，長軸長為10的橢圓

∴方程（1）可寫為 ，將y2=5代入可得x=±

三、構造圓錐曲線求函數(shù)的最值

對含有多個根號的函數(shù)求最值，用常規(guī)的求最值方法是困難的，可以考慮思路的變形或變量代換。通過聯(lián)想猜想，另辟蹊徑，迅速突破但成功的聯(lián)想，常常是以堅實的知識和靈活的思維能力為基礎的，通過構造圓錐曲線求函數(shù)的最值是一種很好的方法。

例3：x∈R求函數(shù)f（x）=x2-2x-14√x-1+x的最小值。

分析：用常規(guī)求函數(shù)的最值的方法，難以解決。

解：將原函數(shù)解析變形為：

2f（x）+61=（x+ ）2

= x+

令y=2√x-1，則y2=4（x-1），

∴2f（x）+61= x+

如圖可知，上式的右邊幾何意義是

拋物線y2=4（x-1）（上半支）上的點P（x，y）到y(tǒng)

軸的距離|PD|與P到定點A（4，7）的距離之和的平方；

∵|PD|+|PA|=|PF|+|PA| 其中F（2，0）是拋物線的焦點

當A，P，F(xiàn)共線時，|PD|+|PA|=|AF|取到最小值√53。

此時2F（x）+61=53

∴f（x）min=-4，x= 。

求最值問題，尤其是求雙動點的最值，用常規(guī)的代數(shù)方法常常不能解決，若我們能找到兩動點的軌跡，從軌跡圖象中分析隱含條件，往往能幫助我們快速解決問題。

例4：求函數(shù)f（θ）=（cosθ-3sinθ）2+（sinθ-2cotθ）2的最值。

分析：這是一道三角最值題，用三角或代數(shù)方法來解，頗費心計，若是構造圓x2+y2=1及雙曲線xy=6，則f（θ）是圓x2+y2=1上一動點P（cosθ，sinθ）與雙曲線xy=6上一動點Q（3tanθ，2cotθ）間的距離的平方。如圖：

因此，求f（θ）的最值就

轉化為在圓x2+y2=1及雙曲線

xy=6上求兩動點間距離的最值。

如圖：圓與雙曲線均關于直

線y=x對稱。

∴P，Q兩點的坐標分別為P（ ， ） ，Q（√6，√6）或

P（- ，- ），Q（-√6，-√6）

∴f（θ）的最小值為

顯然f（θ）沒有最大值。

以上幾個特例僅是應用構造圓錐曲線解題一個側面。從中可以看到它給我們解題帶來的種種獨有便利。