摘 要：對(duì)于學(xué)生而言，對(duì)稱問(wèn)題的學(xué)習(xí)有一定難度，本文通過(guò)幾個(gè)例題進(jìn)行簡(jiǎn)單闡述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);點(diǎn)對(duì)稱;例析

中圖分類號(hào)：G421 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1992-7711（2012）10-086-1

在課本P88僅提供一個(gè)中心坐標(biāo)公式，而沒(méi)有明確講對(duì)稱問(wèn)題，但在課本P94有多個(gè)題目用對(duì)稱，故對(duì)稱問(wèn)題對(duì)于學(xué)生而言難度還是比較大的，但對(duì)稱問(wèn)題在實(shí)質(zhì)上也就是分為點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線點(diǎn)和線線對(duì)稱以及用對(duì)稱求最值，而線點(diǎn)對(duì)稱和線線對(duì)稱還是可以轉(zhuǎn)化點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱和點(diǎn)線對(duì)稱。本文通過(guò)幾個(gè)例題進(jìn)行簡(jiǎn)單的闡述。

一、點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱（中心問(wèn)題）

例1 （課本P94、2）已知點(diǎn)P(－1，2)，求點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：本題實(shí)質(zhì)上就是原點(diǎn)為P點(diǎn)以及對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2)。

變形1：已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(1，0)，C(2，3)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

提示：由于平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置不確定，即以A、B、C為三個(gè)頂點(diǎn)可得三個(gè)平行四邊形，如ABCD、ABDC、ADBC，因此頂點(diǎn)D有三個(gè)，可分類討論，再利用平行四邊形的對(duì)角線相互平分，即中點(diǎn)重合。易解得D的坐標(biāo)分別為(1，3)、(3，3)、(－1，－3)。

變形2：（課本P94、14）過(guò)點(diǎn)P(3，0)作直線l，使它被兩條相交直線2x－y－2=0和x+y+3=0所截得的線段恰好被P點(diǎn)平分，求直線l的方程。

提示：設(shè)所求直線l與x+y+3=0的交點(diǎn)為(a，－3－a)，則它關(guān)于點(diǎn)P(3，0)對(duì)稱點(diǎn)為(6－a，3+a)，且該點(diǎn)落在直線2x－y－2=0上，很易求得a=73，這樣就不難求出直線l的方程為：8x－y－24=0。

變形3：（課本P94、18）已知直線l:y=3x+3，求直線l關(guān)于點(diǎn)M(3，2)對(duì)稱的直線的方程。

提示：在所求直線上任取一點(diǎn)P(x0，y0)，P關(guān)于M(3，2)對(duì)稱的點(diǎn)P′(6－x0，4－y0)，且該點(diǎn)落在已知直線l上，則4－y0=3(6－x0)+3，即3x0－y0－17=0。故所求直線的方程為3x－y－17=0。

二、點(diǎn)線對(duì)稱

例2 已知直線l:y=x－1，求點(diǎn)P(3，4)關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

分析：方法1、設(shè)所求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a，b)，則根據(jù)題意可得直線l既垂直又平分線段PQ。得到兩個(gè)方程，再聯(lián)立方程組可解得Q(5，2)。

方法2、垂直于l的直線方程可設(shè)x+y+c=0，它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以解之得c=－7，這樣可求出兩條直線的交點(diǎn)(4，3)，此點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，故可求得Q的坐標(biāo)(5，2)。

注：方法2就是將點(diǎn)線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生對(duì)于這種轉(zhuǎn)化思想不易想到。

變形1：（課本P94、18）已知直線l:y=3x+3，求直線x－y－2=0關(guān)于l對(duì)稱的直線的方程。

提示：方法1、先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再在直線x－y－2=0取一不同于交點(diǎn)的特殊點(diǎn)，則可求出它關(guān)于l對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線的兩點(diǎn)式可求出所求直線的方程為7x+y+22=0。

方法2：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)，則它關(guān)于l對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)落在已知直線x－y－2=0上，這樣就很易求出所求直線方程。

變形2：（課本P94、16）已知光線通過(guò)點(diǎn)A(2，3)，經(jīng)過(guò)直線x+y+1=0反射，其反射光線通過(guò)點(diǎn)B(1，1)，求入射光線和反射光線所在的直線的方程。

提示：可求點(diǎn)A(2，3)關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱點(diǎn)A′(－4，－3)，點(diǎn)B(1，1)直線x+y+1=0對(duì)稱點(diǎn)B′(－2，－2)，則入射光線所在的直線的方程就是直線AB′的方程，反射光線所在的直線的方程就是直線A′B的方程，再根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程很易求出所求直線方程。

三、利用對(duì)稱求最值

例3 已知點(diǎn)M(－1，3)，N(6，2)，點(diǎn)P在x軸上，求PM+PN取最小值和點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析： M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為M′(－1，－3)，則PM+PN取最小為M′N，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得最小值74，此時(shí)P為直線M′N與x軸交點(diǎn)，設(shè)再根據(jù)三點(diǎn)共線可求得a。

變形1：求(x－2)2+22+(x－8)2+42（x∈R）的最小值。

提示：本題可以轉(zhuǎn)化一動(dòng)點(diǎn)(x，0)到定點(diǎn)A(2，－2)，B(8，4)之和的最小值，即三點(diǎn)共線。

變形2：已知點(diǎn)M(－1，－3)，N(6，2)，點(diǎn)P在x軸上，求PM－PN取最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)。

提示：M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為M′(1，－3)，則PM－PN=PM′－PN，當(dāng)點(diǎn)P就與點(diǎn)F重合時(shí)，PM－PN取最大值，此時(shí)M′，N，P三點(diǎn)共線。