招燕燕

【摘要】數(shù)學(xué)分析是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)最重要的主干基礎(chǔ)課程之一，為了提高數(shù)學(xué)分析的教學(xué)質(zhì)量，概念的學(xué)習(xí)是關(guān)鍵.所以對(duì)數(shù)學(xué)分析中的概念的教法做初步的探討，提出要重視概念的歷史和引入、概念的描述、概念之間的聯(lián)系、概念的正反舉例和習(xí)題演練以及概念的教學(xué)方法的多樣性，用以提高學(xué)生學(xué)習(xí)概念的興趣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)精確的數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括、邏輯表達(dá)、類比分析、邏輯推理、自學(xué)等能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；概念；教學(xué)

在我們信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)教育課程中，數(shù)學(xué)分析是最重要的主干基礎(chǔ)課程之一.它不僅是信息專業(yè)學(xué)生進(jìn)校后首先面臨的一門重要課程，而且大學(xué)本科乃至研究生階段很多后繼課程在本質(zhì)上都可視為它的延伸、深化或應(yīng)用，它的基本概念、思想和方法更可以說是無處不在，在培養(yǎng)具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的數(shù)學(xué)及應(yīng)用人才方面起著其他課程無可替代的作用，因此，提高數(shù)學(xué)分析教學(xué)質(zhì)量具有非常重要的意義.

如何提高數(shù)學(xué)分析教學(xué)質(zhì)量呢?概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的內(nèi)容.概念既是數(shù)學(xué)分析的實(shí)體，又是數(shù)學(xué)思維的工具，一切判斷、推理、證明都離不開概念.正確理解數(shù)學(xué)分析的概念是掌握數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)知識(shí)的前提，概念不清就容易陷入迷茫，產(chǎn)生錯(cuò)誤.因此，采用行之有效的概念教學(xué)方法，對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量至關(guān)重要.

本文就數(shù)學(xué)分析概念的教學(xué)談一點(diǎn)看法.

1.重視概念的歷史和引入：提高學(xué)生學(xué)習(xí)概念的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力

概念教學(xué)往往不如定理、公式等那樣生動(dòng)，處理不好，會(huì)顯得呆板、生硬，不容易引起學(xué)生的興趣.例如數(shù)列極限的定義，若直接給出數(shù)學(xué)語言描述——對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，|a璶-a|<ε都成立,就稱常數(shù)a是數(shù)列{a璶}的極限.這樣學(xué)生們會(huì)不知所以然，只能死記硬背.但如果通過一個(gè)具體的實(shí)際問題（如割圓法求圓的面積：用圓的內(nèi)接正多邊形的面積近似代替圓的面積.邊數(shù)越多，多邊形的面積也就越接近圓的面積，近似值也就越接近準(zhǔn)確值.但怎樣才能無限接近，怎樣才能達(dá)到準(zhǔn)確值呢?提出問題，誘導(dǎo)學(xué)生逐一觀察，分析思索，然后從比較接近——很接近——越來越接近——要多么接近就有多么接近(無限趨近)，引導(dǎo)學(xué)生逐步地深入，從粗略描述到比較細(xì)致地刻畫，直到對(duì)其本質(zhì)屬性進(jìn)行科學(xué)的、完整的抽象概括與精確描述)，從中抽象出極限的定義，就很容易激發(fā)學(xué)生的興趣，被學(xué)生接受.

2.重視概念的描述：學(xué)習(xí)描述概念的精確的數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯表達(dá)能力

數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于用簡(jiǎn)單、精確的語言描述紛繁復(fù)雜的客觀世界.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的語言.數(shù)學(xué)語言的抽象性、精確性、邏輯性直接表現(xiàn)在概念的定義之間.一個(gè)概念，區(qū)區(qū)幾個(gè)字，可能代表了很多東西，其內(nèi)涵豐富無比.在教學(xué)中表述概念要做到準(zhǔn)確無誤，教學(xué)語言要符合知識(shí)內(nèi)容的邏輯順序，引用概念時(shí)敘述要完整.而對(duì)學(xué)生要求要嚴(yán)格，每個(gè)概念及其矛盾概念必須能完整準(zhǔn)確地?cái)⑹?，即使一點(diǎn)小的問題，例如把“非負(fù)數(shù)”說成“正數(shù)”，都應(yīng)及時(shí)糾正.還以數(shù)列極限為例：數(shù)列極限這幾個(gè)字，就意味著ε-N語言——對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),|a璶-a|<ε都成立,就稱常數(shù)a是數(shù)列{a璶}的極┫.這個(gè)說法意味著極限是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，在描述的過程中不能變動(dòng)語句的順序，如不能敘述成：存在正整數(shù)N,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,當(dāng)n>N時(shí),不等式|a璶-a|<ε都成立,就稱常數(shù)a是數(shù)列{a璶}的極限.前后兩種說法是不同的數(shù)學(xué)過程，只有前者能描述數(shù)列極限.

此外，還應(yīng)加強(qiáng)用定義證明題目的訓(xùn)練，強(qiáng)化概念的精確描述.畢竟數(shù)學(xué)語言和日?？谡Z有很大區(qū)別，讓學(xué)生多做概念方面的習(xí)題，能讓學(xué)生習(xí)慣于數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯表達(dá)能力.

3.重視概念之間的聯(lián)系：培養(yǎng)學(xué)生類比分析、邏輯推理能力

例如，討論單變量實(shí)函數(shù)極限，可以把它分成左右極限的問題，也就是把整體問題分成兩個(gè)部分問題來討論；考察多元函數(shù)的極限，也就是整體極限(重極限)的時(shí)候，不能把它分成有限個(gè)部分極限（方向極限或路徑極限)來討論.單變量函數(shù)與多變量函數(shù)的根本區(qū)別在于對(duì)單變量而言趨于某點(diǎn)僅有兩個(gè)方向，而對(duì)多變量卻有無窮多個(gè)方向，而趨于某點(diǎn)的路徑則更多.可見單變量實(shí)函數(shù)極限和多元函數(shù)極限雖然有相似的地方，區(qū)別卻更明顯.

再比如，在學(xué)了一元函數(shù)定積分以后，再學(xué)多重積分、線積分等概念時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們雖然積分區(qū)域不一樣，但是本質(zhì)上是一樣的，都是源于“分割、做積分和、求極限”的思想.

在教學(xué)過程中加強(qiáng)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析的整個(gè)體系有一個(gè)完整的了解，并且培養(yǎng)了學(xué)生類比分析、邏輯推理的能力.

4.重視概念的正反舉例和習(xí)題演練：加深理解，認(rèn)清概念的本質(zhì)

恰當(dāng)?shù)恼?、反例是理解概念最好的幫?例如，在理解數(shù)列極限的概念（ε-N語言）時(shí)，1[]n→0,即笑>0,令N≥1[]ε，則當(dāng)n>N時(shí)，1[]n-0<ε.這里的N有無窮多個(gè)（對(duì)比定義中的存在性），ε強(qiáng)調(diào)的是想要多小（正數(shù)）就有多?。▽?duì)比定義中的任意性）.而1不是1[]n的極限，因?yàn)楫?dāng)ε=1[]2時(shí)，對(duì)蠳,鰊>N，使得1[]n-1≥1[]2（只要n充分大，這個(gè)式子總是成立）.

不管學(xué)習(xí)的是概念還是計(jì)算方法、定理，大量的習(xí)題總是不可避免的.學(xué)數(shù)學(xué)不做習(xí)題是不可想象的事情.

5.重視概念的教學(xué)方法的多樣性：培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力

（1）適當(dāng)利用多媒體教學(xué)

例如，在講解定積分的定義時(shí)，要寫出定義中的“分割、作乘積、求和、取極限”全過程,若按傳統(tǒng)教學(xué)手段，把定義寫出，至少要占用一個(gè)黑板的篇幅，這樣做非常費(fèi)時(shí)，勢(shì)必影響教學(xué)進(jìn)度，減少課堂容量.若用多媒體教學(xué)，則這些工作可以課前做好，上課時(shí)只需逐行逐段放映出來，輕松明了.這樣既不影響學(xué)生對(duì)概念的理解，也提高了教學(xué)效率.

又比如，在引入定積分的定義時(shí)，要用一些小矩形面積的和來逼近曲邊梯形的面積或者是上面提到過的割圓法求圓的面積.這個(gè)時(shí)候，如果用多媒體動(dòng)畫演示這些逼近過程，可以讓學(xué)生對(duì)這個(gè)極限過程有很形象的認(rèn)識(shí)，對(duì)定義的理解也更深刻.

（2）學(xué)生自學(xué)

俗話說“授人以魚，不如授人以漁”，在課堂上從教師這里獲取知識(shí)只是增長知識(shí)的一個(gè)方面，而大量知識(shí)的獲得，要靠自己讀書，通過大量社會(huì)實(shí)踐獲得.因此，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)讀書，善于思考，提高他們的自學(xué)能力，是相當(dāng)重要的.數(shù)學(xué)分析的新舊概念之間存在著緊密聯(lián)系.學(xué)生在學(xué)習(xí)了一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)分析后，對(duì)數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)語言、敘述方法都比較熟悉，同時(shí)具有一定的讀書能力.這個(gè)時(shí)候，對(duì)許多概念采用讓學(xué)生閱讀，然后提出問題讓學(xué)生思考的辦法，可以收到很好的效果.例如，在“多元函數(shù)積分”的教學(xué)中，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)掌握一元函數(shù)定積分、曲線積分等概念，我就把二重積分的概念部分交給學(xué)生閱讀，然后提出下列問題：

①二重積分是如何引入的?

②二重積分和定積分、曲線積分之間有什么關(guān)系?

學(xué)生在看完了以后，到黑板上演示積分定義的過程：分割、求和、取極限，在演示的過程中發(fā)現(xiàn)了理解不透的地方，反過來更加深了對(duì)概念的理解.這樣的方式收到了很好的效果.不但使學(xué)生提高了自學(xué)能力，對(duì)這部分內(nèi)容掌握得也很好.通過學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生自己獲取知識(shí)以及理解和掌握教師所講授的知識(shí)都收到了很好的效果，對(duì)學(xué)生將來進(jìn)一步學(xué)習(xí)更是大有益處.

曾經(jīng)有名學(xué)生開玩笑地跟我說：“數(shù)學(xué)之美，猶如飲酒，在于將醉未醉之間——暈暈乎乎.”會(huì)暈暈乎乎的，肯定是概念沒理解清楚，或者理解得不夠深刻.如果我們能讓學(xué)生把概念都弄清楚了，數(shù)學(xué)之美，應(yīng)如飲清茶，唇齒留香，回味無窮.

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［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.

［2］樊守芳.數(shù)學(xué)分析概念教學(xué)初探.井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2003，23（5）：85-87.