林興納

幾何學(xué)習(xí)和應(yīng)用概念去解決幾何問題的能力強(qiáng)弱，總是受許多條件的影響，這種影響有一部分來自部分學(xué)生頭腦中已經(jīng)具有的圖形經(jīng)驗(yàn)的多少，在學(xué)生頭腦中所具有的圖形經(jīng)驗(yàn)和概念的內(nèi)涵意義不完全一致，也來自教學(xué)概念時(shí)的方式和講解概念所依據(jù)的圖形變式，等等．什么叫圖形變式？保持圖形的本質(zhì)屬性，而變異其非本質(zhì)屬性所得的圖形稱為原圖的圖形變式．幾何教學(xué)中所采用的圖形變式，常見的有兩種形式：其一為圖形變式單獨(dú)出現(xiàn)，僅僅是位置或形狀作變式處理，另一種是圖形出現(xiàn)間隔、缺損、重疊、交錯(cuò)等干擾，幾何對(duì)象的本質(zhì)成分有時(shí)會(huì)被次要的復(fù)合成分掩蓋．

一、幾何概念教學(xué)需要圖形變式

１． 為完整地認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵，教師應(yīng)該選擇一定的圖形變式，組織新的感性經(jīng)驗(yàn)，克服原有的圖形經(jīng)驗(yàn)不足．在學(xué)習(xí)概念時(shí)，配以較完整的圖形變式系統(tǒng)，讓學(xué)生通過比較各種變式圖形的異同點(diǎn)，抽象出概念的本質(zhì)屬性，同時(shí)舍棄其非本質(zhì)屬性，為理解和掌握概念的本質(zhì)屬性提供有利條件．這是幾何概念教學(xué)的正確方法之一．

例如，講述三角形高的概念，教師必須考慮作三角形高的各種變式．如果只畫銳角三角形一種圖形，當(dāng)學(xué)生遇到鈍角三角形時(shí)，便不會(huì)由兩銳角頂點(diǎn)向?qū)呑鞲撸?/p>

講授三角形外心概念時(shí)，須指導(dǎo)學(xué)生畫三種類型三角形的外接圓，從而更清楚理解三角形外心的存在意義和它在三角形中的位置．在圖１～圖３中，點(diǎn)Ｏ都是三角形的外心．

又如，關(guān)于圓周角概念，圓周角的內(nèi)涵特征是：頂點(diǎn)在圓上，并且它的兩邊都是弦的角．下圖４～圖６就是關(guān)于圓周角概念外延所包含的各種變式圖形．

２． 為使學(xué)生能更深刻認(rèn)識(shí)概念，舉錯(cuò)例和反例變式是行之有效的方法．例如鄰補(bǔ)角的概念，如圖７，∠１ ＋ ∠２＝ １８０°，∠１和∠２是鄰補(bǔ)角嗎？

又如，如圖８，∠１和∠２是同位角嗎？

下列圖９～圖１３中的角是不是圓周角？

下圖１４～圖１７給出的陰影部分是扇形嗎？

特別是對(duì)一些容易引起模糊認(rèn)識(shí)的概念，比如圓的切線（如圖１８），學(xué)生常會(huì)理解成垂直于半徑的直線，又如菱形（如圖１９），學(xué)生容易理解成對(duì)角線互相垂直的四邊形，等等．對(duì)此，教師可以畫出圖形加以提問，幫助學(xué)生澄清概念．

二、例題，習(xí)題教學(xué)需要變式圖

幾何教學(xué)應(yīng)重視教材內(nèi)容的研究和教學(xué)方法的探討，更應(yīng)挖掘課本例題習(xí)題的潛力，發(fā)揮它們?cè)诮虒W(xué)中的作用．把它們進(jìn)行變式改組，可以充分發(fā)揮這些題目在訓(xùn)練思維能力和幾何知識(shí)上的作用．通常采用變換命題的條件，結(jié)論，圖形或編系列題組，或要求一題多解，一法多用，一題多變等方法．

１． 用幾類基本圖形單獨(dú)或組合變式構(gòu)題

（1）如由三角形中位線基本圖形構(gòu)圖（圖２１～圖２５）：

（２）用基本圖形等腰三角形，角平分線，平行線組合構(gòu)題：

例１ 如圖２５， AB是圓Ｏ的弦，如果AC∥OB，求證：AB平分∠ＯＡＣ．如果AB平分∠ＯＡＣ，求證：AC∥OB．

例２ 如圖２６，△ABC中，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的角平分線交于點(diǎn)D，過D作BC的平行線，交AB，AC于E，F(xiàn)，求證：ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＣＦ．

例３ 如圖２７，E是直線AB上一點(diǎn)，EC，ED 分別是∠ＡＥＦ和∠ＢＥＦ的平分線，CD∥AB，求證：ＣＦ ＝ ＦＤ．

例４ 如圖２８，I是△ABC的內(nèi)心，IG∥AC，求證：△IFG的周長(zhǎng)等于BC．

例５ 如圖２９，I是△ABC的內(nèi)心，MN∥BC，求證：ＭＮ ＝ ＢM ＋ ＣＮ．

這種例子在幾何論證教學(xué)中使用得很普遍．又如：

例６ 如圖３０，已知：∠１ ＝ ∠２，AD∥BC. 問：可以得到什么結(jié)論？

例７ 如圖３１，已知：∠１ ＝ ∠２，CD∥AE. 問：可以得到什么結(jié)論？

例８ 如圖３２，已知：∠１ ＝ ∠２，DE∥BC.問：可以得到什么結(jié)論？

例９ 如圖３３，已知：∠１ ＝ ∠２，ED∥AC.問：可以得到什么結(jié)論？

例１０ 如圖３４，已知：∠１ ＝ ∠２，AD∥GE.問：可以得到什么結(jié)論？

２． 對(duì)可能出現(xiàn)的多種圖形結(jié)論的習(xí)題訓(xùn)練

例１１ 在半徑為１的圓Ｏ中，弦AB，AC分別是■和■，那么∠BAC ＝______________.

可能出現(xiàn)如圖３５，圖３６兩種圖形．

例１２ 已知△ABC內(nèi)接于圓Ｏ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，半徑ＯＢ ＝ ５ ｃｍ，圓心O到BC的距離為３ ｃｍ，求AB的長(zhǎng)．

可能出現(xiàn)如圖３７，圖３８兩種圖形．

例１３ 請(qǐng)將四個(gè)全等直角梯形拼成一個(gè)平行四邊形，可畫出以下不同（不全等）的拼法示意圖．

例１４ 在平面內(nèi)確定四點(diǎn)，連接每?jī)牲c(diǎn)，使任意三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形（包括等邊三角形），且每?jī)牲c(diǎn)之間的線段只有兩個(gè)數(shù)值，則這四點(diǎn)的位置取法有多少種？畫圖說明．

例１５ 為了求■ + ■ + ■ + ■ + … + ■的值，設(shè)計(jì)下圖及其變式圖．

總之，幾何教學(xué)需要善用變式思想，多畫圖形變式，能迅速提高數(shù)學(xué)的思維能力，教師要重視圖形變式的作用，教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生參與這個(gè)過程，使學(xué)生逐漸樂于并善于去主動(dòng)探求合理的想象，促進(jìn)創(chuàng)造性思維的發(fā)展．