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        圓錐曲線切線的幾個有趣性質(zhì)

        2012-04-29 01:20:36
        關(guān)鍵詞:外角準(zhǔn)線平分

        圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)的重點和難點,因而成為歷年高考必不可少的考查對象.圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是其切線問題,學(xué)生往往在求解和證明圓錐曲線問題時感到力不從心,甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒,為了幫助學(xué)生擺脫這種困境,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,對圓錐曲線的切線問題有深刻認(rèn)識,拓寬解題思路,本文通過采用添加輔助線的方法,得到了以下5個有趣的性質(zhì),以供參考.

        性質(zhì)1 設(shè)F為圓錐曲線(離心率為e)的一個焦點,

        其相應(yīng)的準(zhǔn)線為l.一直線交圓錐曲線于M,N,交l于P,則FP平分∠MFN的外角.

        圖 1

        證明 如圖1,過M,N作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別是K,Q.

        由圓錐曲線的定義有

        |MF|[]|MK|=|NF|[]|NQ|=e,

        ∴|MF|[]|NF|=|MK|[]|NQ|.(1)

        又由MK⊥l,NQ⊥l知|MK|[]|NQ|=|MP|[]|NP|.(2)

        由(1)(2)有

        |MF|[]|NF|=|MP|[]|NP|.

        由三角形外角平分線定理的逆定理知FP平分∠MFN的外角.

        性質(zhì)2 設(shè)F為圓錐曲線的一個焦點,其相應(yīng)準(zhǔn)線為l,

        過圓錐曲線上一點M的切線交準(zhǔn)線l于P,則PF⊥MF.

        證明 如圖2,延長MF交圓錐曲線于M1.在性質(zhì)1中,

        當(dāng)N與M重合時,直線PNM成為與圓錐曲線相切于點M的切線PM,∠NFM1成為平角∠MFM1.由性質(zhì)1知FP平分∠NFM1,即FP平分∠MFM1,故PF⊥MF.

        圖 2

        性質(zhì)3 設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓(離心率為e)的兩個焦點,

        點M是橢圓上異于長軸兩端點的任一點,則在橢圓上的點M處的切線和法線分別平分∠F1MF2及它的外角.

        圖 3

        證明 過M的切線交準(zhǔn)線l于點P,法線交長軸于N.

        如圖3,設(shè)點D,E分別在射線F1M,NM上,連接PF2.

        由性質(zhì)2知∠MF2P=90°,作MM′⊥l,垂足為M′,連接F2M′,知點M,M′,P,F(xiàn)2四點共圓,MP是直徑.由MN⊥MP知MN是這個圓的切線,從而

        ∠NMF2=∠MM′F2,∠MF2N=∠F2MM′.

        ∴△MF2N∽△M′MF2.

        ∴NF2[]MF2=MF2[]MM′=e.(1)

        同理NF1[]MF1=e.(2)

        由(1)(2)知NF2[]MF2=NF1[]MF1,即NF1[]NF2=MF1[]MF2.

        由三角形內(nèi)角平分線定理知MN平分∠F1MF2,即∠F1MN=∠F2MN.

        由法線定義知∠EMD+∠PMD=∠PMF2+∠F2MN=90°.

        又 ∵∠EMD=∠F1MN=∠F2MN,

        ∴∠PMD=∠PMF2.

        故MP平分∠F1MF2的外角∠F2MD.

        性質(zhì)4 設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,A1,A2是長軸兩

        端點,

        過橢圓上異于A1,A2的任一點M作橢圓的切線,過F1,F(xiàn)2作切線

        的垂線,垂足分別是B,C,則B,C在以A1A2為直徑的圓上.

        圖 4

        證明 如圖4,設(shè)橢圓的中心為O,直線F1M與直線F2C相交

        于D,連接OC,OB.由性質(zhì)3知MC平分∠F2MF1的外角∠F2MD.

        ∵MC⊥F2D,∴C是F2D的中點,且有MD=MF2,從而有

        OC=1[]2F1D=1[]2(F1M+MD)=1[]2(F1M+MF2)=1[]2A1A2.

        ∴點C在以A1A2為直徑的圓上,同理點B也在以A1A2為直徑的圓上.

        性質(zhì)5 P為橢圓外一點,PA,PB是橢圓的兩切線,

        A,B為切點,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的兩焦點,則PF1,PF2分別平分∠AF1B,∠AF2B.

        圖 5

        證明 如圖5,過F1,F(xiàn)2分別作PA,PB的垂線,交直線F2A,F(xiàn)1B的延長線于點F′1,F(xiàn)′2,交直線PA,PB延長線于C,D,連接PF1,PF2,PF′1,PF′2.

        由性質(zhì)3知∠F1AC=∠F′1AC,又PC⊥F1F′1,

        ∴AF1=AF′1,PF1=PF′1.

        ∴△PF1A≌△PF′1A.

        ∴∠PF1A=∠PF′1A.(1)

        ∴F2F′1=AF′1+AF2=AF1+AF2=2a.

        同理F1F′2=BF1+BF′2=BF1+BF2=2a,

        PF2=PF′2.

        ∴△PF1F′2≌△PF′1F2.

        ∴∠AF′1F2=∠PF1B.(2)

        由(1)(2)知∠PF1A=∠PF1B,故PF1平分∠AF1B,

        同理可證PF2平分∠AF2B.

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