袁紅霞

概率是處理隨機現(xiàn)象（不確定現(xiàn)象）的一門科學，這些內容是一種“不確定性數(shù)學”內容，與傳統(tǒng)的“確定性數(shù)學”內容有較大區(qū)別。最近聽了不同年級關于概率的幾節(jié)課，引發(fā)了我對概率知識及課堂處理的思考。

片段一：在二年級課題為“可能性”的公開課上，老師講了可能性的一些例子后，設計了讓學生講一講生活中的“一定”“可能”“不可能”的例子。許多學生講對了，但有一個學生講的例子是：“我們一定要注意安全。”老師猶豫了一下，給出的評價是“好”。受此影響，接下來幾個學生講的例子是：“上課我們一定要認真聽講?！薄皨寢屆魈煲欢〞砜次??！薄俺燥埱耙欢ㄒ词??！崩蠋煯敃r沒有反應過來，未能及時糾正學生的錯誤。

思考：概率上的“一定”、“可能”、“不可能”分別對應概率為1、0—1、0，和生活中的語言“一定”是有本質區(qū)別的。課堂上學生講的例子“上課我們一定要認真聽講”、“吃飯前一定要洗手”中的“一定”其實是“應該”，是一種倡導性的語言。而“媽媽明天一定會來看我”中的“一定”其實是很可能。我們不能因為語句中出現(xiàn)了“一定”“可能”“不可能”等詞匯，就認為它屬于數(shù)學“可能性”的研究范疇。我認為教師在實際教學中不要設計這樣的問題，以避免和生活語言混淆，而應根據(jù)學生的實際水平，設計能判斷的不確定現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象，例如，“任意找兩個自然數(shù)，它們的和可能是雙數(shù)，可能是單數(shù)。”等。

片段二：三年級的“等可能性”，四人小組在裝有3個紅球、3個黃球的口袋中重復摸球40次。6個小組合計摸到紅球119次，黃球121次。學生發(fā)現(xiàn)：摸到紅球的次數(shù)和黃球的次數(shù)差不多。老師對此作推理：在口袋里任意摸一個球，摸到每個球的可能性一樣大；由于紅球和黃球的數(shù)量相等，因此摸到紅球和黃球的可能性相等。

思考：根據(jù)口袋里有3個紅球、3個黃球，學生憑直覺能判斷摸到紅球與黃球的可能性相等。但是，這個年齡階段的學生不適宜通過這樣的推理得出結論，只有在直觀的操作活動中加以感受。尚且操作活動得出的結果并不是事件發(fā)生的可能性，而是事件發(fā)生的頻率。因此如果不理解教材的編排特點，不理解教學內容的重點、難點，在教學過程當中稍不留意就會出現(xiàn)“越位”。

為了讓學生逐步感受、體會概率知識，從二年級開始，概率的基本思想方法即有序進入學生數(shù)學學習視野。根據(jù)課程標準的要求和學生的認知水平，教材在第一、二兩個學段分四次安排教學可能性的知識。教材編排不僅在取材上以“摸球”“轉盤”的相似情境貫穿前后，體現(xiàn)出很強的連貫性和整體感，而且在教學要求上也是逐漸提升，各有側重，既有連續(xù)性又有發(fā)展性，層層推進，拾級而上。這樣，就能使教學的針對性、有效性更強。

片段三：四年級的“游戲規(guī)則的公平性”，通過“拋硬幣”讓學生理解“出現(xiàn)正面和反面的可能性都是一樣的”。小組活動“拋硬幣”后，一位老師巡視了各小組記錄單后，只讓那些正反面次數(shù)相差不大的小組匯報，而沒有讓那些正反面次數(shù)相差較大的小組匯報。然后，老師指著匯總的數(shù)據(jù)說：“同學們經過試驗，大部分同學出現(xiàn)正反面的次數(shù)相差不多，所以，任意拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可能性都是一樣的。”

思考：老師對學生“拋硬幣”的結果這樣處理，顯然是一種錯誤的概率觀。其實只要符合獨立重復的條件，學生的試驗都是正確的，他們的實驗結果也是有價值的。教師可以將學生的實驗結果全部匯報出來，縱觀各組數(shù)據(jù)，學生會發(fā)現(xiàn)：有時正面朝上多，有時反面朝上多，有時一樣多，正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)差不多。說明游戲是公平的。這樣讓學生做出比較和分析，對公平性有一個豐富的、全面的、正確的認識。

由于教師概率知識缺乏，對“頻率與概率”“試驗與結果”等概念認識不清，一些教師往往會在潛意識中對試驗結果有一些錯誤的希望，例如在裝有4個紅球和4個白球的袋中重復摸球，“摸得次數(shù)足夠多，摸到紅球和白球的次數(shù)會相等”“摸的次數(shù)足夠多，摸到紅球和白球的次數(shù)相差很小”“摸的總次數(shù)越多，摸到紅球和白球的次數(shù)相差得越小”“公平的游戲輸贏的次數(shù)應該差不多”“公平的游戲平的次數(shù)最多”等。也有的教師試圖用概率的統(tǒng)計意義（即用頻率估計概率的方法），引導學生用“猜想—驗證”的方式來讓學生理解等可能性，或證明設計的游戲規(guī)則是否公平，這是違背概率論的?！暗瓤赡苄浴笨梢詮母怕实墓诺涠x的角度去認識——因為拋的結果只有兩種可能，且兩種結果的可能性相等，所以該隨機事件的概率是二分之一，卻不能通過試驗、游戲來驗證、證明；而試驗、游戲可以讓學生體驗等可能性和隨機性的辯證統(tǒng)一，培養(yǎng)學生的隨機思維。在課堂上引入隨機試驗，既不是讓學生得出次數(shù)相等的結果，又不是要驗證、證明規(guī)則的公平性，更不是要利用試驗得到概率的估計值，而是讓學生在進行隨機試驗和收集數(shù)據(jù)的過程中，進一步體會隨機的思想，感受、領悟等可能性。在教學中，教師要想心中有數(shù)、有的放矢地駕馭好涉及簡單概率知識這部分教材，必須較完整地學習概率知識，理清邏輯順序，梳理知識結構，理解基本概念。

片段四：在教學“用分數(shù)表示可能性大小”這一內容時，例題1以猜左右爭奪發(fā)球權為情境，在教學這個例題時，老師引導討論交流:這樣的規(guī)則是公平的嗎?為什么?學生這樣解釋：人有兩只手，乒乓球在一只手里，所以可能性是二分之一。與例題2配套的“試一試”是在裝有3個紅球和2個黃球的袋中摸球，摸到紅球的可能性是多少？學生這樣解釋五分之三的意義：一共有5個球，其中3個是紅球，所以摸到紅球的可能性是五分之三。

思考：例題和試一試提供的素材都是靜止的材料，即使學生沒有學習這一知識也能根據(jù)分數(shù)的意義得到表示可能性大小的分數(shù)。于是老師認為教材太簡單了，沒有多大的意義。實則不然，用分數(shù)表示的概率，其分母表示一共有多少種可能性相等的情況，分子表示其中可能發(fā)生的幾種情況。這一教學內容不僅要教會學生正確計算概率的方法，而且要注意引導學生理解概率的意義。如果一堂課下來，學生沒有這些概括、認識，那么本堂課的知識目標也就沒有達成，如解決練習十八第六題：小芳和小娟做“石頭、剪刀、布”的游戲，小芳獲勝的可能性是幾分之幾？學生就不能真正明白：求小芳獲勝可能性的大小要列舉出所有可能出現(xiàn)的情況和小芳獲勝的情況。

這里需要注意的是另一種思路：一回合的結果有三種：小強勝，小強負，平手，所以小強勝的可能性是三分之一。這種分析方法在這個具體問題當中是正確的，但這不是一般的分析方法，因為這里的“小強勝”、“小強負”、“平手”都不是基本事件，都包含若干個基本事件，比如“小強勝”這個事件就包含“小強出石頭—小麗出剪刀，小強出剪刀—小麗出布，小強出布—小麗出石頭”這三種情況。之所以這里用這種方法得到的答案是正確的，是因為“小強勝”“小強負”“平手”這三個事件包含的基本事件數(shù)都是三個，是相等的。

客觀地說，現(xiàn)在的小學數(shù)學教師系統(tǒng)學習過概率論知識的并不多，因此出現(xiàn)本位性知識缺失、知識體系把握不準、數(shù)學思想挖掘不夠的現(xiàn)象不足為奇。而要引導學生領會事件發(fā)生的隨機性、事件發(fā)生結果的必然性、大量隨機現(xiàn)象中的統(tǒng)計規(guī)律性，教師就必須較深入地學習這些知識，提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，教師具備了扎實的數(shù)學專業(yè)基礎，才能夠全面把握數(shù)學學科知識，教學才能統(tǒng)攬全局，還課堂教學以生命的靈性。