馬麗拉 趙云河

摘要: 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),正確地理解函數(shù)的奇偶性概念及其判別,并能靈活應用有著重要作用.文章從函數(shù)的定義域、函數(shù)的變形、含參數(shù)函數(shù)及零值函數(shù)等方面對函數(shù)奇偶性的判定中應注意的問題進行深入分析,從而達到提高概念教學有效性的教學目標.

關鍵詞: 函數(shù)奇偶性概念教學有效性

函數(shù)奇偶性的概念,現(xiàn)行普通高中課程標準實驗教科書是這樣定義的:

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù);如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).[1]

函數(shù)的奇偶性從定義上看比較簡單,但其內(nèi)容及變化卻非常豐富,深入挖掘函數(shù)的奇偶性概念及其判別的內(nèi)涵,并能靈活應用,對函數(shù)作圖、性質(zhì)分析等有著重要的作用,是提高概念教學有效性的重要途徑.

根據(jù)現(xiàn)行中學數(shù)學教學大綱的要求,學生必須了解函數(shù)奇偶性的定義,掌握其常用的判定方法,但由于其定義較簡單,而教材又沒有作更多的分析,在具體進行函數(shù)奇偶性的判定時,出現(xiàn)了一些似是而非的問題和錯誤,在教學中有必要對一些應注意的問題作進一步的分析和說明.

一、判斷函數(shù)的奇偶性應注意定義域

教材在進行函數(shù)奇偶性的定義時,完全沒有涉及函數(shù)定義域的具體情況,按這樣的定義不加解釋地進行教學,就會使學生形成不準確的概念,認為只要形式上有f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),有f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),而與函數(shù)的定義域沒任何關系.研究函數(shù)的性質(zhì)必須以函數(shù)的定義域為基礎,離開定義域去研究所謂函數(shù)的性質(zhì),往往會犯錯誤.

事實上,設函數(shù)f(x)的定義域為D,若f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù),則±x∈D必同時成立,說明D是關于原點對稱的,即函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是它的定義域關于原點對稱.

例1:判定下列函數(shù)的奇偶性,并說明理由.

(1)f(x)=x■+3cosx(-2≤x≤3);(2)f(x)=■.

解:(1)因為f(-x)=(-x)■+3cos(-x)=x■+3cosx=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).

(2)因為f(-x)=■=■≠f(x)(或f(-x)),所以f(x)為非奇非偶函數(shù).

但以上兩解都錯了.因為(1)中f(x)的定義域[-2,3]關于原點不對稱,所以f(x)為非奇非偶函數(shù),也可從圖像上可直觀地看出它的圖像不是關于y軸對稱的.而(2)中若先求出定義域[-1,0)∪(0,1],則x+2>0,于是f(x)=■=■,則f(-x)=■=-■=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).

因此,在教學中務必使學生明確:(1)如果函數(shù)f(x)的定義域不是關于坐標原點對稱,那么f(x)肯定不會是奇函數(shù)或偶函數(shù),即使從形式上看,等式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.(2)如果函數(shù)f(x)的定義域是關于坐標原點對稱,那么才用等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)進行奇偶性的判定.(3)如果已經(jīng)知道函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么它的定義域一定是關于坐標原點對稱的.

二、判斷函數(shù)奇偶性時應注意f(-x)的變形

判斷函數(shù)的奇偶性時,在定義域關于原點對稱的基礎上,我們用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)來確定函數(shù)f(x)奇偶性.但在有些時候,表面上f(-x)并不等于-f(x)或f(x),這時不應馬上得出該函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的結論,而應利用一定技巧進行適當?shù)淖冃?再得出最后判定結果.

例2:判斷函數(shù)f(x)=ln(x+■)的奇偶性.

解:函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),定義域關于原點對稱.有

f(-x)=ln[(-x)+■]=ln(■-x)

由于f(-x)不等于-f(x)或f(x),故f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).

但事實上該結論是錯誤的,因為有

f(-x)=ln(■-x)=ln[■]=ln(■-x)■=-ln(■-x)

所以f(x)是奇函數(shù).

如果上式不對第二步進行變形,往往又會得出錯誤結論.

三、判斷函數(shù)的奇偶性應注意f(x)=0的情形

例3:判定函數(shù)f(x)=■的奇偶性.

解:先求定義域.因為lgcosx≥0,即cosx≥1;又因為-1≤cosx≤1,所以cosx=1.故函數(shù)的定義域為x=2kπ(k∈Z),即定義域所對應的點集關于原點對稱.又因為

f(-x)=■=■=f(x)

所以f(x)為偶函數(shù).

上述解法看上去似乎沒有什么問題,定義域也關于原點對稱,函數(shù)也滿足等式f(-x)=f(x),但是當x=2kπ(k∈Z)時,f(x)=0,此時上述解法就有問題了,因為有:既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的單值函數(shù)必為零值函數(shù);反之,定義域關于原點對稱的零值函數(shù)為既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

由此可見,例3中的函數(shù)f(x)實際上是零值函數(shù),因而它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

四、判斷含參數(shù)函數(shù)的奇偶性應注意參數(shù)的分類

當函數(shù)中含有參數(shù)時,一般可對參數(shù)進行分類討論,應該注意f(x)=0時參數(shù)滿足什么條件,即什么條件下f(x)=0.

例4:判斷函數(shù)f(x)=kcosx(k為參數(shù))的奇偶性.

解:函數(shù)的定義域為x∈R.當k=0時,f(x)=0,故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);當k≠0時,f(-x)=kcos(-x)=kcosx=f(x),故f(x)是偶函數(shù).

綜上所述,在判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時,應按下面步驟進行:(1)考慮函數(shù)f(x)的定義域,看定義域所對應的點集是否關于原點對稱;(2)考慮函數(shù)f(x)是否為零值函數(shù);(3)考慮函數(shù)f(-x)是否等于-f(x)或f(x).

遵循上述步驟就能正確判斷函數(shù)的奇偶性,這在教學中應引起重視.

參考文獻:

[1]課程教材研究所等.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(必修1)[M].北京:人民教育出版社,2007.