晉守博

摘要： 復(fù)變函數(shù)是理工科的重要基礎(chǔ)課程，解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)課程中最重要的內(nèi)容之一.本文從不同的方面分析了解析函數(shù)的教學(xué)特點(diǎn)，討論了判別函數(shù)是否解析的五種方法，并舉例進(jìn)行了說(shuō)明.

關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)教法

《復(fù)變函數(shù)》是高等學(xué)校理工科學(xué)生的專業(yè)必修課，在建設(shè)應(yīng)用型本科高校的背景下，由于復(fù)變函數(shù)的廣泛應(yīng)用性，這門(mén)課程正在被越來(lái)越多的高校重視.如何才能教好復(fù)變函數(shù)課程，已經(jīng)是擺在教師面前的一個(gè)重要課題.我就復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)的教學(xué)方法提出自己的看法.

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)課程中的重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)課程的難點(diǎn)，對(duì)解析函數(shù)的準(zhǔn)確理解有利于學(xué)生更好地掌握復(fù)變函數(shù)的特點(diǎn).本文重點(diǎn)圍繞解析函數(shù)的幾種等價(jià)判別方法，分析解析函數(shù)的教學(xué).

1.按照定義理解解析函數(shù)

如果復(fù)變函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)z■及z■的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則稱w=f（z）在點(diǎn)z■解析；如果w=f（z）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱w=f（z）在區(qū)域D內(nèi)處處解析.

根據(jù)解析函數(shù)的定義我們可以知道解析函數(shù)與可導(dǎo)函數(shù)很類似，但又不完全一樣，如果函數(shù)在某點(diǎn)解析，那么函數(shù)在該點(diǎn)一定是可導(dǎo)的；反過(guò)來(lái)卻不一定成立.從直觀上來(lái)看，解析函數(shù)是一個(gè)整體性的概念，可導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)局部性概念，與可導(dǎo)函數(shù)相比，解析函數(shù)要求更高一些.還要指出的是：對(duì)一個(gè)區(qū)域而言，函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)與解析是完全一樣的，主要原因在于區(qū)域是連通的開(kāi)集.

教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該重點(diǎn)討論函數(shù)f（z）=z，g（z）=■和h（z）=|z|■的解析性和可導(dǎo)性，比較它們的不同，通過(guò)定義我們可以知道函數(shù)f（z）=z在整個(gè)復(fù)平面上處處解析也處處可導(dǎo)，函數(shù)g（z）=■在整個(gè)復(fù)平面處處不解析也處處不可導(dǎo)，但是函數(shù)h（z）=|z|■在z=0可導(dǎo)但不解析，主要原因在于函數(shù)h（z）在z=0任一鄰域內(nèi)都有不可導(dǎo)的點(diǎn)，不能滿足解析函數(shù)的定義.

2.根據(jù)柯西—黎曼方程理解解析函數(shù)

按照文獻(xiàn)[2]中的定理，復(fù)變函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為：

（1）u■，u■，v■，v■在D內(nèi)連續(xù)；（2）在D內(nèi)有u■=v■且u■=-v■.

其中第二條稱為柯西—黎曼方程，該定理為我們提供了一種判別復(fù)變函數(shù)是否解析的方法，對(duì)于一個(gè)區(qū)域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)只要滿足上面條件，就可以說(shuō)明它是解析的；反過(guò)來(lái)，解析的復(fù)變函數(shù)也一定滿足上面兩條結(jié)論.實(shí)際上，該定理也可以看成是解析函數(shù)的等價(jià)定義.

需要指出的是，對(duì)于常見(jiàn)的初等函數(shù)，如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等，它們的解析性都是通過(guò)上面定理證明.比如對(duì)于指數(shù)函數(shù)f（z）=e■=e■cosx+ie■sinx，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知它的實(shí)部和虛部對(duì)所有的點(diǎn)都是滿足上面兩條結(jié)論的，因此指數(shù)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上都解析，最后為了方便應(yīng)用，只要記住這些初等函數(shù)在什么的范圍解析就可以了.關(guān)于初等函數(shù)的詳細(xì)討論可以參考文獻(xiàn)（3）—（4）.下面舉例說(shuō)明如何應(yīng)用該性質(zhì)分析復(fù)變函數(shù)的解析性.

例1：討論函數(shù)f（z）=x■+iy■的解析性.

解：因?yàn)楹瘮?shù)的實(shí)部和虛部分別為u（x，y）=x■，v（x，y）=y■，所以u(píng)■=2x，u■=0，v■=0，v■=2y.

從而u■=0=-v■，要u■=2x=v■=2y，必須y=x，故僅在直線y=x上柯西—黎曼方程成立，從而函數(shù)f（z）=x■+iy■僅在直線y=x上可微，但在整個(gè)z平面上處處不解析.

3.通過(guò)柯西積分定理和摩勒拉（Morera）定理理解解析函數(shù)

柯西積分定理[2]：如果函數(shù)f（z）在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條簡(jiǎn)單閉曲線，則？蘩■f（z）dz=0.

摩勒拉（Morera）定理[2]：如果函數(shù)f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對(duì)D內(nèi)任一條簡(jiǎn)單閉曲線C有？蘩■f（z）dz=0，則f（z）在D內(nèi)解析.

這兩個(gè)定理主要通過(guò)積分形式判別函數(shù)是否解析，雖然柯西積分定理的證明比較麻煩，但是該定理的應(yīng)用十分廣泛，可以極大地簡(jiǎn)化積分計(jì)算，比如應(yīng)用該定理計(jì)算積分？蘩■z■sin■ze■dz時(shí)，可以利用函數(shù)f（z）=z■sin■ze■在整個(gè)復(fù)平面上解析的特征判斷它的積分的值為0，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該與高等數(shù)學(xué)上的微積分基本定理進(jìn)行比較，說(shuō)明該定理在復(fù)變函數(shù)中的重要性.需要注意的是，當(dāng)判斷函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)是否解析時(shí)，人們很少去用該定理判斷，主要原因在于任意閉曲線在實(shí)際計(jì)算中很難表示.

4.通過(guò)共軛調(diào)和函數(shù)理解解析函數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[2]共軛調(diào)和函數(shù)的概念可知，復(fù)變函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為：在區(qū)域D內(nèi)v（x，y）是u（x，y）的共軛調(diào)和函數(shù).需要注意的是，利用該性質(zhì)不僅可以判斷函數(shù)的解析性，而且可以構(gòu)造解析函數(shù).下面我們舉例說(shuō)明解析函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題.

例2：已知二元函數(shù)u（x，y）=x■+xy-y■，能否構(gòu)造出解析函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y），如果能，請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)f（z）的具體形式.

解：對(duì)函數(shù)u（x，y）求偏導(dǎo)數(shù)可得：

u■=2x+y，u■=x-2y，u■=2，u■=-2.

故u■+u■=2-2=0，從而函數(shù)u（x，y）在整個(gè)z平面上為調(diào)和函數(shù)，于是利用上面性質(zhì)，可以判斷所求的解析函數(shù)f（z）必定存在.下面求該函數(shù)的具體值，利用柯西—黎曼方程可得v■=-u■=2y-x，v■=u■=2x+y，從而對(duì)函數(shù)二元函數(shù)v（x，y）微分可得，

dv=v■dx+v■dy=（2y-x）dx+（2x+y）dy

=（2ydx+2xdy）+（-xdx+ydy）

=d（2xy）+d（■（y■-x■））

=d（2xy+■y■-■x■）

所以函數(shù)v（x，y）=2xy+■y■-■x■+C（C為任意常數(shù)），函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在整個(gè)復(fù)平面上解析.

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)具有很多類似的性質(zhì)，對(duì)于解析函數(shù)我們有柯西積分公式；而對(duì)于調(diào)和函數(shù)，有與柯西積分公式相似的泊松（Poisson）積分公式.解析函數(shù)有平均值定理和極值定理；而調(diào)和函數(shù)也有類似的結(jié)果.通過(guò)調(diào)和函數(shù)去分析解析函數(shù)，能夠幫助學(xué)生更好地掌握解析函數(shù)的性質(zhì).

調(diào)和分析是一種極為復(fù)雜的數(shù)學(xué)分析理論，大部分復(fù)變函數(shù)書(shū)都只是對(duì)該方面進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，關(guān)于該理論的詳細(xì)情況，教師可以指導(dǎo)學(xué)生查看其他書(shū)目.

5.通過(guò)級(jí)數(shù)理論理解解析函數(shù)

級(jí)數(shù)也是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，把解析函數(shù)表示成級(jí)數(shù)不僅有理論意義，而且也有重要的實(shí)際意義.文獻(xiàn)[2]中指出了，函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：f（z）在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)a可以展成z-a的泰勒級(jí)數(shù).

利用泰勒定理，我們得到了級(jí)數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系，從而可以通過(guò)分析級(jí)數(shù)的性質(zhì)去理解解析函數(shù)的概念.對(duì)于冪級(jí)數(shù)而言，只要求出其收斂半徑，就可以斷定它的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)處處解析.

參考文獻(xiàn)：

[1]陸慶樂(lè).工程數(shù)學(xué)：復(fù)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]劉建亞，張光明，鄭修才.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：高等教育出版社，2007.

基金項(xiàng)目：宿州學(xué)院教研項(xiàng)目（編號(hào)：szxyjyxm201141）。