何 勇

(新疆兵團(tuán)二中 新疆 烏魯木齊 830002)

在“烏魯木齊地區(qū)2011年高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)試”中，一道考查學(xué)生關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)的選擇題引起了筆者的思考．

【例1】某興趣小組作如下實(shí)驗(yàn)：將3塊外形相同的正方形木板甲、乙、丙，如圖1拼接起來放在水平地面上.一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體以一定的初速度依次滑過3塊木板．小物體與3塊木板的動(dòng)摩擦因數(shù)之比為μ甲∶μ乙∶μ丙=1∶2∶3；如果小物體每次初速度相同，3塊木板的順序可任意拼接.若要小物體滑過3塊木板所用的時(shí)間最短，小物體依次滑過三塊木板的順序?yàn)?/p>

A.甲、乙、丙 B.丙、乙、甲

C.乙、甲、丙 D.乙、丙、甲

圖1

首先，本道題應(yīng)該保證“木板在地面上靜止不動(dòng)”，這一點(diǎn)題目表述含糊不清．3塊木塊拼接起來，成為一個(gè)長(zhǎng)是寬的3倍的矩形.小物體運(yùn)動(dòng)的軌跡平行于矩形的長(zhǎng)邊.

接下來，對(duì)甲、乙、丙如果在地面上不滑動(dòng)，進(jìn)行以下分析．

設(shè)每塊木板的寬度均為L(zhǎng)，小物體滑上木板的初速度為v0，離開時(shí)速度為vt，小物體在木板上滑動(dòng)根據(jù)動(dòng)能定理可得

-μ甲mgL-μ乙mgL-μ丙mgL=

根據(jù)上式可知：小物塊以相同初速度v0從一端滑上木板，離開時(shí)末速度vt也一定相等．

1 對(duì)兩個(gè)木板運(yùn)動(dòng)的分析：令μ甲<μ乙

(1)圖像法

由于滑塊在每塊木板上都做勻減速運(yùn)動(dòng)，在保證相同的初速度下，且每塊木板上滑行的位移相同，則末速度必然相同，可畫出圖2(a)、(b)對(duì)應(yīng)的v-t圖，如圖2(c).

根據(jù)v-t圖可知，按圖2(a)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間ta較圖2(b)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tb要短．

圖2

(2)平均速度法

設(shè)物體滑到中點(diǎn)的速度為v，則其從左端滑到右端，有

t=t1+t2

根據(jù)以上兩式可知：要想使物體在物塊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，必須保證小物體運(yùn)動(dòng)到中間的速度較大；故圖2(a)較圖2(b)方式的時(shí)間要短．

通過以上兩種方法都可以確定先滑過光滑面，后滑過粗糙面的時(shí)間較短．同時(shí)可以推廣到3塊木板很容易分析得出結(jié)論：依次滑過甲、乙、丙的時(shí)間最短，選項(xiàng)A正確．

2 推廣到在多塊木塊的減速運(yùn)動(dòng)

在分析之前不妨先來看一個(gè)相關(guān)問題.

【例2】如圖3，一個(gè)木塊滑上一個(gè)粗糙程度不均勻的固定水平木板，如果木板從A端至B端與滑塊的動(dòng)摩擦因數(shù)連續(xù)增大．試判斷滑塊從哪一端滑上木板的時(shí)間較短？

圖3

解析：設(shè)物體的初速度為v0，末速度為vt，摩擦力做功為Wf.

根據(jù)動(dòng)能定理可得

經(jīng)分析木塊從甲端滑至B端和木塊從B端滑至甲端，摩擦力做功相同，由上式可以得出，木塊的末速度vt也相同，其運(yùn)動(dòng)的v-t圖如圖4所示．顯而易見，tAB

圖4

如果滑塊與木板間各處的動(dòng)摩擦因數(shù)不同，而木板可以無限分割并且可以任意拼接，當(dāng)木板按照動(dòng)摩擦因數(shù)從小到大的順序排列時(shí)，滑塊在木板上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是最短時(shí)間嗎？

構(gòu)造模型：如圖5所示，一個(gè)可視作質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1的物塊，滑上一個(gè)粗糙程度不同的木板．

圖5

問題分析：假設(shè)將AB之間粗糙水平面分成n段，其速度分別記作v1，v2，…，vj，vj+1，…，vn，vn+1，在可以看成相等很小位移Δl的動(dòng)摩擦因數(shù)分別記作μ1，μ2，…，μj，μj+1，…，μn-1，μn，設(shè){μn}為任意排列．

現(xiàn)將其中任意一段當(dāng)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)來處理，可以列出方程組

將以上各方程組累加可得

對(duì)于其中任意一段Δl的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

所以，滑塊從A端滑到B端的總時(shí)間

μ1<μ2<…<μn-1<μn

μ1>μ2>…>μn-1>μn

探究結(jié)論：一個(gè)物體從光滑端向粗糙端滑行的時(shí)間最短，從粗糙端向光滑端滑行的時(shí)間最長(zhǎng)．

現(xiàn)在，再來看物塊滑過3個(gè)木板按甲、乙、丙拼接，小物體滑過3塊木板所用的時(shí)間最短；物塊滑過3個(gè)木板按丙、乙、甲拼接，小物體滑過3塊木板所用的時(shí)間最長(zhǎng)就顯而易見了．