摘要：構(gòu)建一類含交易費(fèi)的約束多目標(biāo)非線性投資組合優(yōu)化模型，已有的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法直接求解極其困難，故從智能優(yōu)化的角度設(shè)計(jì)了一種提高的進(jìn)化算法(INSGAII)，算法中進(jìn)化群體分離為可行群與非可行群，兩種群體中的父體經(jīng)由相互交叉獲多樣性的子體，修正算子對(duì)非可行個(gè)體修復(fù)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，基本遺傳算法(GA)及線性規(guī)劃法（LP）被用于與該算法比較，結(jié)果表明該算法能獲得較均勻的Pareto面，收斂性較好。

關(guān)鍵詞：投資組合模型；非線性規(guī)劃；多目標(biāo)優(yōu)化；進(jìn)化算法

中圖分類號(hào)：NF945.12 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ文章編號(hào)：１６７３－２９１Ｘ（２０11）08－０277－02

引言

投資組合就是如何配置各種有價(jià)證券的頭寸來(lái)最好地符合投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡。Markowitz利用證劵收益的方差度量風(fēng)險(xiǎn)提出了M-V模型。該模型要求效用函數(shù)是二次的或者收益滿足正態(tài)分布，故在實(shí)際應(yīng)用中受到較多限制，若問(wèn)題規(guī)模較大，則需要解決一個(gè)帶有稠密協(xié)方差矩陣的二次規(guī)劃問(wèn)題，這給問(wèn)題的求解帶來(lái)高度的復(fù)雜性。

繼Markowitz之后，大量的模型及求解算法被提出[1]。2008年，Dellino等[2]基于遺傳算法設(shè)計(jì)出一種動(dòng)態(tài)目標(biāo)聚集算法求解投資組合優(yōu)化模型；Kawakami等[3]以信息率為目標(biāo)函數(shù)建立了動(dòng)態(tài)資產(chǎn)投資組合模型，并利用遺傳算法求解。

綜上，大量的投資組合優(yōu)化模型及算法被提出。然而，在實(shí)踐中，投資者頻繁地進(jìn)行交易，交易費(fèi)對(duì)收益的影響也是投資者不容忽視的問(wèn)題。已有的求解方法主要是固定風(fēng)險(xiǎn)或效益使效益最大或風(fēng)險(xiǎn)最小，需經(jīng)過(guò)多次迭代才能獲得不同要求下的最優(yōu)投資組合。本文主要針對(duì)含交易費(fèi)的投資組合模型，從智能優(yōu)化角度設(shè)計(jì)求解算法直接對(duì)模型求解。

一、投資組合模型

假設(shè)有n種資產(chǎn)可供投資，現(xiàn)用數(shù)額為M的資金作一個(gè)時(shí)期的投資，投資過(guò)程中存在一定的風(fēng)險(xiǎn)，總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量。假設(shè)購(gòu)買資產(chǎn)時(shí)要付一定的交易費(fèi)，當(dāng)項(xiàng)目i投資額不超過(guò)給定值時(shí)，交易費(fèi)按投資額計(jì)算，另外，假定存入銀行存款利率為定值。建立如下多目標(biāo)投資組合模型（POM）[4]。

（x）＝（xrM－T）＝xqM

s.t 0≤x≤1

0≤x≤1，i＝1，2，……n

其中Ti0x＝0μp0＜xM≤μ（xM）p xM＞u

為資產(chǎn)i交易費(fèi)，x＝（x1，x2，……，xn）T∈Rn為投資權(quán)重向量，μ、p、r、q分別表資產(chǎn)i的投資定額、交易率、平均收益率和風(fēng)險(xiǎn)損失率。

二、求解算法

K. Deb提出了NSGAII解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，該算法已廣泛應(yīng)用于求解各類多目標(biāo)數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題，但其設(shè)計(jì)時(shí)只是針對(duì)無(wú)約束的多目標(biāo)優(yōu)化模型。在此，基于NSGAII給予改進(jìn)使其適合該模型的求解，獲得一種提高的多目標(biāo)約束進(jìn)化算法（INSGAII） 用于模型POM的求解。

設(shè)最大迭代數(shù)為N，當(dāng)前代數(shù)為k， 算法步驟描述為：

Step1： 隨機(jī)產(chǎn)生初始可行個(gè)體群A （|A|=P）及外部集S（S=Φ），置初始代數(shù)k=1；

Step2： 若k≤N，則輸出結(jié)果，算法結(jié)束；否則，進(jìn)入Step3；

Step3： 群體A經(jīng)由Pareto非控關(guān)系獲Pareto個(gè)體集S，若|S|≥S0，則利用濃度抑制刪去冗余的|S|-S0個(gè)個(gè)體；否則，轉(zhuǎn)入Step4。并獲可行群B及非可行群C；

Step4： 可行群B與非可行群C經(jīng)交叉，獲群體D；

Step5： 群體D經(jīng)突變獲群體E，并對(duì)E中非可行個(gè)體修正，獲群體F；

Step6： 置k←k+1，A←F，轉(zhuǎn)入Step2。

三、數(shù)值仿真

根據(jù)初始樣本空間中投資項(xiàng)目數(shù)定義染色體（個(gè)體）的長(zhǎng)度，染色體上每一基因代表一個(gè)項(xiàng)目，基因的數(shù)值表示投資比例，一個(gè)個(gè)體x＝（x1，x2，……，xn）∈Rn代表一種投資組合。采用數(shù)術(shù)交叉和多項(xiàng)式變異策略，對(duì)不可行的個(gè)體進(jìn)行修正使其可行[5]。

現(xiàn)設(shè)有5種投資項(xiàng)目供選擇，總投資金額M設(shè)為1，各自的交易率、收益率等信息詳見(jiàn)表1，其中S1為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

線性規(guī)劃[4]（LP）、GA和INSGAII應(yīng)用于算例求解分析，兩種進(jìn)化算法的最大迭代數(shù)N=200，交叉概率為0.8，變異概率為1/n，群體規(guī)模P=100，GA利用權(quán)重系數(shù)法將模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)求解。

由于交易費(fèi)是分段函數(shù)，已有的LP方法無(wú)法直接求解，在此首先不考慮交易費(fèi)為分段函數(shù)，直接設(shè)為線性函數(shù)Ti＝（xiM）pi獲得如圖1和表2比較結(jié)果。若交易費(fèi)為分段函數(shù)，獲圖2比較結(jié)果，此時(shí)LP無(wú)法獲得Pareto面，故未畫出。

圖1中“-”為利用Matlab軟件，在風(fēng)險(xiǎn)固定的情況下算法LP所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto面，雖然能得到較好的收益率，但由于該方法通過(guò)固定風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，故需經(jīng)過(guò)不同的固定風(fēng)險(xiǎn)才能獲得不同的最大收益，算法需經(jīng)過(guò)多次運(yùn)算。而GA在風(fēng)險(xiǎn)較小時(shí)能獲得較好的收益，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)稍大時(shí)，對(duì)收益率的收索較困難。INSGAII通過(guò)一次循環(huán)即可得出多組風(fēng)險(xiǎn)——收益Pareto面，而且由圖獲知收索效果較好，速度快捷。表2為各算法在獲相同的風(fēng)險(xiǎn)——收益點(diǎn)對(duì)下所需的平均時(shí)間，可見(jiàn)LP及GA所需的時(shí)間較長(zhǎng)。特別，在交易函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)LP無(wú)法獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto面（圖2），故未能描繪，而與GA比較易知，GA獲點(diǎn)較少，且收斂性較差，而INSGAII獲得pareto面較均勻，效果較好。

四、結(jié)論及進(jìn)一步研究

在交易費(fèi)為線性函數(shù)時(shí)，INSGAII較其他兩算法獲較均勻的pareto面；在交易費(fèi)為分段函數(shù)時(shí)，算法LP便無(wú)法獲得風(fēng)險(xiǎn)-收益點(diǎn)對(duì)，而GA所獲效果劣于INSGAII。對(duì)于INSGA在資產(chǎn)數(shù)量較大的情況的性能有待于進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] H. Konno， H. Yamazaki. Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to Tokyo stock marcher[J]. Management Science. 1991，37（5）：519-531.

[2] G. Dellino， M. Fedele， C..Meloni. DOAM for Evolutionary Portfolio Optimization： a computational study[J]. New economics paper， 2008：253-266.

[3] A. Kawakami， Y. Orito， M. Inoguchi. Dynamic Asset Portfolio Optimization by Using Genetic Algorithm[C]. IEEE. Transactions on Electronics， Information and Systems， 2009，129（7）：1348-1355.

[4] 趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 莊中文，錢淑渠.抗體修正免疫算法對(duì)高維0/1背包問(wèn)題的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2009，26（8）：2921-2930.