【摘要】筆者在近幾年對(duì)平面幾何的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，蘇科版八下數(shù)學(xué)“圖形的證明”這一章安排在這里感覺(jué)不太合適，本文通過(guò)對(duì)新教材的分析、解讀提出一點(diǎn)小小的見(jiàn)解。

【關(guān)鍵詞】基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；命題形式；命題結(jié)構(gòu)

我國(guó)著名基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家楊樂(lè)院士指出，現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在平面幾何知識(shí)缺失的現(xiàn)象，許多地方在編寫(xiě)教材時(shí)，認(rèn)為平面幾何古老，不符合現(xiàn)代化和實(shí)用性，大幅減少相關(guān)內(nèi)容。不學(xué)習(xí)平面幾何，有些同學(xué)中學(xué)畢業(yè)后還不知道如何完整證明一道命題。楊樂(lè)為現(xiàn)在中學(xué)平面幾何的教學(xué)缺失感到憂(yōu)慮：“平面幾何培養(yǎng)人的直觀想象力、分析與證明能力，很難用其他課程替代?！碑?dāng)我讀到上面這段話的時(shí)候我感慨頗深。本人在初中數(shù)學(xué)這門(mén)課程的教學(xué)中深知平面幾何說(shuō)理的重要性。新教材把“圖形的證明”中11.2說(shuō)理安排八年級(jí)下冊(cè)，對(duì)初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何推理知識(shí)有點(diǎn)稍后，若安排在七年級(jí)我覺(jué)得幫助大些，如能對(duì)“命題”這節(jié)知識(shí)的應(yīng)用再系統(tǒng)性些，則對(duì)初中學(xué)生的幾何入門(mén)學(xué)習(xí)效果會(huì)更好。一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性如何確認(rèn)呢？人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行的證明的研究已有2000多年的歷史了。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得寫(xiě)出來(lái)舉世聞名的巨著《原本》。在這本書(shū)中，他挑選了一些基本定義和基本事實(shí)作為證實(shí)其它命題的出發(fā)點(diǎn)，推到出400多條定理，《原本》構(gòu)建了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)公理系統(tǒng)，開(kāi)創(chuàng)了科學(xué)理論系統(tǒng)的先河。他不僅對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響超過(guò)了同時(shí)代任何其它的書(shū)，而且對(duì)科學(xué)和文化的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響?！对尽纷鳛檎n本被人們推崇2000多年，是人類(lèi)歷史上所沒(méi)有的。我們的教材來(lái)源于《原本》，下面是我對(duì)這一節(jié)知識(shí)的淺薄的看法。

一、命題的形式“籠統(tǒng)”

判斷一件事情的句子叫做命題。例如，（1）等角的余角相等；（2）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；（4）兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。上面四個(gè)句子都是命題，通常講的判斷句中含有“是”、“叫做”等詞時(shí)一般認(rèn)為是命題。但像祈使句、疑問(wèn)句等都不是命題：如，形狀相同的三角形是全等三角形嗎？過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線。命題的形式常見(jiàn)有①如果…那么…，如（2）；②…如果…那么…，如（3）；③沒(méi)有“如果…那么…”字樣的三種類(lèi)型，如（1）。教材中沒(méi)有對(duì)命題進(jìn)行形式上有一種分類(lèi)，這讓初學(xué)者對(duì)所見(jiàn)到的命題沒(méi)有直觀感覺(jué)，感到有點(diǎn)混亂，對(duì)下一步證明的學(xué)習(xí)缺少條理性。

二、命題的結(jié)構(gòu)“模糊”

每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。例如如

對(duì)命題進(jìn)行如上表結(jié)構(gòu)分析，那么不難對(duì)命題中的形式①、②的條件和結(jié)論把握準(zhǔn)確到位，只是形式③的結(jié)構(gòu)不好找出，要進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)整改，這是對(duì)平面幾何說(shuō)理的基礎(chǔ)分析，對(duì)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)的有效把握，對(duì)下一步的證明命題過(guò)程進(jìn)行自然過(guò)渡。本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)就是形式③沒(méi)有“如果…那么…”字樣命題的研究。

三、命題的改寫(xiě)“隱身”

教材中對(duì)命題的改寫(xiě)這部分內(nèi)容沒(méi)有涉及，可能編委認(rèn)為沒(méi)必要，我卻認(rèn)為這個(gè)知識(shí)點(diǎn)恰恰是教學(xué)的難點(diǎn)，如果這一知識(shí)點(diǎn)老師一帶而過(guò)，那么學(xué)生就會(huì)模模糊糊的一笑而過(guò)，留下的只是感覺(jué)上的所謂輕松，實(shí)質(zhì)上的空白。怎樣才能對(duì)這節(jié)知識(shí)掌握清晰明了呢，就要對(duì)難于理解的簡(jiǎn)潔命題進(jìn)行形式結(jié)構(gòu)再改造。如“對(duì)頂角相等”這個(gè)命題，條件和結(jié)論不明顯，學(xué)生可能把這個(gè)命題分成“對(duì)頂角”和“相等”兩部分，認(rèn)為這個(gè)命題的條件是“對(duì)頂角”這個(gè)命題的結(jié)論是“相等”。實(shí)際上，“兩個(gè)角是對(duì)頂角”，“這兩個(gè)角相等”是結(jié)論。前一種表述中，條件和結(jié)論都不是完整的句子，即都不是命題，而后一種表述清楚準(zhǔn)確。為什么會(huì)出現(xiàn)這種觀點(diǎn)？因?yàn)閿?shù)學(xué)課本中很多命題的簡(jiǎn)潔形式不容易判斷出他們的結(jié)構(gòu)。即找不準(zhǔn)這個(gè)命題的條件和結(jié)論。那么會(huì)對(duì)下一步證明過(guò)程帶來(lái)障礙。如何在教學(xué)時(shí)讓學(xué)生對(duì)這類(lèi)沒(méi)有如果…那么…形式簡(jiǎn)化的命題作出正確的判斷，要訣是結(jié)合證明的一般步驟。（1）根據(jù)命題，畫(huà)出圖形。（2）根據(jù)命題，結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證；已知部分是已知事項(xiàng)（即命題的條件），求證部分是論證的事項(xiàng)（即命題的結(jié)論）。（3）寫(xiě)出證明的過(guò)程。

比較上面對(duì)同一個(gè)命題的兩種改寫(xiě)成“如果…那么…”形式，可見(jiàn)兩種改寫(xiě)都正確，前一種受大多數(shù)同學(xué)的青睞，后一種少有人這樣寫(xiě)，最終我們要選擇哪一種改寫(xiě)形式作為我們要證明的選擇呢？當(dāng)然是后者，因?yàn)榍罢咭阎兄怀霈F(xiàn)兩個(gè)相等的角，沒(méi)有出現(xiàn)這兩個(gè)相等角的補(bǔ)角，則求證中無(wú)法寫(xiě)出證明的全過(guò)程，而后者的改寫(xiě)，則完全具備了證明的已知；∠1、∠2，∠3、∠4之間的關(guān)系，而結(jié)論就是要證明∠3=∠4，完全具備證明的要求?？梢?jiàn)要判斷一個(gè)命題的條件（“如果”部分）結(jié)論（“那么”部分），要牢牢結(jié)合證明過(guò)程中的三個(gè)步驟，做到合情推理，感受推理的重要性。因?yàn)槿祟?lèi)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造往往發(fā)端于合情推理。所以本節(jié)的命題的條件和結(jié)論的判斷要依賴(lài)于命題的證明過(guò)程，而這點(diǎn)恰恰是學(xué)生和教師容易忽略的地方，教材理應(yīng)突出體現(xiàn)這個(gè)難點(diǎn)，這樣更能協(xié)調(diào)發(fā)展學(xué)生的推理能力。

（作者單位：江蘇省邳州市紅旗中學(xué)）