于雙紅, 何國(guó)龍
(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)
求解非線性方程是數(shù)值計(jì)算中一個(gè)非常重要的問(wèn)題,本文考慮求解非線性方程f(x)=0單根的迭代法,其中f:D?R→R是一個(gè)單值非線性函數(shù),D為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)開(kāi)區(qū)間.
2階收斂的牛頓法是解非線性方程最重要也是最基礎(chǔ)的方法之一,其效率指數(shù)為1.414,迭代格式為
近年來(lái),為更快、更精確地求得非線性方程的近似解,在牛頓法的基礎(chǔ)上作了一系列的改進(jìn),得到一些著名的方法.例如 Jarratt方法[1-2]、Chebyshev-Halley 方法[3]和 Ostrowski方法[4-11].4 階收斂的 Ostrows-ki方法要求計(jì)算2個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值,其效率指數(shù)為1.587,迭代格式為
文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]分別得到一類收斂階為6的Ostrowski改進(jìn)方法,其效率指數(shù)為1.565,迭代格式分別為:
和
文獻(xiàn)[7]提出了一類收斂階為7的改進(jìn)的Ostrowski方法,效率指數(shù)為1.627,迭代格式為
文獻(xiàn)[8]提出了收斂階為8的改進(jìn)的Ostrowski方法,其效率指數(shù)為1.682,迭代格式為
文獻(xiàn)[10]提出了收斂階為8的改進(jìn)的Ostrowski方法,迭代格式為
文獻(xiàn)[11]也提出了收斂階為8的改進(jìn)方法,迭代格式為
本文提出的一類新的改進(jìn)Ostrowski方法,每一步迭代只需求3個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值,并從理論上、試驗(yàn)中證明新方法的收斂階為8.
定義1[12]設(shè)α是充分光滑函數(shù) f:D?R→R的單根,D是開(kāi)區(qū)間,并假設(shè)迭代序列{xn}(n=0,1,2,…)收斂于 α,且存在p≥1及常數(shù)C>0,使得當(dāng) k≥k0時(shí),‖xn+1-α‖≤C‖xn-α‖p,則稱序列{xn}至少p階收斂,稱C為漸進(jìn)誤差常數(shù).當(dāng)p=1,0<α<1時(shí),稱序列{xn}至少線性收斂;當(dāng)p=2,α>0時(shí),稱序列{xn}為至少平方收斂.設(shè)en=xn-α,則稱關(guān)系式en+1=Cepn+O(ep+1n)為誤差方程,稱p為收斂階.
定義2[12]若一個(gè)收斂于α的序列{xi}i∈N的收斂階為p,每迭代一步的工作量為w,則稱e=p1/w為效率指數(shù).
定義3[12]設(shè) xn+1,xn,xn-1(n=1,2,…)是根 α 附近的3個(gè)連續(xù)的迭代值,則收斂階近似地表示為
本文主要考慮如下迭代式:
式(3)中:
定理1 設(shè)函數(shù)f:D?R→R有單根α∈D,D為開(kāi)區(qū)間,f(xn)在α附近足夠光滑,W(t,s)是滿足W(0,0)=1,Wt(0,0)=1,Ws(0,0)=0,|Wtt(0,0)|<∞,|Wts(0,0)|=|Wst(0,0)|< ∞,|Wss(0,0)|<∞的實(shí)函數(shù),則由式(3)和式(4)定義的迭代方法的收斂階為8.
經(jīng)Maple計(jì)算得
將f(yn)在α處泰勒展開(kāi),得
由式(5)~式(8)得
則
因而
由式(10)~式(13)可得
即
定理1證畢.
由定理1,可以將式(3)進(jìn)一步一般化,得到迭代式
式(15)中,λn,vn的意義與式(4)相同.
定理2 設(shè)函數(shù)f:D?R→R有單根α∈D,D為開(kāi)區(qū)間,f(xn)在α附近足夠光滑,H(u)是滿足H(0)=0,H'(0)=1,H"(0)=4,H(3)(0)=24 的實(shí)函數(shù),W(t,s)是滿足 W(0,0)=1,Wt(0,0)=1,Ws(0,0)=0,|Wtt(0,0)|<∞,|Wts(0,0)|=|Wst(0,0)|< ∞,|Wss(0,0)|< ∞ 的實(shí)函數(shù),則由式(15)定義的迭代方法的收斂階為8.
證明 將H(vn)在0處泰勒展開(kāi),得
則
將式(9)代入式(17)得
化簡(jiǎn)式(18)得
令 H(0)=0,H'(0)=1,H"(0)=4,則 zn= α +LX.其中
因此
由式(9)、式(20)和式(21)可得
其中:
令 γ1=0,γ2=0,γ3=0,γ4=0,則
定理2證畢.
例 1 取 W(t,s):=1+t+ αts,則
式(23)中,α∈R.誤差方程為
式(24)中,α∈R.誤差方程為27234589
誤差方程為
由式(3)、式(4)和式(15)定義的方法每一步迭代需要計(jì)算3個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值,根據(jù)定義2,新定義的迭代方法的效率指數(shù)是81/4≈1.682,均高于Ostrowski方法的效率指數(shù)41/3≈1.587,6階改進(jìn)方法[4-6]的效率指數(shù)61/4≈1.565 及7 階的改進(jìn)方法[7]效率指數(shù)71/4≈1.627.
下面將通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)比較各方法的差異.考慮式(1)、式(2)和式(23)~式(25)5種8階迭代法(α=1,β=1),所有的計(jì)算均在800位精度Maple 14下進(jìn)行操作,被測(cè)函數(shù)在不同的方法中均迭代3次后得到的xn-α和|fi(xn)|及COC如表1所示.選擇的被測(cè)函數(shù)為:
表1 迭代3次得到的xn-α和|fi(xn)|及COC
從表1可以看出,在相同的計(jì)算量、相同的界下,本文提出的方法是有效的.
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