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        一類改進(jìn)的Ostrowski方法*

        2011-12-17 09:41:58于雙紅何國(guó)龍
        關(guān)鍵詞:開(kāi)區(qū)間單根定義

        于雙紅, 何國(guó)龍

        (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

        0 引言

        求解非線性方程是數(shù)值計(jì)算中一個(gè)非常重要的問(wèn)題,本文考慮求解非線性方程f(x)=0單根的迭代法,其中f:D?R→R是一個(gè)單值非線性函數(shù),D為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)開(kāi)區(qū)間.

        2階收斂的牛頓法是解非線性方程最重要也是最基礎(chǔ)的方法之一,其效率指數(shù)為1.414,迭代格式為

        近年來(lái),為更快、更精確地求得非線性方程的近似解,在牛頓法的基礎(chǔ)上作了一系列的改進(jìn),得到一些著名的方法.例如 Jarratt方法[1-2]、Chebyshev-Halley 方法[3]和 Ostrowski方法[4-11].4 階收斂的 Ostrows-ki方法要求計(jì)算2個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值,其效率指數(shù)為1.587,迭代格式為

        文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]分別得到一類收斂階為6的Ostrowski改進(jìn)方法,其效率指數(shù)為1.565,迭代格式分別為:

        文獻(xiàn)[7]提出了一類收斂階為7的改進(jìn)的Ostrowski方法,效率指數(shù)為1.627,迭代格式為

        文獻(xiàn)[8]提出了收斂階為8的改進(jìn)的Ostrowski方法,其效率指數(shù)為1.682,迭代格式為

        文獻(xiàn)[10]提出了收斂階為8的改進(jìn)的Ostrowski方法,迭代格式為

        文獻(xiàn)[11]也提出了收斂階為8的改進(jìn)方法,迭代格式為

        本文提出的一類新的改進(jìn)Ostrowski方法,每一步迭代只需求3個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值,并從理論上、試驗(yàn)中證明新方法的收斂階為8.

        1 相關(guān)概念

        定義1[12]設(shè)α是充分光滑函數(shù) f:D?R→R的單根,D是開(kāi)區(qū)間,并假設(shè)迭代序列{xn}(n=0,1,2,…)收斂于 α,且存在p≥1及常數(shù)C>0,使得當(dāng) k≥k0時(shí),‖xn+1-α‖≤C‖xn-α‖p,則稱序列{xn}至少p階收斂,稱C為漸進(jìn)誤差常數(shù).當(dāng)p=1,0<α<1時(shí),稱序列{xn}至少線性收斂;當(dāng)p=2,α>0時(shí),稱序列{xn}為至少平方收斂.設(shè)en=xn-α,則稱關(guān)系式en+1=Cepn+O(ep+1n)為誤差方程,稱p為收斂階.

        定義2[12]若一個(gè)收斂于α的序列{xi}i∈N的收斂階為p,每迭代一步的工作量為w,則稱e=p1/w為效率指數(shù).

        定義3[12]設(shè) xn+1,xn,xn-1(n=1,2,…)是根 α 附近的3個(gè)連續(xù)的迭代值,則收斂階近似地表示為

        2 主要結(jié)果

        本文主要考慮如下迭代式:

        式(3)中:

        定理1 設(shè)函數(shù)f:D?R→R有單根α∈D,D為開(kāi)區(qū)間,f(xn)在α附近足夠光滑,W(t,s)是滿足W(0,0)=1,Wt(0,0)=1,Ws(0,0)=0,|Wtt(0,0)|<∞,|Wts(0,0)|=|Wst(0,0)|< ∞,|Wss(0,0)|<∞的實(shí)函數(shù),則由式(3)和式(4)定義的迭代方法的收斂階為8.

        經(jīng)Maple計(jì)算得

        將f(yn)在α處泰勒展開(kāi),得

        由式(5)~式(8)得

        因而

        由式(10)~式(13)可得

        定理1證畢.

        由定理1,可以將式(3)進(jìn)一步一般化,得到迭代式

        式(15)中,λn,vn的意義與式(4)相同.

        定理2 設(shè)函數(shù)f:D?R→R有單根α∈D,D為開(kāi)區(qū)間,f(xn)在α附近足夠光滑,H(u)是滿足H(0)=0,H'(0)=1,H"(0)=4,H(3)(0)=24 的實(shí)函數(shù),W(t,s)是滿足 W(0,0)=1,Wt(0,0)=1,Ws(0,0)=0,|Wtt(0,0)|<∞,|Wts(0,0)|=|Wst(0,0)|< ∞,|Wss(0,0)|< ∞ 的實(shí)函數(shù),則由式(15)定義的迭代方法的收斂階為8.

        證明 將H(vn)在0處泰勒展開(kāi),得

        將式(9)代入式(17)得

        化簡(jiǎn)式(18)得

        令 H(0)=0,H'(0)=1,H"(0)=4,則 zn= α +LX.其中

        因此

        由式(9)、式(20)和式(21)可得

        其中:

        令 γ1=0,γ2=0,γ3=0,γ4=0,則

        定理2證畢.

        例 1 取 W(t,s):=1+t+ αts,則

        式(23)中,α∈R.誤差方程為

        式(24)中,α∈R.誤差方程為27234589

        誤差方程為

        由式(3)、式(4)和式(15)定義的方法每一步迭代需要計(jì)算3個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值,根據(jù)定義2,新定義的迭代方法的效率指數(shù)是81/4≈1.682,均高于Ostrowski方法的效率指數(shù)41/3≈1.587,6階改進(jìn)方法[4-6]的效率指數(shù)61/4≈1.565 及7 階的改進(jìn)方法[7]效率指數(shù)71/4≈1.627.

        3 數(shù)值試驗(yàn)

        下面將通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)比較各方法的差異.考慮式(1)、式(2)和式(23)~式(25)5種8階迭代法(α=1,β=1),所有的計(jì)算均在800位精度Maple 14下進(jìn)行操作,被測(cè)函數(shù)在不同的方法中均迭代3次后得到的xn-α和|fi(xn)|及COC如表1所示.選擇的被測(cè)函數(shù)為:

        表1 迭代3次得到的xn-α和|fi(xn)|及COC

        從表1可以看出,在相同的計(jì)算量、相同的界下,本文提出的方法是有效的.

        [1]Kou J S,Li Y T.An improvement of the Jarratt method[J].Applied Mathematics and Computation,2007,189(2):1816-1821.

        [2]Ren Hongmin,Wu Qingbiao,Bi Weihong.New variants of Jarratt's method with sixth-order convergence[J].Numer Algor,2009,52(4):585-603.

        [3]Li Yaotang,Zhang Peiyuan,Li Yanyan.Some new variants of Chebyshev-Halley methods free from second derivative[J].International Journal of Nonlinear Science,2010,9(2):201-206.

        [4]Miquel G,José Luis D B.An improvement to Ostrowski root-finding method[J].Applied Mathematics and Computation,2006,173(1):450-456.

        [5]Sharma J R,Guha R K.A family of modified Ostrowski methods with accelerated sixth-order convergence[J].Applied Mathematics and Computation,2007,190(1):111-115.

        [6]Changbum C,Yoonmee H.Some sixth-order variants of Ostrowski root-finding methods[J].Applied Mathematics and Computation,2007,193(2):389-394.

        [7]Kou Jisheng,Li Yitian,Wang Xiuhua.Some variants of Ostrowski's method with seventh-order convergence[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2007,209(2):153-159.

        [8]Kou Jisheng,Wang Xiuhua.Some improvements of Ostrowski's method[J].Applied Mathematics Letters,2010,23(1):92-96.

        [9]Kou Jisheng.Some new root-finding methods with eighth-order convergence[J].Sci Math Roumanie Tome,2010,53(2):133-143.

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        [11]Sharma J R,Sharma J N.A new family of modified Ostrowski's methods with accelerated eighth order convergence[J].Numer Algor,2010,54:445-458.

        [12]Burden R L,F(xiàn)aires J D,Reynolds A C.Numerical analysis[M].Boston:Prindle,Weber Schmidt,1981.

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