文 軍
(渭南師范學(xué)院物理與電子工程系,陜西渭南 714000)
在半導(dǎo)體物理研究的基礎(chǔ)上,1969年Esaki和Tsu[1]提出了超晶格量子阱(superlattice quantumwell)的概念.他們?cè)O(shè)想用2種晶格常數(shù)相近的半導(dǎo)體材料A和B交替地生長(zhǎng)周期性結(jié)構(gòu)的多層薄膜,且薄膜層厚度的周期小于電子的平均自由程,這種由人工設(shè)計(jì)的交替生長(zhǎng)的多層薄膜稱為超晶格.超晶格中,電子沿多層膜生長(zhǎng)方向在大尺度范圍出現(xiàn)了新的量子化運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象稱為超晶格量子阱.超晶格量子阱現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和概念的提出以及材料生長(zhǎng)技術(shù)工藝的創(chuàng)新,開(kāi)辟了人工設(shè)計(jì)與制作晶體結(jié)構(gòu)的新途徑,改變了半導(dǎo)體器件的設(shè)計(jì)思想.由此設(shè)計(jì)制作的一代新型半導(dǎo)體器件,其線度接近了電子或其他粒子量子化運(yùn)動(dòng)的微觀尺度,具有用常規(guī)器件所不具備的優(yōu)異特性,顯示出許多全新的物理圖像,使半導(dǎo)體光電材料的設(shè)計(jì)和制造從“雜質(zhì)工程”發(fā)展到“能帶工程”.
超晶格能帶形成的根本原因是周期性量子阱相互作用的結(jié)果.不同的半導(dǎo)體材料具有不同的能帶結(jié)構(gòu),當(dāng)它們組成超晶格時(shí),在2種晶體材料的交界處就出現(xiàn)了能帶失調(diào)現(xiàn)象.2種不同能帶結(jié)構(gòu)材料的禁帶、導(dǎo)帶、價(jià)帶的交錯(cuò),當(dāng)電子處于材料A的價(jià)帶或?qū)е袝r(shí),在材料的生長(zhǎng)方向上,材料B的能隙(禁帶)就形成了一個(gè)勢(shì)壘.2個(gè)相鄰勢(shì)壘之間是材料A的勢(shì)阱,2個(gè)相鄰勢(shì)阱之間是材料B的勢(shì)壘,具體見(jiàn)圖1.這種“勢(shì)壘-勢(shì)阱”結(jié)構(gòu)是超晶格能帶結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特性,由于超晶格能帶結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,人們采用理想化模型,如拋物型勢(shì)阱、三角勢(shì)阱、雙三角勢(shì)阱、正切平方勢(shì)阱等,分別討論和模擬計(jì)算了超晶格量子阱的能級(jí)結(jié)構(gòu)、透射率、折射率等問(wèn)題,得到能夠近似說(shuō)明超晶格量子阱的光電特性的結(jié)果[2-9].文獻(xiàn)[8]討論了電場(chǎng)作用下半拋物量子阱中束縛態(tài)的能級(jí)結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)隨著電場(chǎng)強(qiáng)度的增大,束縛態(tài)的能量幾乎線性地下降,相鄰能級(jí)間隔則減?。墨I(xiàn)[9]指出量子阱中的能級(jí)在電場(chǎng)作用下發(fā)生了移動(dòng).本文采用理想方勢(shì)阱模型,在有效質(zhì)量近似下,研究了施加電場(chǎng)作用的超晶格中單量子阱束縛態(tài)的能級(jí)結(jié)構(gòu)和電子態(tài)密度,得到了單量子阱體系的本征能量與本征函數(shù)的表達(dá)式,表明處于電場(chǎng)中的超晶格量子阱能級(jí)向低能方向移動(dòng),施加電場(chǎng)不影響超晶格量子阱子能帶的電子態(tài)密度.
圖1 超晶格的結(jié)構(gòu)
超晶格量子阱中的載流子在二維空間中自由運(yùn)動(dòng),在量子阱生長(zhǎng)方向上的運(yùn)動(dòng)受到限制.采用有效質(zhì)量近似,將晶格周期勢(shì)對(duì)電子的作用歸并到電子質(zhì)量中去[10],導(dǎo)帶底附近的電子(或價(jià)帶頂?shù)目昭?滿足單粒子阱薛定諤方程
式(1)中:m*是電子(空穴)的有效質(zhì)量;U(z)是超晶格生長(zhǎng)方向(z方向)的有效勢(shì).電子(空穴)在x-y平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng),在z方向受到有效勢(shì)U(z)的束縛.電子(空穴)在x-y平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)模擬為理想界面,則電子(空穴)波函數(shù)Ψ(r)為
Ψ(r)代入式(1),得到電子(空穴)在x-y平面和z方向運(yùn)動(dòng)滿足的薛定諤方程:
電子的運(yùn)動(dòng)在x-y平面內(nèi)為平面波,電子的總能量連續(xù),在波矢空間的等能量曲線是一個(gè)圓.
由于摻雜不同(摻雜超晶格)或組分不同(組分超晶格),超晶格能帶邊畸變,形成拋物形或直角形量子阱.只要超晶格量子阱的勢(shì)壘層足夠厚,量子阱之間的相互作用可以忽略,就可以把超晶格視為單量子阱的周期重復(fù),超晶格的整體行為可視為單個(gè)量子阱的線性疊加,而多量子阱的問(wèn)題就退化為單量子阱的問(wèn)題.組成超晶格量子阱的2種材料的禁帶寬度不同,材料B的禁帶大于材料A的禁帶,在兩材料交界處能帶突變,稱為帶階(band offset),材料A兩側(cè)導(dǎo)帶帶階的勢(shì)壘高度就是量子阱的阱深.例如典型的AlxGa1-xAs(材料 B)-GaAs(材料 A)-AlxGa1-xAs(材料 B)量子阱的導(dǎo)帶帶階為300 mV左右[11].對(duì)于單量子阱,由于勢(shì)阱兩邊的勢(shì)壘遠(yuǎn)高于阱中電子的能量E,電子將完全被束約在阱中,量子阱理想化為無(wú)限深勢(shì)阱[12].組分超晶格的有效勢(shì)U(z)取拋物形勢(shì)阱模型,摻雜超晶格有效勢(shì)U(z)取無(wú)限深勢(shì)阱模型.這里以摻雜超晶格模型為例討論,有效勢(shì)U(z)取無(wú)限深勢(shì)阱.
解式(4)得到電子(空穴)在單量子阱中的波函數(shù)和能級(jí)
式(7)~式(8)中,Lz為勢(shì)阱寬度,超晶格量子阱生長(zhǎng)方向能級(jí)不連續(xù).
沿量子阱生長(zhǎng)方向施加電場(chǎng)F,量子阱的勢(shì)能表示為
電子(空穴)在x-y平面內(nèi)仍為自由運(yùn)動(dòng),沿超晶格生長(zhǎng)方向的薛定諤方程為
在文獻(xiàn)[8]的討論中,施加的電場(chǎng)為107V/cm量級(jí);文獻(xiàn)[9]研究了電場(chǎng)作用下耦合量子阱和超晶格中的電子態(tài),電場(chǎng)強(qiáng)度大于105V/cm時(shí)為強(qiáng)電場(chǎng)作用;文獻(xiàn)[12]認(rèn)為量子阱中激子在強(qiáng)于105V/cm的外電場(chǎng)作用下不會(huì)被電離,量子阱依然具有強(qiáng)的限制作用.以此為判據(jù),當(dāng)外加電場(chǎng)強(qiáng)度小于105V/cm時(shí),外電場(chǎng)視為弱電場(chǎng),否則為強(qiáng)電場(chǎng).
弱電場(chǎng)中,eFz視為微擾,無(wú)微擾時(shí)的波函數(shù)和能級(jí)由式(7)、式(8)表示.弱電場(chǎng)微擾作用下,能量和波函數(shù)一級(jí)修正為:
式(12)中,
將式(7)代入式(11),求能量一級(jí)修正
式(7)代入式(12),求得波函數(shù)一級(jí)修正
由此得
超晶格量子阱的所有能級(jí)都具有相同的一級(jí)修正量值,在弱電場(chǎng)F作用下,能級(jí)線性地向低勢(shì)能方向移動(dòng).
超晶格量子阱生長(zhǎng)方向施加較強(qiáng)的電場(chǎng)F,電勢(shì)eFz已不能視為微擾,沿超晶格生長(zhǎng)方向的薛定諤方程仍為式(10),在動(dòng)量表象中,式(10)的第1式表示為
式(18)中,φ(p)是動(dòng)量表象中的波函數(shù).式(18)的解為
式(19)中,A是歸一化常數(shù).通過(guò)表象變換,將式(19)變到坐標(biāo)表象,有
式(20)中,右邊是以γ為變量的Airy函數(shù),C是歸一化常數(shù),其中:
圖2是Airy函數(shù)的圖像,由圖2可以看出,當(dāng)γ<0時(shí),A(-γ)呈衰減振蕩.當(dāng) γ0= - 2.338,γ1= - 4.087,γ2= - 5.520,γ3=-6.787,γ4= - 7.944,…等值時(shí),Airy 函數(shù)的值為零[13].波函數(shù)的邊界條件是Φ(γ)|z=0=0,即
由式(22)得到電子的本征能量為
式(26)中,γn是Airy函數(shù)的零點(diǎn).由于施加較強(qiáng)的電場(chǎng),相鄰量子阱間的相互作用可看成微擾,隨外加電場(chǎng)增大,量子阱能級(jí)非線性地向低能方向移動(dòng).
圖2 Airy函數(shù)
超晶格中電子在x-y平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng),在k空間的等能量曲線是一個(gè)圓,計(jì)及電子的自旋,在x-y平面內(nèi)單位面積上允許存在的態(tài)密度是常數(shù),即
電子的總能量為
式(28)中,Ezn是由式(16)或式(26)決定的量子阱生長(zhǎng)方向的量子化能量.量子化能量構(gòu)成了一系列子能帶(微帶),各個(gè)子能帶中電子的態(tài)密度相同.第n個(gè)子能帶的電子數(shù)為
式(29)中,f(E)是電子的費(fèi)米分布.將式(27)代入式(29),得
式(30)中:EF是費(fèi)米能:k是玻爾茲曼常數(shù).對(duì)于所有子能帶,超晶格量子阱中電子數(shù)為
電荷分布為
式(33)中,Φn(z)是和量子化能級(jí)對(duì)應(yīng)的波函數(shù).
實(shí)際的超晶格量子阱是周期性有限深勢(shì)阱.為了使討論問(wèn)題簡(jiǎn)單,采用了單量子阱近似和有效質(zhì)量近似,把直角形量子阱視為無(wú)限深勢(shì)阱,求得施加電場(chǎng)作用的超晶格量子阱的本征能量與本征函數(shù).在弱電場(chǎng)作用下,超晶格量子阱的所有能級(jí)都具有相同的一級(jí)修正量值,電子能級(jí)向勢(shì)能低的方向移動(dòng).在強(qiáng)電場(chǎng)作用下,相鄰量子阱間的相互作用能可看成微擾,超晶格量子阱的量子化能級(jí)非線性地向低能方向移動(dòng).文獻(xiàn)[8-9]表明超晶格量子阱的能級(jí)在外電場(chǎng)作用下能級(jí)向低能方向移動(dòng),這和本文討論的結(jié)果基本一致,表明施加電場(chǎng)作用對(duì)超晶格量子阱能級(jí)的影響,使超晶格能級(jí)發(fā)生移動(dòng),進(jìn)而影響超晶格量子化能級(jí)子能帶(微帶)大小,而不影響超晶格子能帶的電子態(tài)密度,電場(chǎng)在量子化能級(jí)基礎(chǔ)上產(chǎn)生了附加能量.
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