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        關(guān)于r次可加補數(shù)的一些復(fù)合函數(shù)的均值性質(zhì)*

        2011-12-17 09:42:08朱偉義
        關(guān)鍵詞:正整數(shù)實數(shù)均值

        金 晶, 朱偉義

        (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

        0 引言

        定義[10]設(shè)r≥2為任意給定的正整數(shù).一完全r次冪的最小非負(fù)整數(shù),則稱可加補數(shù),即

        1 預(yù)備知識

        首先給出一些主要結(jié)果證明中需要用到的引理.

        引理1[1]設(shè)k為給定的正整數(shù),則對任意的實數(shù)x>1,有漸近公式

        引理5 設(shè)h(n)為非負(fù)的算術(shù)函數(shù),且h(0)=0,給定正整數(shù)r≥2,則對任意實數(shù)x≥1,有漸近公式

        其中:

        引理5證畢.

        2 主要結(jié)果

        定理1 設(shè)k為給定的正整數(shù),則給定正整數(shù)r≥2,對任意實數(shù)x≥2,有漸近公式

        證明 對任意的實數(shù)x≥2,設(shè)M為一個固定的正整數(shù),且滿足

        因為

        因此,

        所以,結(jié)合式(5)和式(6)可得

        由式(4)和式(7)可得

        定理2 設(shè)k為給定的正整數(shù),則給定正整數(shù)r≥2,對任意實數(shù)x≥2,有漸近公式

        證明 類似于定理1的證明,根據(jù)ar(n)和V(n)的定義及引理5,并利用估計式V(n)?nε(ε為任一固定的正數(shù)),得

        由式(8)和式(10)可得

        定理3 給定正整數(shù)r≥2,對任意實數(shù)x≥1,有漸近公式

        結(jié)合式(6)和式(12)可得

        由式(11)和式(13)易知

        定理3證畢.

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