金 晶， 朱偉義

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

定義［10］設(shè)r≥2為任意給定的正整數(shù)．一完全r次冪的最小非負(fù)整數(shù)，則稱可加補(bǔ)數(shù)，即

1 預(yù)備知識

首先給出一些主要結(jié)果證明中需要用到的引理．

引理1［1］設(shè)k為給定的正整數(shù)，則對任意的實(shí)數(shù)x＞1，有漸近公式

引理5 設(shè)h(n)為非負(fù)的算術(shù)函數(shù)，且h(0)=0，給定正整數(shù)r≥2，則對任意實(shí)數(shù)x≥1，有漸近公式

其中:

引理5證畢．

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)k為給定的正整數(shù)，則給定正整數(shù)r≥2，對任意實(shí)數(shù)x≥2，有漸近公式

證明 對任意的實(shí)數(shù)x≥2，設(shè)M為一個固定的正整數(shù)，且滿足

因?yàn)?/p>

因此，

所以，結(jié)合式(5)和式(6)可得

由式(4)和式(7)可得

定理2 設(shè)k為給定的正整數(shù)，則給定正整數(shù)r≥2，對任意實(shí)數(shù)x≥2，有漸近公式

證明 類似于定理1的證明，根據(jù)ar(n)和V(n)的定義及引理5，并利用估計(jì)式V(n)?nε(ε為任一固定的正數(shù))，得

由式(8)和式(10)可得

定理3 給定正整數(shù)r≥2，對任意實(shí)數(shù)x≥1，有漸近公式

結(jié)合式(6)和式(12)可得

由式(11)和式(13)易知

定理3證畢．

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