汪涇涇， 高先龍

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

再加上粒子數(shù)守恒條件

0 引言

冷原子技術(shù)的發(fā)展為研究長期困擾凝聚態(tài)物理學(xué)界的一些問題帶來了新的機遇，如理解超流-Mott絕緣體相的轉(zhuǎn)、自旋極化費米子的超流FFLO相［1-2］、相互作用與無序的競爭［3］等．

目前，實驗上可以把兩組分的40K，6Li原子限制在一維勢阱中［4］．在理論上，這樣的模型可以用短程相互作用的Gaudin模型來描述．最近的實驗發(fā)現(xiàn)了理論所預(yù)言的2種狀態(tài):系統(tǒng)中間部分是FFLO相，邊緣部分或為BCS相，或為正常相［5-6］．冷原子實驗技術(shù)的發(fā)展為研究無序系統(tǒng)帶來了極大的方便．目前常用的無序有:2個周期不同的平面波組成的準(zhǔn)無序［7］;激光透過一個粗糙玻璃平面散射形成的speckle無序［8-9］等．在無序系統(tǒng)中，可以研究許多凝聚態(tài)物理所關(guān)心的現(xiàn)象，如在強無序的玻色系統(tǒng)中，會出現(xiàn)玻色玻璃相、玻色-安德遜玻璃相、Mott玻璃相［10］、玻色-愛因斯坦凝聚在無序中產(chǎn)生的安德遜局域化現(xiàn)象［11-12］等．

本文先描寫一維極化費米氣體的物理模型，介紹均勻體系的精確Bethe-ansatz解和speckle無序，再討論無序?qū)ο到y(tǒng)的影響及一些數(shù)值結(jié)果，最后得出結(jié)論．

1 一維極化費米氣體的物理模型

一維極化費米氣體的有效哈密頓量可以用單帶模型來描述［13］

式(1)中:σ=↑，↓代表自旋;Ψσ(x)(Ψ+σ(x))是費米子消滅(產(chǎn)生)算符．每個自旋組分的原子數(shù)是Nσ，用μσ來描述2個不同自旋組分的化學(xué)勢．外勢Vex(x)=Vtrap(x)+Vdis(x)，其中諧振勢為Vtrap(x)=mω2x2/2，Vdis(x)描寫無序，g1D是一維有效耦合常數(shù)［14］．定義γ為相互作用能量密度em與動能密度ekin的比值．可以發(fā)現(xiàn)γ=-(mg1D)/(?2n)=2/(na1D)，這里a1D為一維散射長度．在弱相互作用極限下，有eint～g1Dn和ekin～?2k2/(2m)～?2n2/m，其中n是總的粒子密度．γ?1代表弱相互作用極限，而γ?1代表強相互作用極限．在有勢場存在的情況下，可以用勢場中心的無量綱參量γ0=γ(x=0)來描寫相互作用的大小，可以估計γ0=πaho/N1/2a1D．最后，用參量P=(N↑-N↓)/N描寫總的自旋極化率，p(x)=(n↑(x)-n↓(x))/n(x)來描寫局域的自旋極化率．

在諧振勢中，當(dāng)外勢中存在大量費米子時，局域密度近似是一個比較準(zhǔn)確的近似方法［5-6］，結(jié)合均勻極化費米氣的Bethe-ansatz解，可以得到當(dāng)N?1時系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì)．

利用局域密度近似并根據(jù)非均勻氣體的局域平衡條件可以確定化學(xué)勢．平衡條件為:

再加上粒子數(shù)守恒條件

其中:n(x)和p(x)分別是局域密度和局域自旋極化率;下標(biāo)“g”表示整體性質(zhì)．

由此可以進行數(shù)值計算．對于給定的參數(shù)N和P，先猜想初始的整體化學(xué)勢μσg，用局域平衡方程找到n(x)和p(x)．然后，在歸一化條件下調(diào)整化學(xué)勢μσg，得到一個新的分布．重復(fù)這個過程從而達到穩(wěn)定值，即為所求的基態(tài)密度分布．

極化費米氣體的狀態(tài)是由總極化率決定的．當(dāng)極化率較小時，氣體處于FFLO-BCS相;當(dāng)極化率較大時，氣體處于FFLO-N相．這2種狀態(tài)之間存在一個臨界極化率PC．

2 均勻體系的精確Bethe-ansatz解

在均勻系統(tǒng)的情況下，式(1)可用Bethe-ansatz進行精確求解［15-16］．在熱力學(xué)極限下，對于固定粒子數(shù)密度nσ和相互作用γ的均勻氣體，其基態(tài)可以從一組Gaudin耦合積分方程中得到:

此時系統(tǒng)的基態(tài)能為

3 Speckle無序

Speckle無序分布可用隨機復(fù)數(shù)場φ(x)來模擬，這個場的實部和虛部是2個獨立的高斯分布η(x)．它們的平均值＜η(x)＞為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為1，關(guān)聯(lián)函數(shù)是＜ η(x)η(y)＞～δ(x-y)．Speckle的光強是

式(11)中:操作算符F是傅立葉變換

W(y)是孔徑函數(shù)

在一維系統(tǒng)的speckle分布中，可設(shè)定相關(guān)常數(shù)lc與孔徑平面寬度的關(guān)系為lc=0．88/D［9，18］．本文使用的相關(guān)長度均為lc=10 μm．Speckle無序可寫為 Vdis=±AI(x)，其中A代表無序振幅，±分別表示藍(lán)諧(排斥)無序或紅諧(吸引)無序．圖1中，實現(xiàn)了一次藍(lán)諧(排斥)speckle無序，其中aho是諧振勢中的單位長度．

圖1 一次藍(lán)諧(排斥)speckle無序在實空間中的分布情況

4 數(shù)值結(jié)果

利用精確Bethe-ansatz解和局域密度近似，借助式(2)～式(5)可得到極化費米氣體在外勢中的密度分布情況，而密度分布是冷原子實驗中可直接測量的物理量，對其研究可以同實驗進行直接對比．

圖2給出了不同極化率下費米氣體在外勢中的密度及密度差的分布，圖2中:相互作用強度為γ0=1．6．圖2(a)～(c)是藍(lán)諧排斥speckle無序．圖2(d)～(f)是紅諧吸引無序．圖2(a)和(d)中P=0，干凈系統(tǒng)為BCS相．圖2(b)和(e)中P=0．05，干凈系統(tǒng)為FFLO-BCS相．圖2(c)和(f)中，干凈系統(tǒng)為FFLO-N相．實線、圓圈、三角形分別代表A=0，±0．5和±1．0時的總密度分布;虛線、方形、叉號分別代表A=0，±0．5和1．0時的密度分布之差．筆者發(fā)現(xiàn)，隨著無序的增強，粒子數(shù)密度的分布降低，但分布的范圍變寬．在相同的條件下，紅諧無序下密度在勢阱中間的分布更集中，但總體分布的范圍更廣．

圖2 諧振勢中兩組分費米氣體密度分布之和及密度分布之差

圖3 所示的是臨界自旋極化率PC與相互作用強度γ0和無序振幅A之間的相圖，當(dāng)P＜PC時，系統(tǒng)處于FFLO-BCS相;當(dāng)P＞PC時，系統(tǒng)處于FFLO-N相．筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)相互作用強度不變時，隨著無序的增加，系統(tǒng)從FFLO-BCS相變?yōu)镕FLO-N相．出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是無序打破了系統(tǒng)的完全配對和完全正常的狀態(tài)，使兩組分氣體產(chǎn)生能量差別，從而產(chǎn)生FFLO相在空間區(qū)域上的擴大．

5 結(jié)論

基于精確Bethe-ansatz解和局域密度近似，求解了在外勢和無序存在的情況下，一維自旋極化費米氣體的基態(tài)性質(zhì)．研究了不同極化率下無序?qū)ο到y(tǒng)的影響，可以發(fā)現(xiàn)，隨著無序的增強，粒子數(shù)密度的分布降低，但分布的范圍變寬．筆者還求解了FFLO-BCS相和FFLO-N相的臨界極化率，發(fā)現(xiàn)隨著無序強度的增加，系統(tǒng)能從FFLO-BCS相轉(zhuǎn)變?yōu)镕FLO-N相．

圖3 臨界自旋極化與相互作用及無序振幅之間的關(guān)系圖

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