殷堰工

（蘇州市教育科學研究院，江蘇蘇州215004）

基于實驗的數(shù)學教學研究

殷堰工

（蘇州市教育科學研究院，江蘇蘇州215004）

開展數(shù)學實驗教學，能改變傳統(tǒng)的教學模式，讓學生被動的“接受知識”變?yōu)橹鲃拥摹鞍l(fā)現(xiàn)知識”，讓學生從“聽”數(shù)學變?yōu)椤白觥睌?shù)學，培養(yǎng)學生基本的數(shù)學能力，體現(xiàn)新課程的理念，真正實現(xiàn)素質(zhì)教育。數(shù)學實驗使得數(shù)學教學創(chuàng)設了一種“問題—實驗—交流—猜想—驗證”的新模式，滿足了不同學生的需求，使不同學生的能力在各自的基礎上都得到發(fā)展。數(shù)學實驗教學還處在探索階段，存在著不少問題，對數(shù)學實驗教學進行審思是十分必要的。

數(shù)學教學；模式；數(shù)學實驗

一、問題的提出

（一）數(shù)學實驗的背景

大數(shù)學家歐拉說過：“數(shù)學這門科學需要觀察，也需要實驗”。著名數(shù)學教育家G·波利亞指出：“數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里得式嚴謹?shù)目茖W，從這方面看數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學看起來卻像一門實驗性的歸納科學?！边@要求數(shù)學教學既要充分體現(xiàn)它的形式化、抽象化的一面，又必須重視數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學創(chuàng)造過程中具體化、經(jīng)驗化的一面。而數(shù)學實驗教學可以讓學生體驗和感悟數(shù)學的兩個側(cè)面，因此，數(shù)學教學也需要進行數(shù)學實驗。20世紀最具影響的數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾指出：“要實現(xiàn)真正的數(shù)學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的。在傳統(tǒng)的課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由的發(fā)展。它要求有個實驗室，學生可以在那兒個別活動或是小組活動?！?/p>

《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中明確指出：“學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動”?！吨新殧?shù)學教學大綱》要求“充分利用計算工具和數(shù)表解決計算問題，培養(yǎng)學生使用基本計算工具的能力。適當體現(xiàn)探索、發(fā)現(xiàn)、歸納和創(chuàng)造的方法，逐步形成學生的創(chuàng)新意識”。新課程初中數(shù)學各類教材中出現(xiàn)了諸如“想一想”、“看一看”、“做一做”等數(shù)學實驗的內(nèi)容，讓學生學習數(shù)學的過程置身于一個“數(shù)學實驗室”之中，通過實驗使學生學會思考、學會學習、學會發(fā)現(xiàn)。教育部在新編高中數(shù)學教學大綱中安排了4種“實習作業(yè)”和6個“研究性課題”，采用數(shù)學實驗教學比較適切。中職數(shù)學教材中的“解析幾何”、“三角函數(shù)”、“立體幾何”、“應用題”等內(nèi)容，從職業(yè)學校培養(yǎng)學生應用能力的目標看，用數(shù)學實驗進行教學是行之有效的途徑之一。

計算機的出現(xiàn)改變了數(shù)學只用紙和筆進行研究的傳統(tǒng)方式，給數(shù)學家的工作帶來了最先進的工具，豐富和發(fā)展了“數(shù)學實驗”的內(nèi)涵，特別是利用計算機成功地解決“四色問題”對數(shù)學領域產(chǎn)生了巨大的影響。一些數(shù)學家“正在創(chuàng)立一種新的做數(shù)學的方法，即主要通過計算機實驗從事新的發(fā)現(xiàn)。由于這種研究方法是與傳統(tǒng)方法很不相同的，因此，在這些數(shù)學家看來，計算機的使用正在改變數(shù)學的性質(zhì)；數(shù)學正在成為一門‘實驗科學’?！薄镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》（實驗稿）的基本理念之一是：數(shù)學課程提倡實現(xiàn)信息技術與課程內(nèi)容的有機整合，逐步實現(xiàn)教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學生的學習方式、教師的教學方式和師生互動方式的變革，為學生的學習和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學習工具。

（二）一項調(diào)查的結(jié)論

在發(fā)達國家，數(shù)學實驗已成為常見的教學形式，美國的許多中學里辟有專門的數(shù)學實驗室，英國的中學教材里有許多數(shù)學實驗的內(nèi)容。下面是一項微型調(diào)查，折射出我國數(shù)學實驗教學的現(xiàn)狀：

對4所中學數(shù)學教師的問卷調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在收回的56份問卷中，有48人認為在數(shù)學教學中有必要做數(shù)學實驗，有6人不置可否，僅有2人認為沒有必要做數(shù)學實驗。13人沒有回答“大約做過幾次數(shù)學實驗”的問題。據(jù)此統(tǒng)計，平均每個教師每年僅做1.12次數(shù)學實驗，其中還包括了教師的演示實驗。盡管大部分教師認為數(shù)學實驗是必要的，為什么很少采用這種教學形式？主要是，“怕影響教學進度”的有18人，約占32%；“沒有實驗條件”的有19人，約占34%；“沒有經(jīng)驗”的14人，占25%；其他回答4人，約占9%。隨著新課改的深入，教師對數(shù)學實驗認識的不斷提高，越來越多的數(shù)學教師開始嘗試數(shù)學實驗教學，以提高數(shù)學教學的質(zhì)量。

二、基于實驗的數(shù)學教學可行性研究

（一）數(shù)學實驗的重要意義

開展數(shù)學實驗教學，能改變傳統(tǒng)的教學模式，讓學生被動的“接受知識”變?yōu)橹鲃拥摹鞍l(fā)現(xiàn)知識”，讓學生從“聽”數(shù)學變?yōu)椤白觥睌?shù)學，通過引導學生將課本中的數(shù)學和生活中的數(shù)學緊密結(jié)合起來，使學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學，應用數(shù)學，培養(yǎng)學生基本的數(shù)學能力，真正實現(xiàn)素質(zhì)教育的目的。

數(shù)學實驗教學讓學生在創(chuàng)設的問題情境中自主探索、合作交流，親歷從直觀想象到發(fā)現(xiàn)猜想，通過給出驗證及理論證明的數(shù)學構(gòu)建過程，讓學生“看到了數(shù)學構(gòu)建過程的腳手架，而不是簡單的現(xiàn)成品”，這是“新課標”所倡導的教育理念。

（二）數(shù)學實驗的理論依據(jù)

數(shù)學實驗的理論依據(jù)除了建構(gòu)主義理論和主體教育理論外，結(jié)合數(shù)學學科特點，筆者認為還應有“再創(chuàng)造教學”理論作支撐。弗賴登塔爾認為，不應該學習現(xiàn)成的數(shù)學，“學生應當通過再創(chuàng)造來學習數(shù)學，這樣獲得的知識與能力才能更好地理解，而且能保持較長久的記憶”。這個“再創(chuàng)造”原則貫穿于數(shù)學教育整個體系之中，要把數(shù)學教育作為一個活動的過程來分析，使學生在學習過程的不同層次中，始終處于積極、創(chuàng)造的狀態(tài)。

（三）數(shù)學實驗的主要作用

有研究者認為，數(shù)學實驗有助于學生加深對概念的理解有助于學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理；有助于學生找到解決問題的途徑；有助于學生強化應用數(shù)學的意識；有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力。這里僅以一個例子說明之。

[案例1]問題解決教學

題目：已知雙曲線x2－y2＝4，直線L：y＝kx+2，問當實數(shù)k取何值時，直線L與雙曲線只有一個公共點？

學生一般借助前面已學過的直線與橢圓的位置關系判別方法，聯(lián)立方程組：

消去y，得（1－k2）x2-4kx-8＝0，再由△＝0，得

這時教師啟發(fā)學生：是否僅有這兩條直線與雙曲線只有一個公共點？引發(fā)新知與舊知的沖突，激發(fā)學生探求新知的欲望。

實驗探索：

直線L過定點P（0，2），學生在計算機上繞P（0，2）旋轉(zhuǎn)直線L，發(fā)現(xiàn)當直線L與雙曲線的漸近線平行時，直線L與雙曲線也只有一個交點。這個規(guī)律是否帶有普遍性呢？教師再提出問題：若點P在平面內(nèi)的其它位置，過該點并且與雙曲線只有一個公共點的直線有幾條？學生再實驗探索點P在各種不同位置時只有一個公共點的直線條數(shù)。

提出猜想：

學生通過實驗探索，提出猜想：直線只要與浙近線平行，直線與雙曲線就只有一個交點。

驗證猜想：

教師可引導學生審視在（1）中的解答，為何會漏掉與漸近線平行的直線。學生通過仔細觀察發(fā)現(xiàn)用△＝0時，忽略了方程：（1－k2）x2-4kx-8＝0的二次項系數(shù)1－k2＝0的情形，當1-k2＝0時k＝±1，這正是漸近線的斜率，此時直線L與漸近線平行。還有，當1－k2＝0時，上述方程就是一次方程，只有一解，這樣就驗證了當直線與雙曲線的漸近線平行時，與雙曲線只有一個公共點的猜想，這樣，學生對這個結(jié)論的理解就更深刻了。

問題拓展：

教師進一步提出以下問題，讓學生做更深入的研究。

①當k為何值時，直線L與雙曲線沒有交點；

②當k為何值時，直線L與雙曲線有兩個交點；

③當k為何值時，直線L與雙曲線的右支有兩個交點；

④給定雙曲線和定點，過定點與雙曲線有兩個交點的直線有幾條？

⑤對于上面討論的問題，若把雙曲線換成其它圓錐曲線結(jié)果又如何？

對問題的不斷引申、拓展，培養(yǎng)了學生的發(fā)散性思維和探索能力，使知識和能力得到進一步的升華。

三、數(shù)學實驗教學模式研究

（一）數(shù)學實驗教學的概念、特點、功能

所謂“數(shù)學實驗是為了探究數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）而進行的某種操作或思維活動。數(shù)學實驗教學指恰當運用數(shù)學實驗，創(chuàng)設問題情境，引導學生參與實踐、自主探索、合作交流而發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗證猜想和創(chuàng)造性解決問題的教學活動”。數(shù)學實驗教學以“主體、探索、創(chuàng)新”和“數(shù)學教學是再創(chuàng)造再發(fā)現(xiàn)的教學”為基本理念，思維量大是數(shù)學實驗的基本特點，開放性、動態(tài)性和時代性是數(shù)學實驗教學的基本特性。數(shù)學實驗教學本身則具有這樣兩個鮮明的特點：一是以問題為載體，即通過對實際問題的解決培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力。二是以學生為主體，即在教師的精心準備和指導下，學生自主探索解決問題，在成功和失敗中獲取知識和培養(yǎng)能力。這兩個特點決定了數(shù)學實驗教學具有的獨特功能。

有研究者提出了“獨特的同化功能和顯著的激勵功能”。其實，落腳點還在于優(yōu)越的發(fā)展功能。這是因為，數(shù)學實驗是一種活動化教學，一種開放式教學，它能滿足不同學生的需求，使不同學生的能力在各自的基礎上都得到發(fā)展。

（二）數(shù)學實驗的基本模式

“數(shù)學實驗使得數(shù)學教學創(chuàng)設了一種‘問題—實驗—交流—猜想—驗證’的新模式”。這種模式是學生在教師的引導下，利用材料，主動探究、發(fā)現(xiàn)。程序為：創(chuàng)設情境→分析探究→猜想假設→論證評價。體現(xiàn)了學生參與發(fā)現(xiàn)過程的主體地位，注重了發(fā)現(xiàn)策略和方法的培養(yǎng)。下面是兩個數(shù)學實驗的具體例子：

[案例2]橢圓的概念教學

問題情境：讓學生拿出課前準備好的一塊紙板，一段細繩和兩枚圖釘，按課本的要求畫橢圓，使他們親身體驗到橢圓的畫法，品嘗到成功的喜悅，在此基礎上再提出如下問題：

①紙板上的作圖說明了什么？

②在繩長不變的前提下，改變兩個圖釘間的距離，畫出的橢圓有何變化？當兩個圖釘合在一起時，畫出的圖形是什么？當兩個圖釘間的距離等于繩長時，畫出的圖形是什么？當兩個圖釘固定，能使繩長小于兩圖釘之間的距離嗎？能畫出圖形嗎？

經(jīng)過實驗，學生很快得出結(jié)論，當2a＞2c時是橢圓；當2a＝2c時是線段；當c＝0時是圓；當2a＜2c時軌跡不存在。

③根據(jù)以上作圖實驗回答：橢圓是滿足什么條件的點的軌跡？（由學生歸納橢圓的定義）

這個實驗不是把數(shù)學知識直接告訴學生，而是通過學生動手操作、合作探究獲得的，這是一個主動建構(gòu)的過程．在這一過程中，通過動手操作，把學生推到思維的前沿，把課堂交給了學生，給學生參與實驗、自主探索、合作交流的機會，讓學生在自主的思維活動中去構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)，這樣既加強了數(shù)學交流，又培養(yǎng)了合作精神。它使學生對橢圓的概念有一個清晰準確的認識，全面深刻的理解，不僅使他們知其然，更能知其所以然。

[案例3]應用二次函數(shù)求面積的最值問題

問題情境：準備一根細繩，全班學生用統(tǒng)一長度的細繩圍成不同形狀的矩形，讓他們通過測量算出矩形的面積。學生通過操作和計算，得到了很多不同的結(jié)果，有大有小，此時：

師問：是什么造成這些不同結(jié)果？

生答：是形狀不同造成的，矩形的邊長不同，這也就說明周長一定的矩形邊長可以不同。師師問：你能用已學過的知識計算一下這樣的矩形有最大或最小值嗎？

通過操作學生感受到，應該設變化的邊長為未知數(shù)，然后用此未知數(shù)表示另一邊，再用面積公式表示出面積。學生最終發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)是一個二次函數(shù)，可以用已學的二次函數(shù)知識，從理論上證明存在的最大矩形是正方形。在這樣的操作實驗中，學生不但對二次函數(shù)中的變量與不變量有了直觀感受，還能夠水到渠成地進行未知數(shù)的設定和函數(shù)模型的建立。

四、數(shù)學實驗教學存在的問題

由于數(shù)學實驗教學還處在探索階段，在具體的實踐中，仍然存在著問題。就教師而言，反映在認識上：傳統(tǒng)的數(shù)學講解式課堂模式，大容量、高強度、多反復的課堂訓練模式在絕大多數(shù)數(shù)學教師身上留下了深深的烙印，表現(xiàn)在擔心數(shù)學實驗花時較多，怕影響其教學的進度與質(zhì)量。反映在經(jīng)驗上：長期以來，數(shù)學實驗一直被教育所忽視，教材中有關數(shù)學實驗的內(nèi)容很少，各種數(shù)學報刊有關數(shù)學實驗的文章也不多，有時教師即使想做一點數(shù)學實驗，也因沒有必要的經(jīng)驗和指導而流于形式，數(shù)學實驗的功能得不到應有的發(fā)揮和重視。就學生來說，由于數(shù)學實驗興起不久，以前的學習中很少涉及此類問題，現(xiàn)在要求讓學生在教師的指導下自己進行數(shù)學實驗，往往表現(xiàn)出不知所措，難以設計出一套完整的實驗方案，實驗的過程中也提不出問題，完成不了必要的歸納和總結(jié)，基本技能也不夠，遇到挫折容易退縮，學生的參與程度相當有限。

五、對數(shù)學實驗教學的審思

（一）數(shù)學實驗教學開展的密度

斯托利亞爾說：“數(shù)學教學是數(shù)學活動（思維活動）的教學，而不僅是教學活動的結(jié)果——數(shù)學知識的教學”。數(shù)學畢竟與其他學科不同，實驗只是佐證，主體還是問題教學、思維體操，因此實驗教學開展密度不宜過大。數(shù)學實驗教學只是數(shù)學教學的一個重要方式，決不能以實驗教學代替演譯、推理、證明和練習的教學。

（二）數(shù)學實驗內(nèi)容選擇的標準

中學的數(shù)學知識是歷史上經(jīng)歷了數(shù)百年乃至上千年探索結(jié)果的匯編，不可能逐一讓學生去體驗、探索、發(fā)現(xiàn)。有調(diào)查顯示：代數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何、立體幾何、解析幾何是進行數(shù)學實驗最多的內(nèi)容，占中學數(shù)學實驗的67.57%，同時70%左右進行數(shù)學實驗的教師將數(shù)學實驗用來“激發(fā)興趣”和“客體感知”，而對“概念形成”、“結(jié)論推理”和“復習鞏固”進行實驗的則微乎其微。但事實上，中學生對數(shù)學知識的理解很大的障礙恰恰在于上述三個方面。因此，我們應當依據(jù)什么標準選擇進行數(shù)學實驗的內(nèi)容仍是我們面臨的課題。

（三）對信息技術環(huán)境下數(shù)學實驗教學的客觀評價

在多媒體手段的支持下，把我們的數(shù)學課堂教學變成一間功能齊全的“數(shù)學實驗室”。其流程為：從實例出發(fā)—在計算機上做實驗—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—提出猜想—進行證明和論證。這是一個以問題為載體，以計算機為手段，以學生為主體的全新教學模式。它能體現(xiàn)數(shù)學發(fā)明、發(fā)現(xiàn)中具體與抽象的辯證關系，能充分展示“真實的數(shù)學”。在數(shù)學實驗室里，學生從“聽”數(shù)學的學習方式變成在教師的指導下“做”數(shù)學；通過實驗學生可以理解數(shù)學問題的來龍去脈，以及它的發(fā)現(xiàn)、分析和解決過程，從感覺到理解，從意會到表述，從說明到證明，一切均可在眼前發(fā)生，數(shù)學的抽象變得易于理解，數(shù)學的嚴謹變得合情合理。數(shù)學實驗縮短了學生與數(shù)學之間的距離，數(shù)學變得可愛而親近了。同時，數(shù)學實驗中也將更多的探索、分析、思考的任務交給了學生。但是，從短期來看，借助信息技術開展數(shù)學實驗教學，不僅要花費大量的精力和時間，而且很難以提高學生的學習成績來體現(xiàn)。必須承認實驗教學的現(xiàn)實性、階段性、層次性與漸進性。

（四）數(shù)學實驗對學生產(chǎn)生的負遷移

雖然學生對數(shù)學實驗表現(xiàn)出了濃厚的興趣，但學生進行數(shù)學實驗前后對其它數(shù)學知識卻出現(xiàn)興趣降低、因急于進行實驗而忽視其它知識的學習等不良表現(xiàn)。如從對“勾股定理”的數(shù)學實驗前的操作培訓一開始，學生就開始忽視“中心對稱和中心對稱圖形”的學習；實驗結(jié)束后，學生在很長一段時間內(nèi)，仍然沉浸在自己探索發(fā)現(xiàn)勾股定理的興奮中，對后繼的“平方根”等內(nèi)容感到乏味、厭煩。這種負遷移效應因數(shù)學實驗中計算機參與而更加明顯，值得我們深思。

數(shù)學實驗教學是一種新型的數(shù)學教學模式，這一教學模式的產(chǎn)生是現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的必然產(chǎn)物?！皵?shù)學實驗”活動為核心的數(shù)學教學，將使數(shù)學教學成為再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的教學；它為學生們提供了主體參與，積極探索，大膽實踐，勇于創(chuàng)新的學習環(huán)境；在改變了學生學習方式的同時，使學生的主體參與意識得以加強，使學生的創(chuàng)新意識得以提高。盡管這種教學方式正處于探索階段，但數(shù)學本身的發(fā)展走向預示著在新的數(shù)學教學改革中，數(shù)學實驗教學模式具有強大的生命力。

殷堰工，男，黨總支書記，副教授，碩士生導師，主要研究方向為數(shù)學教育。

G712

A 文獻標識碼：1674-7747（2011）12-0030-04

[責任編輯 方翰青]