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        關(guān)于定積分微元法的一點(diǎn)補(bǔ)充

        2011-11-22 01:38:52佘智君
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2011年4期
        關(guān)鍵詞:微元法定積分微分

        佘智君

        (貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,貴州貴陽 550003)

        關(guān)于定積分微元法的一點(diǎn)補(bǔ)充

        佘智君

        (貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,貴州貴陽 550003)

        通過一個(gè)實(shí)例提出問題,進(jìn)而給出微元法中推導(dǎo)微元及檢驗(yàn)微元表達(dá)式的簡(jiǎn)便方法.[關(guān)鍵詞]定積分;微元法;微分

        1 引 言

        《數(shù)學(xué)分析》和《高等數(shù)學(xué)》教材都介紹了微元法,應(yīng)用微元法可將一些幾何、物理等實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分來求,而微元又是微元法的關(guān)鍵,能否合理選擇所求量的微元,關(guān)系到所求量的正確性,那么究竟如何選擇微元才能保證所取微元是合理的呢?學(xué)生經(jīng)常感到困惑,以致于他們只能模仿例題“機(jī)械地套用”微元法.在“微元法”中,我們經(jīng)常用直線段代替曲線段,以不變量代替變量,以均勻代替不均勻,那么是否直觀上近似的量都可以作為所求量的微元呢?我們先看下面的例子.

        設(shè)曲線y=f(x)>0是[a,b]上的光滑曲線,求該曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積.

        在直觀上看,當(dāng)d x→0時(shí),在[x,x+d x]上切線段AB≈弧,直線段≈弧,那么切線段及直線段分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得小扁圓臺(tái)的側(cè)面積是否都可以作為所求旋轉(zhuǎn)曲面面積的微元d A呢?現(xiàn)記切線段=d s,直線段=d x.

        圖1

        同一旋轉(zhuǎn)曲面的面積,怎么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同結(jié)果呢?這其中之一一定有誤,問題又出在哪呢?

        2 微元法的條件及證明

        2.1 一般地,若所求量U滿足下列條件:

        (i)U是與某個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;

        (ii)U對(duì)區(qū)間[a,b]具有可加性;

        (iii)將區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間,取其中任一小區(qū)間[x,x+d x],如果對(duì)應(yīng)于區(qū)間[x,x+d x]的部分量ΔU能近似地表示為[a,b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的函數(shù)值f(x)與d x的乘積,且ΔU=f(x)d x+o(d x),稱f(x)d x為量U的微元,記作:d U,即d U=f(x)d x,則U=f(x)d x.上述方法稱為定積分的微元法.

        這時(shí)我們會(huì)提出以下問題:

        2.2 為什么ΔU=f(x)d x+o(d x)就有U=f(x)d x?

        關(guān)于該問題,《數(shù)學(xué)分析》和《高等數(shù)學(xué)》教材都沒有作理論的論證,對(duì)此本文將作如下推導(dǎo):

        記U(x)=U[a,x],顯然U(a)=0,U[a,b]=U.

        因?yàn)棣=f(x)d x+o(d x),所以由微分的定義有d U=f(x)d x,于是U′(x)=f(x),再由牛頓-萊布尼茨定理得

        2.3 如何檢驗(yàn)ΔU=f(x)d x+o(d x)?

        因?yàn)閒(x)是要求的連續(xù)函數(shù),也就是說U是未知的,所以要嚴(yán)格檢驗(yàn)ΔU=f(x)d x+o(d x)是非常困難的,對(duì)此給出如下命題:

        命題 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),U是一個(gè)與區(qū)間[a,b]有關(guān)的量,且U對(duì)區(qū)間[a,b]具有可加性,若對(duì)區(qū)間[a,b]上的任意小區(qū)間[x,x+d x]有

        其中M,m分別是f(x)在區(qū)間[x,x+d x]的最大、最小值,則

        該命題的(*)式在許多實(shí)際問題中是可直觀看出的,這樣它不僅給出了如何求微元中的連續(xù)函數(shù)f(x),而且還克服了ΔU=f(x)d x+o(d x)不可直接檢驗(yàn)的問題.

        3 總 結(jié)

        因此第二種解法是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤的根源在于忽略了微元的條件ΔU=f(x)d x+o(d x),誤認(rèn)為只要是所求量的近似量就可作為它的微元,所以應(yīng)用微元法解決實(shí)際問題時(shí),要特別注意其條件ΔU=f(x)d x+o(d x),在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)微元法的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題確定被積函數(shù)f(x),從而正確的寫出所求量的微元,把教學(xué)生如何找所求量的微元作為重點(diǎn).

        [1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].4版.北京:高等教育出版社,2000.

        [2] 陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,歐陽光中.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].2版.北京:高等教育出版社,1995.

        [3] 陳玉,賀秋林.微元法原理探究[J].工科數(shù)學(xué),2001,17(3):95-96.

        A Supplement on Differential Element Method of Definite Integral

        SHE Zhi-jun
        (Department of Basic Sciences,Guizhou University,Guiyang,550003,China)

        A question is proposed by aconcrete example,and we propose simple method for the deriving and detection of the differential expression.

        definite integral;method of differential element;differential

        O172

        C

        1672-1454(2011)04-0176-03

        2008-09-26

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