古成中，吳新躍，張文群

(1.91663部隊(duì)，青島 266012;2.海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械工程系，武漢 430033)

齒輪嚙合所產(chǎn)生的振動(dòng)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的性能、壽命以及環(huán)境造成的不利影響，已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注。國內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)此作了大量的研究探索，并取得了一些成果［1－4]。齒面摩擦、齒側(cè)間隙、嚙合時(shí)變剛度等因素使得齒輪系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性。在齒輪非線性動(dòng)力學(xué)方面，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究［5－9]。但這些研究主要集中在齒輪嚙合剛度和齒側(cè)間隙方面，鮮有關(guān)于齒面摩擦，及齒面摩擦與嚙合剛度耦合方面研究。Velex［10]和 Vaishya 等［11]利用油膜理論建立了齒面摩擦模型，分析了各齒輪參數(shù)對(duì)單自由度系統(tǒng)性能的影響。Singh等［12]將齒面摩擦簡化為庫倫摩擦，研究了齒面摩擦力的周期特性。但這些模型基本都將嚙合輪齒等效為單對(duì)輪齒嚙合，不能全面反應(yīng)齒面的實(shí)際摩擦情況。

由于薄輻板具有質(zhì)量輕、緩振效果好等優(yōu)點(diǎn)，使其廣泛應(yīng)用于航空航天、軍工造船等行業(yè)。但是輻板厚度的降低必然會(huì)增加輪轂和齒圈之間的扭轉(zhuǎn)變形，降低齒輪傳遞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輻板剛度設(shè)計(jì)不合理可能會(huì)增加齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，甚至?xí)过X輪傳動(dòng)系統(tǒng)失穩(wěn)。在輻板上增加阻尼材料可以降低齒輪振動(dòng)，增強(qiáng)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此對(duì)輻板阻尼的研究具有非常重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。前人的研究主要集中于輻板厚度和布置等對(duì)齒輪振動(dòng)的影響［13－15]，很少有關(guān)于輻板阻尼的研究。劉海霞和王三民等［16]研究了輻板對(duì)齒輪振動(dòng)特性的影響，但是他們用平均嚙合剛度代替輪齒的實(shí)際嚙合，而且忽略了齒面摩擦力矩的影響，不能有效地呈現(xiàn)輻板阻尼、時(shí)變嚙合剛度和齒面摩擦力矩之間的非線性耦合關(guān)系。

本文綜合考慮輪齒時(shí)變嚙合剛度、齒面摩擦力矩和輻板阻尼等因素，以單對(duì)齒輪嚙合為例，建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的三維非線性模型。討論了這種顯含時(shí)間變量的強(qiáng)非線性微分方程組的數(shù)值解的計(jì)算方法，結(jié)合Runge-Kutta法的原理，通過Simulink完成數(shù)值仿真模型的建立，求出了強(qiáng)非線性時(shí)變微分方程組的數(shù)值解。

1 嚙合剛度的時(shí)變性

為了保證齒輪傳遞的平穩(wěn)性，要求其重合度ε＞1，一般取值范圍為1～2，這就使得齒輪嚙合過程中出現(xiàn)單齒嚙合和雙齒嚙合的交替出現(xiàn)，從而使得齒輪副嚙合剛度發(fā)生突變。文獻(xiàn)中通常用將輪齒嚙合剛度簡化為矩形波，僅考慮單齒與雙齒嚙合交替時(shí)產(chǎn)生的突變，而忽略了輪齒自身剛度隨嚙合點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的變化。這種處理方法存在較大誤差，不能準(zhǔn)確的體現(xiàn)齒輪嚙合情況。

本文采用 Cai［17]模型的直齒輪進(jìn)行剛度計(jì)算公式。Cai提出的嚙合剛度的計(jì)算公式所得到的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較一致，在工業(yè)設(shè)計(jì)范圍內(nèi)具有足夠的精度，各符號(hào)說明如下:ki(t):第i個(gè)嚙合齒輪副的嚙合剛度(N/μm);ε:重合度;ni:主動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速(r/min)，(i=p，g);m:齒輪模數(shù);zi:主動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪的齒數(shù)(i=p，g);β0:節(jié)圓上的螺旋角(°);b:有效齒寬(mm);tz:嚙合周期，tz=60(ni·zi)(s);h:全齒高，h=2.25 m;ωi:齒輪副的嚙合角速度，ωi=2πni/60;y1，y2:齒高修正系數(shù)。齒輪副嚙合剛度函數(shù)近似表達(dá)式為:

X表示作用線上，從嚙入點(diǎn)到嚙出點(diǎn)的嚙合位置，X的原點(diǎn)位置在嚙入點(diǎn)。

其中:

圖1 嚙合區(qū)間示意圖Fig.1 Sketch of gear meshing section

設(shè)齒輪副在A開始嚙入，沿著嚙合線N1N2移動(dòng)至D點(diǎn)嚙出，由圖1可知AB和CD為雙齒嚙合區(qū)，BC為單齒嚙合區(qū)，齒輪副整個(gè)嚙合過程嚙合點(diǎn)的移動(dòng)距離為AD。齒輪嚙合周期tz=2π/zpωp，所以嚙合點(diǎn)在嚙合線上移動(dòng)一個(gè)基節(jié)Pb所需時(shí)間t2=tz;重合度1＜ε＜2，由重合度定義知ε=AD/Pb，所以整個(gè)齒輪副嚙合所需時(shí)間 t3=εtz，t1=(ε －1)tz。

將齒輪嚙合情況在時(shí)間上進(jìn)行展開，如圖2所示，取第一對(duì)齒輪副開始嚙入的時(shí)間t0=0，由嚙合周期的定義可以知道，第二對(duì)齒輪開始嚙合時(shí)t2=tz，第三對(duì)齒輪開始嚙合時(shí)t4=2tz，以此類推。

圖2 嚙合剛度分析Fig.2 Stiffness of gear meshing

可以將齒輪副在時(shí)間域分成兩組:奇數(shù)對(duì)齒輪副和偶數(shù)對(duì)齒輪副。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)這兩對(duì)齒輪都是以2tz為間隔周期出現(xiàn)，奇數(shù)對(duì)齒輪副嚙合在t0到t3的剛度為k(t)，在t3到t4之間沒有齒輪副參加嚙合，故其嚙合剛度為0，所以奇數(shù)對(duì)齒輪副嚙合剛度以2tz為周期的周期函數(shù)，可表示為:

對(duì)于偶數(shù)對(duì)齒輪副，在t0=0是已經(jīng)有齒輪副正處于嚙合狀態(tài)，該齒輪副已經(jīng)移動(dòng)至C點(diǎn)位置，又其周期特性于奇數(shù)對(duì)齒輪副類似，故其嚙合剛度可表示為:

齒輪副嚙合剛度數(shù)值仿真結(jié)果如圖3所示，圖中k1表示奇數(shù)對(duì)齒輪副嚙合剛度，k2表示偶數(shù)對(duì)齒輪副嚙合剛度，k1+k2為綜合嚙合剛度。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，如果將齒輪副的時(shí)變嚙合剛度簡化成平均剛度或矩形波，會(huì)有較大的誤差，影響模型特性分析的真實(shí)性。

圖3 齒輪副嚙合剛度Fig.3 Stiffness of gear pair

2 摩擦因素的非線性

齒面摩擦按照潤滑狀態(tài)可分為三類:① 完全彈流潤滑狀態(tài)，即油膜比厚系數(shù)λ＞3;② 混合潤滑狀態(tài)，1≤λ≤3;③ 邊界潤滑狀態(tài)，λ＜1。在前人的研究中，針對(duì)各種潤滑狀態(tài)都有相應(yīng)的摩擦系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式，其中以Buckingham半經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)用最為廣泛［18]。

本文以Buckingham半經(jīng)驗(yàn)公式為基礎(chǔ)，根據(jù)齒輪嚙合的實(shí)際情況對(duì)其加以改進(jìn)，方便了齒輪動(dòng)力學(xué)的求解。Buckingham半經(jīng)驗(yàn)公式:

其中vs為輪齒相對(duì)滑動(dòng)速率，可表示為時(shí)間t的函數(shù):

其中Lp、Lg分別為主、從動(dòng)齒輪齒面漸開線曲率半徑:

圖4 齒輪嚙合示意圖Fig.4 Sketch of gear meshing

其中參數(shù)含義如圖4所示。相互嚙合的齒面在節(jié)圓前后的相對(duì)滑動(dòng)速度相反，而且齒面嚙合力也會(huì)隨著嚙合點(diǎn)的移動(dòng)而變化，所以摩擦力在節(jié)圓處會(huì)發(fā)生方向突變。取奇數(shù)對(duì)齒輪副開始進(jìn)入嚙合時(shí)間為起點(diǎn)，結(jié)合式(4)～(7)，可以將齒面摩擦系數(shù)表示為時(shí)間的函數(shù)。

另外，齒面摩擦只會(huì)在嚙合齒面產(chǎn)生，如圖4所示，采取和嚙合剛度相同的處理方法，將齒輪分成兩組，每組摩擦系數(shù)都是以2tz為周期的周期函數(shù)，改進(jìn)后的齒面摩擦系數(shù)公式為:

設(shè)齒輪副嚙合力為Fi(t)，則該對(duì)齒輪副的齒面摩擦力對(duì)主、從動(dòng)齒輪產(chǎn)生的力矩分別為:

由前面分析可以知道，對(duì)于重合度1＜ε＜2的齒輪而言，其齒面嚙合由奇數(shù)對(duì)和偶數(shù)對(duì)組成，所以主、從動(dòng)齒輪所受到的摩擦力矩分別為:

其中力臂 Lp1(t)=Lp(t)、Lg1(t)=Lg(t)、Lp2(t)=Lp(t+tz)、Lg2(t)=Lg(t+tz)，摩擦系數(shù) μ1(t)= μ(t)、μ2(t)=μ(t+tz)，各齒輪副的嚙合力 F1(t)=k(t)s(t)、F2(t)=k(t+tz)s(t)，動(dòng)態(tài)傳遞誤差 s(t)=rpθp－ rgθg－ e(t)。

3 齒輪動(dòng)力學(xué)模型

論文采用集中參數(shù)法建立了齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)系統(tǒng)扭振動(dòng)力學(xué)模型，具體參數(shù)見圖5，其中kw為輻板扭轉(zhuǎn)剛度、cw為輻板扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)。由于各嚙合齒輪副在同一時(shí)刻的嚙合剛度不同(見圖3)，所以載荷在齒輪副之間非均勻分配，而且各齒輪副齒面摩擦力的摩擦力臂不同。輪齒本身的粘性阻尼比齒面摩擦系數(shù)小很多，為了更突出齒面摩擦對(duì)系統(tǒng)的影響，這里忽略輪齒自身阻尼，根據(jù)牛頓第二定律和虎克定律可得到該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為:

式中 k1、k2、Tfp和 Tfg分別由式(2)、式(3)、式(9)和式(10)求得，動(dòng)態(tài)傳遞誤差 s=rpθp－ rgθg－e(t)。為了凸顯齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)特性，引入廣義坐標(biāo):x1=rpθprgθg、x2=θ－ θg，代入式(13)，消除剛性位移，得到:

圖5 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Dynamic model of gears transmission system

4 齒輪動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值仿真

前面所建立的含輻板阻尼、時(shí)變嚙合剛度和齒面摩擦的齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，從性質(zhì)上來講，屬于耗散的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)。對(duì)此類系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述即推導(dǎo)的微分方程，在求解方法上可分為解析法，數(shù)值仿真法和模擬仿真法。

齒輪副在嚙合過程中，齒面摩擦力的大小和方向都發(fā)生周期性的變化，而且與齒側(cè)間隙、輻板阻尼、時(shí)變剛度等非線性因素強(qiáng)耦合，使齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性振動(dòng)特性，一般的解析或半解析分析方法很難得到理想的結(jié)果，本文采用數(shù)值仿真的方法進(jìn)行研究。

目前通用軟件只能解決常微分方程組問題，對(duì)于顯含時(shí)間t的非線性變微分方程組的解法還很不成熟。論文中采用4～5階自適應(yīng)變步長的Runge-Kutta法，通過增加方程組維數(shù)的方法將變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)微分方程組，從而求得該齒輪動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值解。

表1 齒輪系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of example gear system

齒輪系統(tǒng)的主要參數(shù)如表1所示，其中各質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度是通過UG軟件計(jì)算求解。

首先研究齒輪輻板阻尼cw對(duì)齒輪副振動(dòng)的影響，如圖 6所示，時(shí)間單位為 s，綜合角位移單位為mm·rad，綜合角速度單位為mm·rad/s，下同。在將齒輪輻板視為理想剛體時(shí)，其振幅約為0.6 mm;當(dāng)考慮輻板剛度和阻尼時(shí)，在相同載荷激勵(lì)下，齒輪副振幅降低到0.15 mm。這說明輻板的剛度和阻尼對(duì)齒輪副的振動(dòng)有非常顯著的影響，合理的降低輻板剛度對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的減振效果明顯。從相圖對(duì)比可以看出:忽略齒輪輻板剛度時(shí)傳動(dòng)系統(tǒng)近似周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)齒輪輻板有一定剛度時(shí)傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為擬周期運(yùn)動(dòng)，在實(shí)際的算例中發(fā)現(xiàn)隨著阻尼的增加，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相軌跡帶寬越寬，相軌跡收斂速度越快。這說明輻板阻尼的提高不僅能夠降低齒輪副振動(dòng)，而且還可以增強(qiáng)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖7為輻板在不同的齒面摩擦下的振動(dòng)情況，(a)圖中將齒面摩擦系數(shù)視為定值ch=0.1，(b)圖是按照前面推導(dǎo)的齒面摩擦的非線性公式計(jì)算。由圖可知(a)、(b)兩種情況下，輻板振動(dòng)的主波形基本相同，頻率與齒輪副振動(dòng)相同;但是考慮齒面摩擦的時(shí)變非線性因素時(shí)，輻板振動(dòng)的高階諧波的振幅明顯變大，這說明齒面摩擦的時(shí)變非線性特征加劇了齒輪輻板的振動(dòng)情況。另外，在定摩擦系數(shù)的情況下，輻板振動(dòng)的相軌跡為一定寬度的曲線帶，輻板作擬周期運(yùn)動(dòng);在時(shí)變非線性摩擦力矩的作用下，輻板振動(dòng)的相軌跡是以不重復(fù)且非閉合的曲線充滿相圖，此時(shí)輻板振動(dòng)呈現(xiàn)混沌特征，并可能出現(xiàn)分岔現(xiàn)象。

圖6 齒輪副振動(dòng)Fig.6 Gear pair vibration

圖8為齒輪輻板在各阻尼情況下的振動(dòng)特性，從圖中可以發(fā)現(xiàn)輻板阻尼對(duì)輻板振動(dòng)主波形沒有影響，但隨著阻尼的增加，各高階諧波被抑制的程度和速度都顯著增加;而且從相圖看，隨著輻板阻尼的增加，其振動(dòng)相軌跡收斂速度越快。這表明輻板阻尼不僅能夠有效地抑制輻板振動(dòng)，而且還可以提高齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

本文建立了考慮齒輪時(shí)變嚙合剛度、實(shí)際齒面摩擦、齒側(cè)間隙非線性及齒輪輻板剛度和阻尼的齒輪系統(tǒng)三自由度強(qiáng)非線性振動(dòng)模型。該模型的數(shù)學(xué)形式為顯含時(shí)間變量的強(qiáng)非線性微分方程組，在模型中考慮了載荷在各輪齒之間的實(shí)際分配情況。與前人所建立的模型相比，本模型考慮因素更全面，更符合實(shí)際情況，能更準(zhǔn)確、全面的體現(xiàn)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性?？紤]多種非線性因素的耦合能夠更接近于齒輪實(shí)際的振動(dòng)情況，但這種強(qiáng)非線性的變微分方程組的求解很困難。本文通過增加方程組維數(shù)的方法將變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)微分方程組，分別利用4～5階自適應(yīng)變步長的Runge-Kutta法編程和Simulink的4、5階定步長法對(duì)方程組進(jìn)行求解，兩者得到的結(jié)果基本相同，并且與王基等人［19]的研究結(jié)論吻合。

通過對(duì)齒輪三自由度強(qiáng)非線性振動(dòng)模型的數(shù)值仿真可得到以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)通過降低齒輪輻板剛度，可以有效地緩解齒輪副振動(dòng)。但是隨著輻板剛度的降低，齒輪副的運(yùn)動(dòng)特性將由周期運(yùn)動(dòng)逐漸向擬周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變，甚至?xí)霈F(xiàn)混沌現(xiàn)象，影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性。

(2)通過增加輻板阻尼的方法，可以顯著地提高齒輪副相軌跡的收斂速度，增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以彌補(bǔ)由于輻板剛度降低而引起的不穩(wěn)定因素。所以綜合設(shè)計(jì)齒輪輻板剛度和阻尼，可以有效地降低齒輪副的振動(dòng)，該研究具有廣泛的應(yīng)用前景。

(3)時(shí)變齒面摩擦因素的引入，增加了齒輪系統(tǒng)的激勵(lì)，并且產(chǎn)生了復(fù)雜的非線性耦合。這使得輻板振動(dòng)的高階諧波的幅值明顯增加，并且產(chǎn)生了混沌現(xiàn)象，甚至?xí)霈F(xiàn)分岔。因此，現(xiàn)在迫切需要加強(qiáng)對(duì)齒面摩擦的研究，這對(duì)提高齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)工作可靠性、降低系統(tǒng)振動(dòng)有著至關(guān)重要的作用。

(4)輻板阻尼主要抑制輻板振動(dòng)的高階諧波，隨著阻尼的增加其對(duì)輻板高階諧波的抑制效果越明顯;并且隨著阻尼的增加，輻板振動(dòng)相圖軌跡收斂速度越快，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

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