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        復(fù)連通二維Stokes問(wèn)題的Galerkin邊界元解法

        2011-07-06 02:02:18王小軍劉曉宇杜亞楠
        關(guān)鍵詞:數(shù)值積分變分子程序

        王小軍,劉曉宇,杜亞楠

        (重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400030)

        邊界元方法是求解不可壓縮粘性流體Stokes流動(dòng)問(wèn)題數(shù)值解的理想方法。對(duì)于二維問(wèn)題,在區(qū)域的邊界是封閉曲線的情況下,如無(wú)界流體的繞流問(wèn)題或有界固壁容器中流體的流動(dòng)問(wèn)題等Stokes問(wèn)題,用邊界元方法求解已有豐富的研究成果,然而多側(cè)重于理論分析。本文擬對(duì)復(fù)連通二維Stokes問(wèn)題的Galerkin邊界元解法中的程序設(shè)計(jì)等技術(shù)性問(wèn)題進(jìn)行探討。

        根據(jù)Green公式和Stokes算子的基本解可以推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)于復(fù)連通閉曲線Stokes問(wèn)題的邊界積分方程,得出基于單層位勢(shì)的間接邊界積分方程,這是一個(gè)第1類的Fredholm向量積分方程。對(duì)與之等價(jià)的邊界變分方程采用Galerkin邊界元求解,得出單層位勢(shì)的向量密度,進(jìn)而得出流場(chǎng)中任意點(diǎn)的流速值。本文主要討論其中用利用Fortran計(jì)算所求點(diǎn)的流速與用Matlab畫出相應(yīng)的流線圖的主要過(guò)程。

        1 復(fù)連通區(qū)域Stokes問(wèn)題的邊界積分方程

        設(shè)Γ1是R2中有限區(qū)域Ω的封閉曲線,Γ2是Γ1形成的封閉區(qū)域中的一條封閉曲線,Γ2形成的區(qū)域?yàn)?Ω0+,Ω0-=Ω -Ω0+。設(shè) Γ=Γ1+Γ2,考慮如下的問(wèn)題:

        其中:u=( u1,u2)是流速;p是壓強(qiáng);u0是閉曲線邊界Γ1以及內(nèi)部閉曲線邊界Γ2上的已知函數(shù)。

        圖1 研究區(qū)域

        設(shè)想包含在Ω內(nèi)的不可壓縮粘性流體整體嵌入在平面無(wú)限域上的不可壓縮粘性流體之中。本文只計(jì)算有界域上的流動(dòng),故假定在無(wú)窮遠(yuǎn)處流速為零。由參考文獻(xiàn)[5],經(jīng)計(jì)算可得到基于單層位勢(shì)的邊界積分方程:

        其中 t= ( t1,t2)是待定的密度函數(shù),其分量ti是穿越Γ時(shí)的躍變。類似地可推出流體壓力場(chǎng)的積分表達(dá)式,但本文約去壓力場(chǎng)的計(jì)算。

        2 變分方程的形成及處理

        2.1 形成變分方程

        由單層位勢(shì)出發(fā)來(lái)研究邊界量u0和邊界量t的關(guān)系,由于u在穿越邊界時(shí)的連續(xù)性,從式(2)得到聯(lián)系已知函數(shù) u0和中間變量 t的積分方程組:

        對(duì)于方程(3),方程兩邊同乘以 t '(y),然后在Γ上積分,便得到變分方程組:

        2.2 離散變分方程

        為了數(shù)值求解變分方程(4),邊界Γ必須離散為一系列單元,從而把邊界積分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組進(jìn)行求解。設(shè)把邊界Γ1離散為n1個(gè)單元,有單元端點(diǎn)n1個(gè);把邊界Γ2離散為n2個(gè)單元,有單元端點(diǎn) n2個(gè),則邊界 Γ共劃分為 n( n =n1+n2)個(gè)單元,共有n個(gè)單元端點(diǎn)。在實(shí)踐中,邊界單元一般被離散為常單元、線性單元或者高次單元,也有采用樣條插值方式的邊界單元。在本文中,采用線性單元就二維問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。基函數(shù)選取如下:

        其中:

        把上述線性方程組寫成簡(jiǎn)潔形式:AU=B,其中:

        2.3 變分方程中重積分的處理

        要求解上述線性方程組(5),最主要的問(wèn)題是求解系數(shù)矩陣。然而由于積分存在奇異性,若采用數(shù)值積分,必然產(chǎn)生較大的誤差。為了避免出現(xiàn)這樣的問(wèn)題,在求二重積分時(shí),第1重積分存在奇異性時(shí)采用精確解析積分,不存在奇異性時(shí)以及第2重積分采用Gauss數(shù)值積分。在利用Gauss數(shù)值積分計(jì)算第2重積分時(shí),對(duì)于以閉曲線為邊界的區(qū)域問(wèn)題而言,基函數(shù)無(wú)奇異性,可以方便的使用通常的Gauss數(shù)值積分公式。解析公式的推導(dǎo)方法與具體公式見參考文獻(xiàn)[2]。利用邊界積分方程得到密度函數(shù)后,將其數(shù)值帶入解的表達(dá)式即得流速。

        3 程序設(shè)計(jì)

        鑒于不同程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的優(yōu)勢(shì),程序采用兩種語(yǔ)言,首先用Fortran計(jì)算出所求點(diǎn)的流速,保存結(jié)果在文本文件中,然后用Matlab讀取畫出流線圖。

        Fortran程序采用模塊化設(shè)計(jì),包括主程序MIAN以及8個(gè)子程序,其中主程序控制程序的執(zhí)行順序,采用多個(gè)輸入輸出文本文件讀取寫入以便于與Matlab結(jié)合。在主程序中設(shè)置全局變量,包括了邊界點(diǎn),邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的流速,邊界單元長(zhǎng)度,稀疏矩陣,右端項(xiàng),單層位勢(shì)的向量密度,所求點(diǎn)的坐標(biāo)以及所求解。

        在輸入功能子程序INPUT中要實(shí)現(xiàn)的功能是輸入邊界節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、已知邊界條件和所需計(jì)算的內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)。

        在形成系數(shù)矩陣的子程序FMAT中,首先通過(guò)兩層循環(huán)采用4點(diǎn)Gauss數(shù)值積分公式形成右端項(xiàng),然后通過(guò)3層循環(huán)調(diào)用解析積分公式和4點(diǎn)Gauss數(shù)值積分公式形成系數(shù)矩陣,其中在第1層積分中,存在奇異性時(shí)調(diào)用解析積分公式,不存在奇異性時(shí)調(diào)用4點(diǎn)Gauss數(shù)值積分公式。

        計(jì)算解析積分公式的子程序FUN中,通過(guò)判斷語(yǔ)句根據(jù)積分源點(diǎn)到有向線段的距離是否為零分情況計(jì)算系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)元素的數(shù)值。

        計(jì)算4點(diǎn)Gauss數(shù)值積分公式的子程序,調(diào)用為Gauss數(shù)值積分作準(zhǔn)備的子程序,將坐標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)因次積分點(diǎn)坐標(biāo),實(shí)現(xiàn)非奇異情況下的數(shù)值積分。

        計(jì)算線性代數(shù)方程組的源程序,采用列主元消去法求解邊界積分方程組。

        計(jì)算流速的子程序中采用2層循環(huán),將求得的密度數(shù)值帶入解的表達(dá)式求得未知點(diǎn)的流速及其方向。

        輸出結(jié)果的子程序?qū)⒂?jì)算出的結(jié)果寫入文本文件,以便對(duì)比和畫流線圖。

        Matlab程序中首先對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分,得到所求點(diǎn)坐標(biāo),將坐標(biāo)輸出到文本文件,由Fortran程序計(jì)算出流速后,加載并讀取保存結(jié)果的文本文件,然后調(diào)用已知函數(shù)畫出流線圖,最后畫出邊界并確定坐標(biāo)名稱。

        4 數(shù)值算例

        算例1 單位圓流速為(0,0),矩形區(qū)域[-5,5,-10,10]邊界上的速度為(1,0),計(jì)算矩形內(nèi)單位圓以外的點(diǎn)的流速并畫出流線圖。

        在此算例中,內(nèi)部圓邊界劃分為16個(gè)單元,外部閉曲線劃分為60個(gè)單元,邊界總剖分為76單元,由Matlab剖分在矩形區(qū)域內(nèi)確定 1 521個(gè)點(diǎn),除去圓內(nèi)部余1 492個(gè)有效點(diǎn),由Fortran程序計(jì)算出流速后輸出到文本文件,耗費(fèi)時(shí)間以秒為單位,再由Matlab程序讀取畫出流線圖,耗費(fèi)時(shí)間也是以秒為單位,與其他方法計(jì)算結(jié)果相對(duì)比精度較高,畫出的流線圖與實(shí)際情況符合很好(圖2)。

        圖2 算例1流線圖

        算例2 單位圓流速為(0,0),矩形區(qū)域[-5,5,-10,10]邊界上的速度為

        計(jì)算矩形內(nèi)單位圓以外的點(diǎn)的流速并畫出流線圖。

        在此算例中,邊界剖分與計(jì)算流程與算例1完全一致,計(jì)算、畫圖耗用時(shí)間以及結(jié)果精確度也完全一致(圖3)。

        圖3 算例2流線圖

        算例3 單位圓流速為(0,0),矩形區(qū)域[-5,5,-10,10]邊界上的速度為計(jì)算矩形內(nèi)單位圓以外的點(diǎn)的流速并畫出流線圖。

        在此算例中,邊界剖分與計(jì)算流程與上述兩例完全一致,計(jì)算、畫圖耗用時(shí)間以及結(jié)果精確度也完全一致。不同點(diǎn)在于,Matlab畫圖中放大后將清晰的出現(xiàn)2個(gè)小的漩渦。漩渦如圖4所示。

        圖4 算例3的漩渦圖

        通過(guò)以上數(shù)值算例可以看出,該種方法精度較高,計(jì)算結(jié)果符合客觀事實(shí)。

        [1]Hsiao G C.A modified Galerkin scheme for equations with natural boundary conditions[C]//Vichnevetsky R,Vigness J.Numerical Mathematics and Applications.B.V:Elsevier Science Publishers,1986:193 -197.

        [2]向瑞銀.平面定常Stokes方程的Galerkin邊界元解法[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào),2006(2):29-30.

        [3]張耀明,溫衛(wèi)東.平面定常Stokes問(wèn)題的無(wú)奇異第一類邊界積分方程[J].計(jì)算數(shù)學(xué),2005,2(1):1-10.

        [4]祝家麟.橢圓邊值問(wèn)題的邊界元分析[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

        [5]祝家麟.定常Stokes問(wèn)題的邊界積分方程法[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1986(8):281-289.

        [6]Zhu Jialin.The boundary integral equation method for solving stationary Stokes problems[C]//Feng Kang.Proc.of the 1984 Beijing Symp.On Diff.Geometry and Diff.Equations.Beijing:Science Press,1985.

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