包興明，張 豪

(1.四川理工學(xué)院理學(xué)院，自貢 643000;2.電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731)

現(xiàn)實(shí)中考慮各種因素后，物體所做的各種振動(dòng)幾乎都是非線性振動(dòng)。非線性問(wèn)題是當(dāng)前物理研究中的熱門(mén)問(wèn)題，但其求解具有極大難度，除了少部分特殊情況可以用解析法解決以外，大部分問(wèn)題要依靠數(shù)值方法，利用計(jì)算機(jī)才能得出其結(jié)果。文獻(xiàn)［1］分析了幾種常見(jiàn)的線性彈簧組合，對(duì)作非線性振動(dòng)彈簧振子進(jìn)行了數(shù)值求解，并與通過(guò)計(jì)算得出解析解進(jìn)行了對(duì)比，解析解與數(shù)值解是一致的。但目前對(duì)實(shí)際生活和生產(chǎn)中常見(jiàn)的二維非線性振動(dòng)少有所研究［2］。本文應(yīng)用拉格朗日方程方法并用數(shù)值計(jì)算研究彈簧系統(tǒng)中對(duì)稱(chēng)12彈性振子的二維非線性振動(dòng)，給出其非線性振動(dòng)方程并給出振動(dòng)曲線。

1 對(duì)稱(chēng)12彈性振子的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)稱(chēng)12彈性振子的物理模型可以用一個(gè)在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)來(lái)描述，它與12個(gè)彈性系數(shù)均為k、原長(zhǎng)均為a的彈簧相連。在平衡時(shí)這12個(gè)彈簧互成30°。這12個(gè)彈簧兩兩對(duì)稱(chēng)，此時(shí)彈簧為原長(zhǎng)，質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)(水平面)作微小振動(dòng)。以質(zhì)點(diǎn)的平衡位置為原點(diǎn)o，建立坐標(biāo)系oxy，如圖1所示。

圖1 對(duì)稱(chēng)12彈性振子

系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

根據(jù)保守力系統(tǒng)的拉格朗日方程

得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

方程(5)與方程(6)是一非線性耦合方程組［3］，這表明彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是非線性振動(dòng)。線性彈簧在此種組合下，由于其勢(shì)能函數(shù)V(x，y)不再是二次函數(shù)，必然產(chǎn)生非線性振動(dòng)。其振動(dòng)形式的解析解很難直接得到，本文采用數(shù)值方法對(duì)其進(jìn)行研究。

若振子作微小振動(dòng)，則方程(5)可化為

這是一個(gè)軟非線性的微分方程［4］，它給出了一個(gè)恢復(fù)力為x3的非簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理力學(xué)模型。若振子作微小振動(dòng)，則方程(6)可化為

這是一個(gè)軟非線性的微分方程［4］，它給出了一個(gè)恢復(fù)力為y3的非簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理力學(xué)模型。

2 振動(dòng)的數(shù)值求解和振動(dòng)曲線模擬

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定該彈性振子質(zhì)量m=1 kg，彈簧原長(zhǎng)為a=1.0 m，彈性系數(shù)k=0.1 N/m?，F(xiàn)在，用數(shù)值方法研究系統(tǒng)在給定初始條件下的響應(yīng)。

1)初始條件為x0=y0=0.05 m==0.0 m/s。利用maple語(yǔ)言的超強(qiáng)數(shù)值計(jì)算功能［5］，在如上的條件下，求解方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動(dòng)曲線(圖2)，x方向振動(dòng)和y方向振動(dòng)的振幅均為 0.049 989 560 776 723 951 4 m。

圖2 x0=y0=0.05 m=0.0 m/s時(shí)的振動(dòng)曲線

2)在x0=y0=0.05 m=0.03 m/s=－0.03 m/s的初始條件，求解出方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動(dòng)曲線(圖3)，x方向振動(dòng)的振幅為0.063 241 716 209 257 073 4 m、周期為81 s，而y方向振動(dòng)的振幅為0.063 227 956 503 896 926 0 m。

圖3 x0=y0=0.05 m=0.03 m/s=－0.03 m/s時(shí)的振動(dòng)曲線

3)在x0=y0=0.1 m的初始條件，求解出方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動(dòng)曲線(圖4)，x方向振動(dòng)和y方向振動(dòng)的振幅均為0.099 956 279 830 978 711 6 m。

圖4 x0=y0=0.1 m0.0 m/s時(shí)的振動(dòng)曲線

4)在x0=y0=0.1m=0.03 m/s=－0.03 m/s的初始條件，求解出方程(5)和(6)，得到x，y方向的振動(dòng)曲線(圖5)，x方向振動(dòng)的振幅為0.107 377 121 537 032 590 m、周期為81 s，而y方向振動(dòng)的振幅為 0.107 072 704 126 938 560 m。

圖5 x0=y0=0.1 m=0.03 m/s=－0.03 m/s時(shí)的振動(dòng)曲線

由圖2～5可以看出:

1)在微小振動(dòng)的條件下，對(duì)稱(chēng)12彈性振子的振動(dòng)是非簡(jiǎn)諧的周期性振動(dòng);在保守力系統(tǒng)中，非線性振動(dòng)系統(tǒng)的振幅與初始位置和初始速度有關(guān)系。初始位置增大，振幅增大;初始位置不變，若初始速度增大，則振幅也增大。

2)在其x方向和在y方向的振動(dòng)曲線都可以看成是一個(gè)形變了的余弦曲線，其上附加有依賴(lài)于振幅的高頻顫動(dòng)。

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)彈簧系統(tǒng)中常見(jiàn)的二維非線性振動(dòng)問(wèn)題，可利用拉格朗日方法得到其振動(dòng)控制微分方程，借助于計(jì)算機(jī)和maple語(yǔ)言在計(jì)算方面的超強(qiáng)功能，成功解決了該類(lèi)非線性振動(dòng)問(wèn)題。這種方法有效簡(jiǎn)便，這就為非線性問(wèn)題探索出了一種極好的求解途徑。

振動(dòng)曲線彼此相似，其波形與振幅無(wú)關(guān)，具體形狀介于余弦波和三角波之間，可以看成是一個(gè)變形了的余弦波，其上附加有依賴(lài)于振幅的高頻顫動(dòng)。

［1］廖旭，任學(xué)藻.組合線性彈簧振子中的非線性振動(dòng)［J］.大學(xué)物理，2008，27(2):25－28.

［2］包興明，周志堅(jiān)，袁玉全.彈簧系統(tǒng)一種常見(jiàn)的二維非線性振動(dòng)［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，33(4):28－31.

［3］卓崇培.非線性物理學(xué)［M］.天津:天津科學(xué)技術(shù)出版社，1996:26－61.

［4］劉式適，劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2000:6，66.

［5］黎捷.MAPLE 9.0符號(hào)處理及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.