華中科技大學(xué) 潘 娜 周少甫

一、Copula-MEM 模型簡介

本文的主要目的是對三類不同波動率指標(biāo)在不同時點的動態(tài)條件相關(guān)性建模。運用Copula技術(shù)來構(gòu)建金融模型的方法，可以將邊緣分布和變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開來研究：第一步對三序列分別確立邊緣分布模型，第二步對所擬合的邊緣分布模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列進(jìn)行概率積分轉(zhuǎn)化，并對轉(zhuǎn)化后的序列定義一個合適的Copula函數(shù)用于描述序列間的相依結(jié)構(gòu)。

（一）邊際分布模型-MEM 選擇一個合適的邊緣分布模型是構(gòu)建Copula模型的重要前提?；诮鹑跁r間序列數(shù)據(jù)的尖峰、偏態(tài)、非負(fù)值及非正態(tài)特征，我們假定絕對值收益率、每日高低價差和日內(nèi)已實現(xiàn)波動率這三類非負(fù)值序列可以由E ng l e（2002）中提出的MEM模型來擬合。即該序列可以由一個時變比例因子和一個標(biāo)準(zhǔn)化正值隨機變量的乘積來構(gòu)成。因而，我們可以通過對εt規(guī)定一個參數(shù)密度函數(shù)，對μt規(guī)定一個方程來建立MEM模型：

基于G a mm a類概率密度函數(shù)的靈活性，我們效仿A C D模型的建模方法，假定三序列分別服從不同參數(shù)的G a mm a分布。由于誤差項必須滿足單位均值，我們限定γn=1δn，即形狀參數(shù)是比例參數(shù)的倒數(shù)。最后根據(jù)下式所得出的密度函數(shù)可以用于進(jìn)行極大似然估計。

（二）Copu l a簡介 Copula是將N個隨機變量的邊緣分布與它們的聯(lián)合分布相連接的一種函數(shù)。

（1）多元Copula函數(shù)。構(gòu)建描述的多元金融時間序列間相關(guān)關(guān)系模型的第二步則是要選擇一個合適的Copula函數(shù)，現(xiàn)有的適合于分析多元動態(tài)相關(guān)關(guān)系的Copula函數(shù)主要有兩類：G au ss i a n Copula和 t Copula。

一是多元正態(tài)Copula函數(shù)：

二是多元t-Copula函數(shù)：

Tρ，v表示相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ，自由度為v的標(biāo)準(zhǔn)多元t分布，t-1v（·）為自由度為v的一元t分布的逆函數(shù)：yn=t-1v（un）。

（2）時變相關(guān)的Copula。通過定義相關(guān)參數(shù)ρt隨時間變化的方程，我們可以得到時變相關(guān)的Copula模型。下文中我們給出兩種不同的計算時變相關(guān)參數(shù)ρt的方法：

一是根據(jù) E ng l e（2002）中提出的 D CC（1，1）模型：

二是根據(jù)T s e和T s u i（2002）中給出的TV C（1，1）模型：

二、實證分析

將基于Copula-MEM模型對滬深300指數(shù)的三種不同收益率測量指標(biāo)建模，即已實現(xiàn)收益率、每日高低價差及絕對值收益率。

（一）實證數(shù)據(jù) 分析數(shù)據(jù)來源于2005年6月6日至2010年10月25日的滬深300指數(shù)。通過加總每日十分鐘間隔收益率的平方，得到已實現(xiàn)收益率的平方序列rv2。用Ht和Lt分別表示滬深300指數(shù)每日最高價和最低價，得到每日高低價差序列h l2t=（lo g（Ht/Lt））2，用Ct表示每日收盤價格，得到日收益率序列r2t=（lo g（Ct/Ct-1））2。由于取平方后序列值偏小，為了分析的方便將三組序列的數(shù)值分別放大10000倍。剔除2007年2月27日這個極端異常值，共得到1299個觀察值。

（二）模型估計 首先分別估計出三個單變量邊緣分布模型中的參數(shù)，然后再估計Copula函數(shù)中的參數(shù)，最后根據(jù)Copula所估計出來的參數(shù)將其代入到D CC或TV C模型中計算動態(tài)相關(guān)系數(shù)。總體而言，兩步估計法以損失效率為代價而達(dá)到了計算上的便利。

（1）邊緣分布模型的估計結(jié)果。采用極大似然估計法分別三個單變量MEM模型進(jìn)行擬合，其估計結(jié)果如表1所示：

表 1 GMEM（2，2）模型的估計結(jié)果

結(jié)果表明，滯后二期的波動率對當(dāng)期的條件均值關(guān)生了顯著的影響，且三序列的βj值較接近1，說明三波動率指標(biāo)的變化具有持續(xù)性。三收益率序列均服從不同參數(shù)的G a mm a分布，所以線性相關(guān)系數(shù)不能度量序列間的相關(guān)關(guān)系。將表2中所估計出的參數(shù)代入公式（4），得到標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列 εnt=Xnt/μ?nt，該序列經(jīng)過概率積分變換后的新序列：ε_rvt，ε_h lt和ε_rrt，經(jīng)K-S檢驗均服從［0，1］分布，條件邊緣分布MEM（2，2）模型的設(shè)定是正確的。

（2）Copula模型的估計結(jié)果。如表2所示：

表2 Copula函數(shù)的估計結(jié)果

表2中的估計結(jié)果表明，基于D CC（1，1）擬合的t-Copula模型的對數(shù)似然值LL最小，相比G au ss i a n-Copula更適合于對三波動率序列建模，根據(jù)所估計出的參數(shù)生成三序列間的動態(tài)相關(guān)系數(shù)表明各序列間的相關(guān)系數(shù)的其變化趨勢較為一致，一些活躍的價格波動主要集中在較短的時期內(nèi)。

三、結(jié)論

作為一種新興的統(tǒng)計工具，使用Copula技術(shù)使我們得以用一種較簡單的方法來處理相對復(fù)雜的金融問題。本文將Copula技術(shù)應(yīng)用于具有非負(fù)值特征，非正態(tài)分布、非線性相關(guān)的金融時間序列，構(gòu)建了時變Copula-MEM模型。實證結(jié)果表明，與G au ss i a n-Copula函數(shù)相比，t-Copula函數(shù)更適合于描述三波動率序列間的相關(guān)關(guān)系。同時，本文的實證結(jié)果也對投資者有一定的指導(dǎo)意義，將三個波動率指標(biāo)共同合并在一個動態(tài)相關(guān)模型中，有助于提高對不同類型的波動率變化模式的理解能力。

在構(gòu)建時變Copula-MEM模型的過程中，仍然存在很多值得繼續(xù)深入研究的地方，總體來說，現(xiàn)階段對時變Copula模型的研究還不多，還有很多問題需要完善或深入研究，關(guān)于不同類型的時變Copula函數(shù)的應(yīng)用程序也急需進(jìn)一步的開發(fā)并納入各種統(tǒng)計分析軟件。

［1］韋艷華、張世英：《多元Copu l a-Ga r c h模型及其在金融風(fēng)險分析上的應(yīng)用》，《數(shù)理統(tǒng)計與管理》2007年第3期。

［2］Eng l e，R.F.，2002，Dynamic Conditiona l Co rr e l ation-A S imp l e C l assof Mu l ti v a r iate G A RCH Mode l s［J］，Jou r na l of Business and Economic S tatistics，20（3），339-350.

［本文系國家自然科學(xué)基金資助項目（編號：70971051）階段性研究成果］