馬 駿，陳 立，趙德有

（1大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連 116024；2大連船舶重工集團設計研究所有限公司，遼寧大連 116021）

基于柔度曲率矩陣的加筋板結構損傷識別方法

馬 駿1，陳 立2，趙德有1

（1大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連 116024；2大連船舶重工集團設計研究所有限公司，遼寧大連 116021）

為了對船舶工程中典型結構即加筋板結構的損傷部位進行準確的損傷識別分析，文章提出了一種基于柔度曲率矩陣的損傷識別方法并進行了仿真分析。首先對加筋板結構進行單元劃分，以結構響應通過矩陣的列最大值來建立節(jié)點柔度矩陣，并通過二階微分對柔度值的變化進行放大進而得到柔度曲率矩陣，最后通過柔度曲率矩陣圖或者柔度曲率矩陣的行（列）曲率圖來判斷損傷位置。算例分析表明，該方法損傷定位準確并且具有較高的靈敏度，避免了使用原未損結構的模態(tài)參數(shù)，只需損傷結構的一階或者前幾階模態(tài)信息就可以有效地進行損傷識別分析。通過大量模擬，給出了加筋板結構損傷的判別圖。

加筋板；損傷識別；柔度矩陣；柔度曲率

1 引 言

結構的損傷可間接地通過模態(tài)參數(shù)的改變來判斷，這一現(xiàn)象被廣泛地應用到結構工程中來進行結構的損傷檢測或者健康監(jiān)測，所以尋求一種對于結構損傷非常敏感的模態(tài)參數(shù)至關重要。近年來，眾多學者就此問題提出了很多無損檢測方法。Cawley等[1]首先基于有限元以及固有頻率的變化來判斷損傷位置，該方法只能檢測單一損傷的結構；Williams等[2]同樣通過固有頻率的變化對多損傷的結構進行了損傷識別分析，該方法假設一種頻率的變化模式對應一種損傷模式，再通過比較和分析完好結構的固有頻率與損傷結構的固有頻率來進一步確定損傷位置。此后，學者們提出了基于模態(tài)柔度的損傷檢測的理論與方法。對于結構中的局部損傷，Raghavendrachar和Aktan[3]證明了模態(tài)柔度要比固有頻率或結構剛度更加敏感；在梁結構的損傷檢測中，Pandey等[4]論證了模態(tài)柔度是一個很好的損傷指標；Lu等[5]發(fā)現(xiàn)柔度曲率要比模態(tài)柔度更加敏感并基于柔度曲率進行了多損傷結構的識別分析；曹暉等[6]以模態(tài)柔度曲率差為損傷指標對簡支梁與連續(xù)梁結構進行了損傷識別；李永梅等[7-8]以柔度矩陣的主對角元素為損傷指標取得了很好的結果。以上基于柔度的方法和理論都是在一維空間下，所以只能應用到梁結構或桁架結構中，而基于模態(tài)柔度的二維空間理論在近幾年才有了研究成果。Battipede等[9]提出對于板結構，柔度模態(tài)振型是一種有效的損傷指標；Wu等[10]通過Chebyshev多項式來模擬板結構表面曲率變化，得出模態(tài)曲率可以有效地進行損傷識別。然而以上方法都需要比較原始未損傷結構的模態(tài)參數(shù)與損傷后結構的模態(tài)參數(shù)來判斷損傷位置，由于原始結構的模態(tài)參數(shù)很難獲得，所以不需要原結構模態(tài)參數(shù)的方法技術就顯得格外重要。

本文以柔度曲率矩陣為識別參數(shù)，對加筋板結構進行了損傷識別分析。柔度曲率在損傷位置和附近位置都會有較大的變化，通過柔度曲率矩陣圖或者矩陣的行（列）曲率圖來判斷損傷位置。該方法不需要比較損傷前后結構的柔度曲率，直接利用損傷結構的柔度曲率來進行損傷識別而且只需要一階或前幾階模態(tài)信息。

2 基本原理

由結構模態(tài)數(shù)據(jù)，可以容易得到結構的剛度矩陣和柔度矩陣：

式中，mi為模態(tài)質量，ωi為損傷結構的第i階固有頻率，φi為相應的位移或轉角向量，r為模態(tài)階數(shù)，M為質量矩陣。

假設在損傷處的質量不變，那么第i階模態(tài)質量為：

式中，ρ為結構材料密度，h為結構的厚度，φi為模態(tài)振型，S為結構的面積。

將加筋板結構按照圖1所示進行單元劃分。

圖1中X、Y、Z分別為X軸方向、Y軸方向和Z軸方向；w、η分別為Z軸方向與Y軸方向位移；θX、θY、θZ分別為繞X軸轉角、繞Y軸轉角和繞Z軸轉角。在板中的節(jié)點只考慮由圖1中（b）所示的自由度，而在筋中的節(jié)點只考慮由圖1中（c）所示的自由度。

加筋板結構按照以上單元可以劃分成（a-1）×（b-1）個單元。假設位移或轉角向量可以表示為：

其中 n=a×b。

圖1 加筋板結構的單元自由度Fig.1 Degree of freedom of the stiffened panel

那么由（2）式可以得到柔度矩陣K-1：

假設Ck為矩陣K-1第k列最大值：

那么可以得到過度矩陣Ft：

則由過度矩陣Ft可以得到節(jié)點柔度矩陣Fn：

對于板結構，每個節(jié)點考慮Z軸方向位移、X軸方向轉角和Y軸方向轉角的柔度值，則每組橫、縱向n個節(jié)點的n個柔度是位置坐標的函數(shù)，在結構損傷點附近，柔度值相對來說將有改變，這個改變通過二階導數(shù)的作用，將會變得更為明顯。

橫向柔度曲率矩陣Fch為：

縱向柔度曲率矩陣Fcv為：

式中)為（b-1）階單位陣，Eb×b為 b 階單位陣，S為單元面積。

對于加筋板的損傷識別，可先對加筋板中板結構進行識別，然后對筋進行損傷識別。由損傷結構的柔度曲率矩陣繪出圖像，或者由矩陣的行或列曲率圖，通過比較就能直接得出損傷位置。

3 算例分析

由于加筋板結構中損傷可以出現(xiàn)在板中或筋中，或者兩者同時出現(xiàn)損傷，這里只就幾個典型的例子加以討論。

3.1 加筋板結構的損傷出現(xiàn)集合A中

考慮如圖2所示的加筋板結構，具體參數(shù)如下所示：板結構的長為4.0 m，寬為1.6 m；加強筋位于板的縱向中面，高度為0.2 m；板與加強筋的厚度都為0.01 m。材料的彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，密度為ρ=7 850 kg/m3；黑色單元為模擬損傷位置，彈性模量E=103 GPa，即用彈性模量的減少來模擬損傷，泊松比μ=0.3，密度為ρ=7 850 kg/m3。單元網(wǎng)格大小為0.1 m×0.1 m。板結構邊界條件為四邊固支，加強筋為兩端固支，另外一邊為自由邊界。

在有限元處理中，相對應圖中的節(jié)點編號用矩陣A1表示，相對應圖中的單元編號用矩陣A2表示:

圖2 損傷出現(xiàn)集合A中的加筋板結構Fig.2 Stiffened panel with set‘A’damage

在以上兩個矩陣中最后兩行分別為加強筋節(jié)點編號與單元編號。相對應有限元的損傷的節(jié)點編號為266、267、308、307，單元編號為 260。

通過仿真模擬，結構的固有頻率 ωi（i=1,2,…,6）與結構的位移或轉角向量 φi（i=1,2,…,6）都可以獲得，mi可通過計算得到。以下算例除了模擬損傷的位置不同，其余部分與以上相同。

3.1.1 加筋板中板結構柔度曲率的表征

考慮位移向量，由（7）式得到前1階至前6階關于位移的節(jié)點柔度矩陣，如圖3所示。

由圖3可以看出，節(jié)點柔度矩陣無法用來判斷損傷位置。由（8）式得到前1階到前6階的位移橫向柔度曲率矩陣圖，如圖4所示。

由圖4可以看出，從前1階到前6階的橫向柔度曲率矩陣圖都可判斷出有損傷出現(xiàn)，即在損傷單元附近柔度曲率有了較大的變化。對于損傷識別來說，所需模態(tài)階數(shù)越少越好，且在低階模態(tài)下，柔度曲率矩陣的行或列曲率圖應該是連續(xù)的，一旦出現(xiàn)跳躍點，那么就可認為在此處有損傷出現(xiàn)，則選擇圖4中的子圖‘a(chǎn)’來判斷損傷位置。

圖3 集合A前1階至前6階節(jié)點位移柔度矩陣圖Fig.3 Flexibility damage index matrix about displacement of set‘A’ with r=1,…,6

圖4 集合A前1階至前6階的位移橫向曲率圖Fig.4 Transverse direction flexibility curvature matrix of displacement of set‘A’ with r=1,…,6

下面給出子圖‘a(chǎn)’的矩陣的行曲率圖來進一步判斷損傷位置，如圖5所示。

由圖5看出在損傷單元的節(jié)點及其附近曲率值發(fā)生變化，可以判斷編號為260的單元是損傷位置。在圖6中我們同時給出了非加筋板結構與加筋板結構關于位移的橫向柔度曲率矩陣的第21行曲率圖。由圖6可以看出，正是由于有筋的存在，加筋板的行曲率圖中部才會出現(xiàn)極值。

圖5 集合A前1階第20行至23行的位移橫向曲率圖Fig.5 The 20th to 23th row in transverse direction flexibility curvature matrix about displacement with r=1

圖6 加筋板第21行與非加筋板第21行的位移橫向曲率圖Fig.6 Comparing the 21th row in transverse direction flexibility curvature matrix about displacement between stiffened and plate

由（9）式得到前1階到前6階的縱向柔度曲率矩陣圖，如圖7所示。由圖7可以看出，從前1階到前6階的縱向柔度曲率矩陣圖都可判斷出有損傷出現(xiàn)，即在損傷單元附近柔度曲率有了較大的變化，同樣選擇圖7中的子圖‘a(chǎn)’來判斷損傷位置。下面給出子圖‘a(chǎn)’的矩陣的行曲率圖來精確地判斷損傷位置，如圖8所示。

由圖8看出在損傷單元的節(jié)點及其附近曲率值發(fā)生較大的變化，可以判斷編號為260的單元是損傷位置。

下面給出橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列的圖像與縱向柔度曲率矩陣中筋所在行的圖像，如圖 9、10 所示。

由圖9可以看出第7列與筋所在列的曲率值在節(jié)點20、21有所變化，說明如果集合A中損傷靠近筋板交界，就會影響到橫向柔度曲率矩陣中筋所在列的柔度曲率值。而圖10中筋所在行的柔度曲率值沒有變化，說明集合A中損傷不影響板的縱向柔度曲率矩陣中筋所在行的柔度曲率值。

圖7 集合A前1階至前6階的位移縱向曲率圖Fig.7 Lengthways direction flexibility curvature matrix about displacement of set‘A’ with r=1,…,6

圖8 集合A前1階第5行至8行的縱向位移曲率圖Fig.8 The 5th to 8th row in lengthways direction flexibility curvature matrix about displacement with r=1

圖9 集合A橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列圖像Fig.9 The column of web and the column on each side of the web in transverse direction flexibility curvature matrix about displacement

圖10 縱向柔度曲率矩陣中筋所在行圖像Fig.10 The row of web in lengthways direction flexibility curvature matrix about displacement

關于位移向量，由以上結論可以看出其縱向曲率矩陣圖要比橫向曲率圖在損傷部位的變化要更加明顯，分析得出，主要是由加筋板結構的邊長比所致，同時筋也起到減少彎曲的作用。關于轉角向量，損傷識別的過程和結論與關于位移向量中的討論一致，只是其效果要較位移向量更好，在此算例與以后算例中都不再重復。

3.1.2 加筋板中筋結構柔度曲率的表征

與板結構一樣，由筋的節(jié)點柔度矩陣同樣不能進行損傷識別。由于筋的長寬比很大，這里只考慮其縱向曲率，那么由（8）式得到前1階到前6階的位移縱向柔度曲率矩陣圖，如圖11所示。

圖11 集合A前1階至前6階的位移縱向曲率圖 Fig.11 Lengthways direction flexibility curvature matrix about displacement of web of single damage stiff- ened panel with r=1,…,6

圖12 損傷出現(xiàn)在集合A+B中的加筋板結構Fig.12 Stiffened panel which the damage is included by set A+B

在模型里，筋上沒有模擬損傷，但是由圖11可以看到，前1階到前6階的縱向柔度曲率矩陣圖的中部都有較大的突起存在。經(jīng)過大量模擬得出，該突起是由板結構中的損傷所造成的，如果筋中有損傷出現(xiàn)，應該選擇圖6中的子圖‘b’來判斷損傷位置。

由以上結論可知，加筋板中板的損傷識別只需用到一階模態(tài)信息，而筋的損傷識別只需用到前二階模態(tài)信息。由于加筋板復雜且板中損傷會影響到筋的柔度曲率，下面將討論一些多損傷的情況。

3.2 加筋板結構的損傷出現(xiàn)集合A+B中

考慮如圖12所示的加筋板結構。

由（8）、（9）式分別得到板結構前1階位移橫向與縱向柔度曲率矩陣圖，如圖13、14所示。

由圖13看出，損傷部位及附近的柔度曲率值都有較大的變化，所以該方法可以進行多損傷識別。由圖14看出，可以判斷集合A的損傷位置，而在集合B中，柔度曲率值發(fā)生變化的單元很多，不能判斷損傷位置。

下面給出橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列的圖像與縱向柔度曲率矩陣中筋所在行的圖像，如圖15、16所示。

圖13 集合A+B前1階位移橫向曲率圖Fig.13 Transverse flexibility curvature about displacement with r=1 which the damage is included by set A+B

圖14 集合A+B前1階位移縱向曲率圖Fig.14 Lengthways flexibility curvature about displacement with r=1 which the damage is included by set A+B

圖15 集合A+B橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列圖Fig.15 The column of web and the columns on each side of the web in transverse flexibility curvature by set A+B

圖16 集合A+B縱向柔度曲率矩陣中筋所在行圖Fig.16 The row of web in lengthways flexibility curvature matrix about displacement by set A+B

由圖15可以看出第7列至第9列的曲率值在節(jié)點20、21處有所變化，而且筋所在列的柔度曲率變化是外凸的，對比圖4可以看作是由于損傷出現(xiàn)在筋板交界，筋的作用加強的結果。而圖16中筋所在行的柔度曲率值沒有變化，說明集合B中損傷同樣不影響板的縱向柔度曲率矩陣中筋所在行的柔度曲率值。

由（9）式得到筋前1階位移縱向柔度曲率矩陣圖，如圖17所示。由圖17可以看出有2處突起，同樣得出突起是由板中的損傷所造成的，而且損傷位置越靠近板與筋的交界，柔度曲率值的變化越大。

3.3 加筋板結構的損傷出現(xiàn)在集合C+D中

考慮如圖18所示的加筋板結構。

圖17 集合A+B前1階位移縱向曲率圖Fig.17 Lengthways flexibility curvature about displacement of web with r=1 by set A+B

圖18 損傷出現(xiàn)在集合C+D中的加筋板結構Fig.18 Stiffened panel which the damage is included by set A+B

由（8）、（9）式分別得到板結構前1階位移橫向與縱向柔度曲率矩陣圖，如圖19、20所示。同時給出橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列的圖像與縱向柔度曲率矩陣中筋所在行的圖像，如圖21、22所示。

由圖19、21看出，筋的損傷同樣會影響到板的柔度曲率的變化，影響位置都集中在板筋交界處，且筋所在列的柔度曲率變化是下凹的，集合C中的損傷比集合D中的損傷在交界處引起的曲率變化更明顯，同時筋兩側的曲率值并沒有變化?？梢钥醋魇怯捎趽p傷出現(xiàn)在筋板交界，筋的作用減弱的結果。由圖15、21可以看出，就單損傷而言，如果橫向柔度曲率矩陣中筋所在列上凸，則集合B中有損傷出現(xiàn)；如果所在列下凹，則集合D中有損傷出現(xiàn)。

圖19 集合C+D前1階位移橫向曲率圖Fig.19 Transverse flexibility curvature about displacement of plate with r=1 by set C+D

圖20 集合C+D前1階位移縱向曲率圖Fig.20 Lengthways flexibility curvature about displacement of plate with r=1 by set C+D

圖21 集合C+D橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列圖 Fig.21 The column of web and the columns on each side of the web in transverse flexibility curvature about displacement by set C+D

圖22集合C+D縱向柔度曲率矩陣中筋所在行圖Fig.22 The row of web in lengthways flexibility curvature about displacement by set C+D

由圖22看出，集合D中的損傷會使筋的柔度曲率出現(xiàn)2個極值，而集合C中的損傷使筋的柔度曲率只出現(xiàn)1個極值，即2個極值對應的是集合D中有損傷存在，1個極值對應的是集合C中有損傷存在，那么縱向柔度曲率矩陣中筋所在行的圖像可以用來判斷筋中是否有損傷存在且損傷所屬集合。則由（9）式得到筋前2階位移縱向柔度曲率矩陣圖來判斷筋的損傷位置，如圖23所示。

圖23 集合C+D前1階位移縱向曲率圖Fig.23 Lengthways flexibility curvature about displacement of web with r=1 by set C+D

圖24 損傷出現(xiàn)在集合E中的加筋板結構Fig.24 Stiffened panel which the damage is included by set E

由圖23可以判斷出集合C中的損傷位置，而對于集合D中的損傷，只能判斷損傷區(qū)域。

由于板的損傷會影響到筋的曲率變化，同時筋的損傷也會影響到板的曲率變化，下面的算例將討論同列單元都發(fā)生損傷的情況。

3.4 加筋板結構的損傷出現(xiàn)在集合E中

考慮如圖24所示的加筋板結構。

由（8）式得到板結構前1階位移橫向柔度曲率矩陣圖，同時給出橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列的圖像，如圖25、26所示。

由圖25、26看出，損傷部位及附近的柔度曲率值都有較大的變化，筋兩側列曲率值也有變化，那么可以判斷板的損傷位置。

圖25 集合E前1階位移橫向曲率圖Fig.25 Transverse flexibility curvature about displacement of plate with r=1 by set E

圖26 橫向柔度矩陣中筋所在列及兩側各一列圖Fig.26 The column of web and the columns on each side of the web in transverse flexibility curvature by set E

由（9）式得到的板結構前1階位移縱向柔度曲率矩陣圖與圖20基本相同，說明無論集合A+B中是否有損傷出現(xiàn)，只要集合C+D中有損傷出現(xiàn)，縱向柔度曲率矩陣中筋所在行的圖像一定會有1至2個極值出現(xiàn)，結論與算例3.3中的結論相同。那么由（9）式得到筋前2階位移縱向柔度曲率矩陣圖與圖23基本相同，所得到的結論也與算例3.3中結論相同，可以判斷筋上的損傷位置和損傷區(qū)域。

4 結 論

本文以柔度曲率為識別參數(shù)，針對加筋板結構進行了損傷仿真分析。提出一種基于柔度曲率的加筋板結構分析方法和判斷準則，即對板的橫向、縱向分別進行柔度曲率分析，最后可以得到損傷位置。不需要原始模態(tài)數(shù)據(jù)就可以對已損傷板進行損傷識別分析。只需要前一階固有頻率和相應的位移向量就可以判斷損傷位置，而且可以得到很好的結果。由前一階固有頻率和相應的轉角所得到的柔度曲率矩陣所繪制的圖同樣可以精確判斷出損傷位置，由于轉角變化要比位移變化更大，所以其效果較位移向量所得到的結果更為明顯。無論是位移向量還是轉角向量，縱向曲率矩陣判斷損傷的效果都要好于橫向曲率矩陣，這是由于加筋板的長寬比與加強筋共同作用的結果。

圖27 至多出現(xiàn)2處損傷的加筋板結構損傷判別圖Fig.27 Judging figure of stiffened panel which has 1 or 2 damages

在加筋板中，板中的損傷會影響到筋的曲率值的變化，同樣筋中的也會影響到板的曲率值的變化，且損傷越靠近板與筋的交界處，曲率值受到影響所產(chǎn)生的變化越大，所以加筋板損傷識別的難點為筋與板的交界處。就單損傷而言，如果橫向柔度曲率矩陣中筋所在列圖外凸，則集合B中有損傷出現(xiàn)，如果所在列圖內凹，則集合C+D中有損傷出現(xiàn)；如果縱向柔度曲率矩陣中筋所在行圖出現(xiàn)極值，那么集合C+D中一定有損傷出現(xiàn)，且1個極值對應的是集合C中有損傷出現(xiàn)，2個極值對應的是集合D中有損傷出現(xiàn)。說明橫向柔度曲率矩陣中筋所在列圖與縱向柔度曲率矩陣中筋所在行圖在加筋板結構損傷識別中起著重要的作用。下面對至多出現(xiàn)2處損傷的加筋板結構，給出損傷的判別圖，如圖27所示。其中：（1）板結構的橫向曲率矩陣圖像，（2）板結構的縱向曲率矩陣圖像，（3）板結構縱向曲率矩陣筋所在行圖像，（4）板結構橫向曲率矩陣筋所在列圖像，（5）板結構橫向曲率矩陣筋兩側各一列圖像；集合A、B、C、D與以上介紹的相同，集合F為板結構中沒有損傷出現(xiàn)，各集合的損傷位置的判斷已在算例中給出。如果出現(xiàn)3處或3處以上損傷，其損傷情況可以分解為上圖所示情況來判斷。

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Damage detection in stiffened panel based on flexibility curvature matrix

MA Jun1,CHEN Li2,ZHAO De-you1
(1 Department of Naval Architecture,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China；2 Dalian Shipbuilding Industry Engineering and Research Institute Co.,Ltd,Dalian 116021,China)

To detect and analyse the damage part of stiffened panel of the representative structure in ship engineering,a method,which is based on curvature flexibility matrix for the numerical simulation is presented.Instead of directly comparing the curvatures before and after damage,the method here uses modal parameters only in the damaged structure to detect the damage and consists of four steps:First,the stiffened panel is meshed into square elements.Second,the node flexibility matrix can be built with regard to structure response using absolute maximum in each column.Third,the curvature flexibility matrix is obtained in amplifying the variation of flexibility through second order differential coefficient.And finally,the damage location can be detected by the figure of flexibility curvature matrix or the figure of flexibility of array or column in the flexibility curvature matrix.The numerical analysis results indicate that this method is effective,useful and needs the lower mode data even the first mode data of the damaged structure.The detecting chart of damage detection in stiffened panel is obtained by lots of simulations.

stiffened panel;damage detection;flexibility matrix;flexibility curvature

U661.44

A

1007-7294（2011）08-0881-11

2011-01-06

馬 駿（1963-），男，大連理工大學船舶工程學院副教授，E-mail:junma@dlut.edu.cn；陳 立（1979-），男，博士生。