張震韜， 李芳武， 楊 擎， 苗 雨

(1．呼和浩特市公路工程質(zhì)量監(jiān)督站，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010037;2．華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

瀝青路面結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂縫所導(dǎo)致的早期破壞已成為一個普遍性問題。裂紋擴(kuò)展過程的模擬分析對路面使用壽命與強(qiáng)度評定具有重要的理論指導(dǎo)價值和工程意義。目前應(yīng)用于裂紋分析的數(shù)值方法，以傳統(tǒng)的有限元法(FEM)為主。然而，該方法存在兩個很大的弊端:(1)網(wǎng)格重構(gòu)，即裂紋每擴(kuò)展一步，有限元網(wǎng)格就需要重新劃分，極大地提高了計(jì)算量;(2)在FEM中，裂紋只能沿著單元的邊界開裂，這將嚴(yán)重影響計(jì)算精度。

1999年，美國西北大學(xué)Belytschko教授提出了一種全新的獨(dú)立于網(wǎng)格的裂紋分析數(shù)值方法——擴(kuò)展有限元法 (XFEM)［1，2］，并且在隨后的時間里不斷完善?，F(xiàn)在，XFEM已經(jīng)成為裂紋擴(kuò)展分析領(lǐng)域中最有前景的方法。在XFEM中，裂紋完全獨(dú)立于有限元網(wǎng)格，可以從單元內(nèi)部開裂，因此裂紋的擴(kuò)展過程完全無需考慮其形狀和走向，可以實(shí)現(xiàn)裂紋的全自動擴(kuò)展模擬。目前，擴(kuò)展有限元法已經(jīng)被成功應(yīng)用到很多問題的求解當(dāng)中［3，4］。

本文將擴(kuò)展有限元技術(shù)與斷裂力學(xué)理論相結(jié)合，對瀝青路面表面裂紋進(jìn)行擴(kuò)展模擬，為擴(kuò)展有限元法在瀝青路面裂紋分析中的進(jìn)一步應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 擴(kuò)展有限元法

擴(kuò)展有限元法的思想在于將待求解問題分為兩個獨(dú)立的部分［5］:問題域的有限元網(wǎng)格(不包括裂紋)和改進(jìn)函數(shù)(用于模擬裂紋或者其它不連續(xù)部分)。擴(kuò)展有限元法的基本思路如下:

假設(shè)點(diǎn)x∈Rd(d=1～3)位于單元e內(nèi)。設(shè)結(jié)點(diǎn)集合 N={n1，n2，…，nm}，其中m 是單元 e的結(jié)點(diǎn)數(shù)。(對于線性一維單元，m=2;常應(yīng)變單元，m=3;三維六面體單元，m=8。)則改進(jìn)之后的位移近似函數(shù)可以寫成下面的形式:

其中結(jié)點(diǎn)集合Ng的定義如下，

在式(2)中，ωJ=supp(nJ)是結(jié)點(diǎn)型函數(shù)φJ(rèn)(x)的支集，即以nJ為頂點(diǎn)的所有單元的并集;Ωg是與裂紋相關(guān)的區(qū)域;函數(shù)ψ(x)的選擇取決于問題內(nèi)部不連續(xù)的形式。

2 裂紋模擬

基于單位分解法的思想，XFEM通過改進(jìn)經(jīng)典有限元的位移近似，在裂紋面和裂尖所在的單元結(jié)點(diǎn)處增加附加自由度，以考慮裂紋的存在［6，7］。以單個二維裂紋為例(圖 1)，令 ΓC為裂紋表面，ΛC為裂紋尖端，裂紋輪廓為ˉΓC=ΓC∪ΛC，則位移近似函數(shù)可以寫成如下形式

圖1 裂紋存在時需增加改進(jìn)自由度的結(jié)點(diǎn)集Nf和Nc

其中 uI是結(jié)點(diǎn)位移向量的連續(xù)部分，aJ是與Heaviside函數(shù)相關(guān)的結(jié)點(diǎn)改進(jìn)自由度，bIK是與彈性漸近裂尖函數(shù)有關(guān)的結(jié)點(diǎn)改進(jìn)自由度。Nc是被裂紋面ΓC切割的單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)的集合，Nf是裂尖ΛC所在單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)的集合:

另外，對于裂紋問題還涉及兩個改進(jìn)函數(shù):

(1)廣義Heaviside函數(shù)H(x):對于裂紋表面，在裂紋的上方H(x)取1，在裂紋下方H(x)?。?1［8］，即

其中，x是所考察的點(diǎn)，x*是離x最近的裂紋面上的點(diǎn)，同時n是x*處裂紋的單位外法向量。

(2)裂尖函數(shù)ψI:為了模擬裂紋尖端，提高裂尖場的計(jì)算精度，裂尖函數(shù)應(yīng)包含二維漸近裂尖位移場的徑向和環(huán)向性態(tài)。對于各向同性彈性體，裂尖函數(shù)可以取為［9］

其中，r和θ為局部裂尖場坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)。

從上面可以看出，在XFEM中裂紋是完全獨(dú)立于有限元網(wǎng)格存在的，在進(jìn)行裂紋分析時不需要進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，因此計(jì)算效率將會大大提高。此外，裂紋的擴(kuò)展路徑不會受到網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的影響。

3 數(shù)值算例

存在表面裂紋的路面結(jié)構(gòu)在載荷的作用下主要表現(xiàn)為復(fù)合型裂紋(Ⅰ+Ⅱ型)。線彈性斷裂力學(xué)中關(guān)于復(fù)合型裂紋擴(kuò)展的斷裂理論主要有［10］:(1)最大周向拉應(yīng)力理論;(2)最小應(yīng)變能密度因子理論;(3)最大能量釋放率理論。

本文采用最大周向拉應(yīng)力理論進(jìn)行分析，該理論基于以下兩個假設(shè):(1)裂紋沿周向拉應(yīng)力取最大值的方向發(fā)展;(2)最大周向拉應(yīng)力達(dá)到臨界值時裂紋開始擴(kuò)展。

Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂紋的斷裂準(zhǔn)則為:

式中，K*為Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型應(yīng)力強(qiáng)度因子，θ0為裂紋擴(kuò)展角，即裂紋擴(kuò)展方向與裂紋面之間的夾角。

沿行車方向取一個長為15 m的平面應(yīng)變模型作為計(jì)算模型，如圖2所示，表面裂縫長4 cm，位于x=7．5 m處，半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)各層參數(shù)見表1。本文將行車荷載簡化成以當(dāng)量圓形式均勻分布的荷載，當(dāng)量圓半徑為0．15 m，荷載采用標(biāo)準(zhǔn)軸載 BZZ-100，輪胎接地壓力取0．7 MPa［10］。

圖2 含多裂紋的瀝青路面計(jì)算模型

表1 路面結(jié)構(gòu)各層參數(shù)

計(jì)算基本假定:(1)瀝青路面結(jié)構(gòu)各層均視為線彈性(裂紋部分除外);(2)道路結(jié)構(gòu)各層間位移連續(xù)。

已有的研究表明［12］，瀝青路面表面在交通載荷作用下在一定范圍內(nèi)路面表面處于受壓應(yīng)力狀態(tài)，而在一定范圍之外才受拉應(yīng)力作用，且最大受拉應(yīng)力的位置與瀝青路面結(jié)構(gòu)有關(guān)。由于有表面裂紋的存在，在交通荷載作用下裂紋面能自由變形，所以相對未開裂路面來說，交通荷載要離裂紋面相對遠(yuǎn)一些才能表現(xiàn)為受拉狀態(tài)。交通荷載距表面裂紋的距離取為1 m。

首先分析荷載位置對表面裂紋擴(kuò)展的影響，如圖3所示。荷載分別作用在距離表面裂紋1 m處的左右兩側(cè)，即荷載中心作用點(diǎn)分別位于x=6．5 m處和x=8．5 m處。從圖3可以看出表面裂紋的擴(kuò)展始終偏離荷載位置，大致呈直線形。

然后分析不同瀝青面層模量對表面裂紋擴(kuò)展的影響，如圖4、圖5所示。

圖3 荷載位置對表面裂紋擴(kuò)展的影響

圖4 面層模量對表面裂紋擴(kuò)展路徑的影響

圖5 面層模量對表面裂紋等效應(yīng)力強(qiáng)度因子K*的影響

從圖5可以看出，隨著面層模量的增加，K*增加，這或許是由于模量的增加導(dǎo)致面層承擔(dān)的行車荷載更多，使得面層受力更不利所致。圖4中，隨著面層模量的增加，裂紋擴(kuò)展過程中水平偏離增大，也就是擴(kuò)展路徑變長。但是由于面層模量的增加，K*也增大，所以，面層模量對表面裂紋擴(kuò)展壽命的影響需要做進(jìn)一步的研究才能確定。

4 結(jié)論

本文將一種新型的數(shù)值方法——擴(kuò)展有限元法(XFEM)應(yīng)用于瀝青路面多裂紋擴(kuò)展模擬。通過計(jì)算分析，得到一些結(jié)論:

(1)在XFEM中，裂紋完全獨(dú)立于有限元網(wǎng)格，可以從單元內(nèi)部開裂，因此裂紋的擴(kuò)展過程完全無需考慮其形狀和走向，可以實(shí)現(xiàn)裂紋的全自動擴(kuò)展模擬，是一種高效的數(shù)值方法。

(2)表面裂紋的擴(kuò)展通常是偏離荷載作用位置的，并且大致呈直線型擴(kuò)展。

(3)面層模量越大，裂紋擴(kuò)展過程中水平偏離越大，也就是擴(kuò)展路徑越長。但是由于面層模量的增加，K*也增大，所以，面層模量對表面裂紋擴(kuò)展壽命的影響需要做進(jìn)一步的研究才能確定。

［1］ Belytschko T，Black T．Elastic crack growth in finite element with minimal remeshing［J］．International Journal for Numerical Method in Engineering，1999，45(5):601-620．

［2］ Moe N，Dolbow J，Belytschko T．A finite element method for crack growth without remeshing［J］．International Journal for Numerical Method in Engineering，1999，46(1):131-150．

［3］ Fries T P，Belytschko T．The extended generalized finite element method:An overview of the method and its applications［J］．International Journal for Numerical Method in Engineering，2010，84:253-304．

［4］ Mohammadi S．Extended Finite Element Method for Fracture Analysis of Structures［M］．Blackwell:Oxford，2008．

［5］ Sukumarr N，Moe N，Moran B，et al．Extended finite element method for three-dimensional crack modeling［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，2000，48:1549-1570．

［6］ Melenk J M，Babuska I．The Partition of Unity Finite Element Method:Basic Theory and Applications［R］．Seminar fur Angewandte Mathematik，Eidgenossische Technische Hochschule，Research Report No．96-01，January，CH-8092 Zurich，Switzerland，1996．

［7］ Sukumar N，Prevost J-H．Modeling quasi-static crack growth with the extended finite element method．Part 1:Computer implementation［J］．International Journal of Solids and Structure，2003，40:7513-7537．

［8］ Dolbow J E．An extended finite element method with discontinuous enrichment for applied mechanics［D］．PhD dissertation，Theoretical and Applied Mechanics，Northwestern University，USA，1999．

［9］ Fleming M，Chu Y A，Moran B，et al．Enriched element-free Galerkin methods for crack tip fields［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，1997，40:1483-1504．

［10］ 李 灝．?dāng)嗔牙碚摶A(chǔ)［M］．成都:四川人民出版社，1983．

［11］ JTG D50-2006，公路瀝青設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．

［12］ Myers L A，Roque R，Birgisson B．Propagation mechanisms for surface-initiated longitudinal wheel path cracks［J］．Transportation Research Record:Journal of the Transportation Research Board，2001，1778:113-122．