劉超，王軍，郭治

(1.山西大學 物理電子工程學院，山西 太原030006;2.南京理工大學 自動化學院，江蘇 南京210094)

為使武器系統(tǒng)對其有效射擊區(qū)域內(nèi)的機動目標有盡可能高的射擊效能，應對不同的射擊過程建立相應的射擊體制［1］。對坦克系統(tǒng)而言，射擊域為射擊門在目標迎彈面上的投影;對高炮系統(tǒng)而言，射擊域為未來空域窗; 對跟瞄系統(tǒng)而言為現(xiàn)在空域窗。實際中機動目標的航路是由常態(tài)分量和隨機分量組成。目前對于常態(tài)分量的預測研究較多，而對隨機分量，常作隨機擾動而不納入指標范疇。事實上當目標常態(tài)分量的預測較準確，使射擊域中心與常態(tài)航路保持相對一致時目標隨機分量會平穩(wěn)地隨機穿越射擊域。文獻［2-3］研究了機動目標隨機穿越射擊域時的概率模型及其精度問題?；谶@些模型，文獻［4-5］分別研究了隨機穿越情況下穿越周期內(nèi)和滯留時間內(nèi)毀傷概率的估計問題。文獻［6］研究了隨機穿越情況下給定滯留時間個數(shù)時毀傷概率的估計問題。這些研究是基于: 只有當目標處于射擊域時射擊，且當射彈抵達射擊域時目標也在該域中時，才可能以概率命中目標。在實際中，射擊域的設置、射彈散布及密集度、射速和彈速的確定以及目標自身的機動特性共同決定了目標對射擊域的滯留時間和毀傷概率。但由于滯留時間的隨機性，即使合理配置的情況下也會出現(xiàn)小的滯留時間。當滯留時間小于射彈反應時間，那么在本次滯留時間內(nèi)是無法命中目標的，即使在射彈飛抵時間內(nèi)目標有可能多次穿越射擊域，但兩者又同時在射擊域內(nèi)交匯的概率非常小。所以考察那些大于射彈反應時間的滯留時間內(nèi)的毀傷概率具有實際意義。通常的毀傷率是指在規(guī)定的總發(fā)彈量或給定時間內(nèi)連續(xù)射擊條件下命中預定目標發(fā)數(shù)的概率［7-8］。由于目標在射擊域中的滯留時間是隨機變量，所以機動時的射擊效能和毀傷率分析，應將滯留時間序列的概率特性納入其中。本文基于給定時間與滯留時間序列的概率關系及武器系統(tǒng)射擊的延時特性，研究隨機穿越情況下給定時間內(nèi)毀傷概率的估計問題，提出一種在給定時間內(nèi)通過求解對應的統(tǒng)計滯留時間序列中大于一定值的有效滯留時間數(shù)量的概率的方法，給出相關的表達式及其近似公式，通過仿真分析給出相關結論。

1 問題描述及定理

定義1 定義目標處在射擊域內(nèi)時的射擊為有效射擊或滯留射擊。

定義2 定義在規(guī)定時間內(nèi)以確定的射擊規(guī)則進行滯留射擊時命中規(guī)定彈數(shù)以上的概率為隨機穿越毀傷率。

本文考慮若在給定時間tg內(nèi)，滯留時間和待機時間的個數(shù)分別服從參數(shù)為μ0和μ1的泊松分布，則在tg內(nèi)滯留時間個數(shù)的均值為［9］

可見，給定了tg就可確定tg內(nèi)的平均滯留時間個數(shù)因此，以作為統(tǒng)計量對tg內(nèi)的統(tǒng)計滯留時間序列進行分析，可以得到tg對應下的相關統(tǒng)計量。因此定義2 可進一步敘述為:

定義3 定義在給定平均滯留時間個數(shù)N 內(nèi)，以確定的射擊規(guī)則進行滯留射擊時命中規(guī)定彈數(shù)以上的概率為給定時間下滯留時間序列的毀傷率。

若考慮武器系統(tǒng)從目標進入射擊域瞬時下達的射擊指令到彈頭射出存在的系統(tǒng)延時td，則目標的實際有效滯留時間tr應滿足tr≥td.這時，在所對應的序列{ X1，X2，…，} 中，那些滿足不小于td的滯留時間中存在命中概率。

設在ξ=ti條件下，{N( t-ti)，t≥ti} 是一個隨機射擊計數(shù)過程。記ξ≥0 為目標進入射擊域時刻，t≥ξ 為目標離開射擊域時刻，ξ，t 為正隨機過程，則該過程為滯留時間條件計數(shù)過程。記為{Nξ=ti( t-ti)，t≥ti}.

考慮射擊時間間隔{ηi，i=1，…} 服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布［10］，其密度函數(shù)為fη( τ)=γe-τγ，γ≥0.由于在ξ=ti條件下，射擊次數(shù)計數(shù)過程{ N( t-ti)，t≥ti}的點間隔序列{ηi，i=1，…}為相互獨立、同指數(shù)分布的隨機變量，所以滯留時間條件計數(shù)過程{Nξ=ti( t- ti)，t ≥ti} 是參數(shù)為γ 的條件Poisson過程。

引理1 設一個計數(shù)過程{Nc( t)，t≥0} 是參數(shù)為γ 的泊松過程。如果其中歸為一類事件發(fā)生的概率為p，而歸為另一類事件發(fā)生的概率為(1-p)，則{Nc( t)，t≥0} 可分裂成2 個參數(shù)分別為pγ 和γ(1-p)的泊松過程{ Nc1( t)，t ≥0} 及{ Nc2( t)，t≥0}.

定理1 若滯留射擊內(nèi)的射擊時間間隔是參數(shù)為γ 的同指數(shù)分布，平均單發(fā)命中概率為p.則一次滯留射擊過程中，滯留命中計數(shù)過程{Mξ=ti( t-ti)，t≥ti}是一個參數(shù)為pγ 的條件Poisson 過程。

證明1 由條件可知，滯留射擊內(nèi)的射擊次數(shù)Nξ=ti( t-ti)是參數(shù)為γ 的Poisson 過程。相應的滯留命中次數(shù)可表示為

其中，Ii為第i 次射擊的示性函數(shù)，即命中時為1，否則為0.所以Ii是(0-1)分布

由引理1 可得{ Mξ=ti( t-ti)，t≥ti} 是參數(shù)為pγ 的Poisson 過程。即一次滯留射擊中命中k 發(fā)的概率為

式中:( t-ti)為滯留時間，是隨機變量，可記為tr=( t-ti).所以，(2)式是一個以k 為參數(shù)，以tr為隨機變量的隨機函數(shù)，記

定理2 在一個滯留時間中，命中k 發(fā)以上所需的滯留時間的下限滿足

式中td為武器系統(tǒng)從目標進入射擊域瞬時下達射擊指令到彈頭射出時存在的射擊延時。

證明2 若射擊時間間隔服從γ 的指數(shù)分布，則平均射擊間隔為1/γ，由定理1 可得射擊過程中的平均命中時間間隔為1/pγ，則命中目標k 發(fā)所需的最小平均滯留時間為( k-1)/pγ.若再考慮首發(fā)射擊延時td，則命中k 發(fā)以上所需的滯留時間tr應大于下限值t1( k)，即應滿足(4)式。證畢。

(4)式給出了命中目標發(fā)數(shù)k 與最小平均有效滯留時間之間的概率關系。從而可以通過求解在給定時間tg內(nèi)對應的中有效滯留時間個數(shù)的概率來估計毀傷概率。以下利用伽馬分布的一個特性導出滯留時間為指數(shù)分布時，給定tg下個滯留時間中大于有效滯留時間的個數(shù)的概率。

引理2［10］若{Yi，i=1，…} 獨立同分布，具有參數(shù)為n 和b 的伽馬分布Γ( n，b)，則Yi的概率函數(shù)為

則X 中有l(wèi) 個不小于給定值C 的概率為

其中

為Xi≥C 的概率。

證明3 由{Xi，i=1，…，N}的獨立性可知，L 是具有參數(shù)為和pc的二項分布，則( 5)式成立。再由引理2 可得

定理4 若滯留時間序列獨立同服從參數(shù)為b的指數(shù)分布EP( b)，則中有l(wèi) 個有效滯留時間的概率為

即，令(6)式中的n=1，再代入(5)式，即得(7)式。

2 滯留時間序列的毀傷概率

2.1 毀傷率表示

設彈目在射擊域內(nèi)散布偏差的密度函數(shù)為f .當目標迎彈面Ω0落入射擊域時開始射擊。則二維射擊域中的平均單發(fā)命中概率為

1)給定滯留時間序列下的毀傷率

在tg內(nèi)，滯留時間tr出現(xiàn)的可能范圍為0≤tr≤tg，但在tr≤td中，命中目標的概率幾乎為0.若毀傷目標至少需要命中目標m 發(fā)彈，由( 4)式可知，tr應滿足tl( k)≤tr≤tg，lk≥m，1≤k≤m.其中l(wèi) 為中滿足tr≥tl( k)的有效滯留時間個數(shù)。記P{m|為個滯留時間序列中命中m 發(fā)的概率。則由定理3 及定理4 可得，在給定參數(shù)μ0、及m 和k時，至少命中m 發(fā)的滯留時間序列毀傷率為

2)首段滯留時間內(nèi)的毀傷率

2.2 毀傷率的近似計算

通常，用(9)式計算并不方便。以下給出它的2 種不同條件下的近似計算公式。

式中Φ(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)。

即上式是參數(shù)為Npc的Poisson 分布。( 12)式和(13)式的計算可通過標準分布表得到。

3 應用與仿真分析

在實際中，對于確定的射擊域和具體的一個機動目標，μ0和μ1是確定的。在給定時間tg下可由(1)式得到對應的平均滯留時間個數(shù)根據(jù)毀傷目標至少需要命中目標的彈數(shù)m，確定個滯留時間內(nèi)的射彈密集度和武器配置，以保證射彈量大于m.由射彈密集度可以確定平均射擊時間間隔1/γ.

以下通過仿真來驗證和分析本文中的主要結論(9)式、(12)式的正確性和實用性。為簡化運算便于比較，給出了給定時幾組無量綱參數(shù)的仿真結果。已知=10，p=0.08，γ=30，td=0.6，平均滯留時間分別取: 1/μ0=0.6，1，1.5，2，2.5;預期毀傷率分別取m=1，2，3，4，5;l=1.估計tg條件下中至少有1 個滯留時間滿足命中至少m 發(fā)的毀傷概率。

由以上參數(shù)，直接利用( 9)式或( 12)式可以得到給定tg時至少命中m 發(fā)的毀傷概率。

一個仿真實驗結果列在表1中。表中第1 列的第1 行(0.827 90)表示在μ0和μ1確定下，給定時間tg內(nèi)至少滿足命中一發(fā)的毀傷概率，第2 行(0.545 98)表示給定時間tg內(nèi)至少滿足命中2 發(fā)的毀傷概率。由表可看進一步出:m 不變，毀傷概率隨1/μ0的增大而增大。即當平均滯留時間增大時，意味著滯留序列中滿足毀傷目標所需的有效滯留時間個數(shù)的概率也增大，從而使預期命中發(fā)數(shù)m 以上的概率也隨之增大。由此可見，當1/μ0很大時，滯留毀傷率將趨于通常意義下的射擊時間無限制的情況。所以常規(guī)射擊時的毀傷率問題是本方法中的一個特例;當滯留時間參數(shù)不變時，毀傷概率會隨m的增大而減小，這說明滯留時間均值不變時，滿足較大的預期命中發(fā)數(shù)m 所需的有效滯留時間個數(shù)的概率會下降，因而毀傷率也隨之下降; 表中標識‘* ’的列中數(shù)據(jù)是對應前一列參數(shù)利用(12)式得到的結果。易見，由(12)式同樣可得到較精確的計算的結果。

表1 滯留時間序列毀傷率的分析結果(=10)Tab.1 Analysis results on kill probability based on residence time processes

表1 滯留時間序列毀傷率的分析結果(=10)Tab.1 Analysis results on kill probability based on residence time processes

m 1/μ0 0.6 1.0 1.5 *2.0 2.5 1 0.827 90 0.992 62 0.998 83 0.998 03 0.999 89 1.000 00 2 0.545 98 0.928 13 0.990 05 0.987 95 0.998 32 0.999 98 3 0.256 55 0.764 28 0.949 51 0.947 70 0.987 70 0.996 82 4 0.086 51 0.517 60 0.838 48 0.838 90 0.945 23 0.980 10 5 0.020 95 0.273 88 0.638 98 0.639 84 0.833 76 0.922 03

由(9)式可知，不同的l 情況下所得命中期望發(fā)數(shù)m 的概率是不同的，而每種情況都可能發(fā)生。因而，在給定的tg和m 時，存在著至少命中m 發(fā)的最大概率和最小概率，即存在一個概率區(qū)間

對上式概率區(qū)間求平均值得

上式表示給定tg時至少命中m 發(fā)的所有毀傷概率的平均值。因此可以用這一統(tǒng)計特征來整體評估一個武器系統(tǒng)對一類目標在機動時的毀傷概率。

4 結論

本文基于時間固定與滯留時間隨機之間的關系，研究了給定時間內(nèi)統(tǒng)計滯留時間序列的命中與毀傷概率的相關特性，得到有效滯留時間與命中次數(shù)之間的關系;通過泊松分布與伽馬分布的有關性質，導出了一種利用求解給定時間內(nèi)平均滯留時間

序列中滿足有效滯留射擊時間個數(shù)的概率來估計給定時間下的毀傷率的解析表示和近似計算公式，最后進行了應用分析，并通過仿真實驗分析了毀傷率與各參數(shù)之間的關系及結論的正確性。結果表明常規(guī)射擊時的毀傷率可歸為本方法中的一個特例，因而具有普適性，可為機動條件下的毀傷效能評估提供一種實用的方法。

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