史躍東，王德石

(海軍工程大學 兵器工程系，湖北 武漢430033)

火炮射擊過程中，身管的加工缺陷和自重彎曲、布爾登效應(yīng)、移動彈丸的重力和偏心力、膛內(nèi)的旋轉(zhuǎn)摩擦力矩等［1］諸多因素均會影響射擊精度。其中彈丸膛內(nèi)高速運動下的重力和偏心力是激發(fā)身管振動的一個主要因素，同時，火炮新型發(fā)射原理的誕生，也對彈丸運動沖擊引起的振動產(chǎn)生了研究需求。在高速彈丸的運動激勵下，將產(chǎn)生運動與身管振動的耦合，這種耦合在常規(guī)出口速度的條件下，往往不被重視，而新型電磁炮發(fā)射架的總體設(shè)計中，由于彈丸出口速度的提高，彈丸膛內(nèi)高速運動將引起發(fā)射架的何種振動就成為需要研究的理論問題。高速運動彈丸有可能成為影響火炮射擊精度的重要因素。因此，有必要對彈丸膛內(nèi)運動引起的身管振動的動力學過程進行研究。

對于此類問題的研究，早期主要存在于鐵路、橋梁和機械工程領(lǐng)域，其討論的重點為移動質(zhì)量載荷作用下梁的動力響應(yīng)［2-4］。在國內(nèi)，葉開沅等［5］針對列車過橋問題，建立了任意單個移動激勵作用下鐵路橋梁的動力學方程，并采用小參數(shù)法給出了方程的一般解; 姜沐［6］采用Picard 迭代法對文獻［5］中方程進行了重新求解，在應(yīng)用上更具廣泛性，且簡明易用。周叮［7］和康新中等［8］將該類分析方法應(yīng)用于火炮振動領(lǐng)域，研究了彈丸膛內(nèi)運動引起的火炮身管橫向振動問題，但只進行了定性分析，沒有進行定量計算;在忽略移動載荷慣性效應(yīng)的前提下，姜沐［9］進一步建立了加速彈丸作用下火炮身管橫向振動方程，給出了級數(shù)形式的解析解和定量計算結(jié)果。到目前為止，在火炮振動研究領(lǐng)域內(nèi)，關(guān)于這方面的研究工作還較少，理論分析與定量計算也不多。

在以往該類研究的基礎(chǔ)上，建立了彈丸膛內(nèi)高速運動下計及其慣性效應(yīng)的火炮身管橫向振動方程，采用小參數(shù)法給出了方程級數(shù)形式的解析解，討論了彈丸有、無質(zhì)偏2 種工況下的身管振動特性，分析了不同運動參數(shù)對炮口振動的影響規(guī)律，給出了定量比較結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上進一步研究了連發(fā)射擊下的炮口振動響應(yīng)，得到的結(jié)論可為火炮與彈藥的總體設(shè)計、結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供技術(shù)基礎(chǔ)。

1 移動彈丸作用下身管橫向振動方程

將身管簡化為一端固定另一端自由的歐拉均勻等截面懸臂梁，假定彈丸沿炮膛軸線運動，力學模型如圖1所示。圖1中:m 為彈丸質(zhì)量;α 為射角;l 為身管長度;v 為彈丸膛內(nèi)運動平均速度;y(x，t)為身管在坐標(x，0)處的撓度; F(t)為不計慣性效應(yīng)時彈丸膛內(nèi)運動作用于身管上的等效合外力。

設(shè)身管的抗彎剛度為EI，質(zhì)量為M，取縱坐標Oy，橫坐標Ox，在計及阻尼和彈丸慣性效應(yīng)時，移動彈丸作用下身管橫向振動方程(Oy 方向為正向)

式中:H 為阻尼衰減系數(shù); δ(x - vt)為Dirac 函數(shù);為計及彈丸慣性效應(yīng)后作用于身管上的外力附加項。(1)式的邊界條件和初始條件分別為

欲使上述方程更具一般性，進行無量綱化處理，引入下列無量綱變量

則(1)式～(3)式的無量綱形式分別為

鑒于ε?0.5，選其為小參數(shù)，在邊界條件(6)式和初始條件(7)式下，用小參數(shù)法［10］(5)式。將(5)式的解w 展成如下形式的ε 的升冪級數(shù)

式中:w0，w1，w2，…為含x'，t'的待定函數(shù)。將(8)式代入(5)式～(7)式中，同時將ε 因次相同的項合并在一起，可得一系列關(guān)于w0，w1，w2，…及相應(yīng)邊界條件、初始條件的微分方程。

對于w0，有如下方程，邊界條件和初始條件

令w0的解為

式中:λi=(i-0.5)π;Φi(x')為滿足邊界條件(10)式的懸臂梁振型函數(shù)。將(12)式代入(9)式，兩端乘以Φi(x')，然后由0 到1 對x'積分，得

其中

將(12)式代入(11)式，即得對應(yīng)于w0的初始條件

在初始條件(14)式下，由Duhamel 積分解(13)式可得

因此(9)式的解可寫為

對于w1，有如下方程，邊界條件和初始條件

令w1的解為

將(16)式、(20)式代入(17)式，進行和前面過程一樣的處理，得如下方程和初始條件

式中

這里

在初始條件(22)式下，解(21)式得

對于w2，w3，…，可按同樣思路求解，將其全部代入(8)式，即可得w 級數(shù)形式的解析表達式。

2 振動算例

由于彈丸膛內(nèi)高速運動具有瞬時沖擊性，即使身管發(fā)生輕微彎曲，彈丸通過時也會對其產(chǎn)生極大的作用力。這里將彈丸對身管的作用力分為2 種工況進行討論: 1)彈丸無質(zhì)偏，2)彈丸有質(zhì)偏。

2.1 彈丸無質(zhì)偏

當彈丸無質(zhì)偏時，(1)式中等效合外力F(t)可簡化為移動彈丸自重對身管的作用力，因此有

式中:f(t')為ε 的一次式，故可將其并入(5)式無量綱化處理后的慣性附加項中。此時采用前敘小參數(shù)法進行振動方程的求解，易知w 中的w0分量恒為0，只須計算ε 的非0 次項即可，可設(shè)

將(24)式～(25)式代入(5)式，整理可得對應(yīng)于wq，q=1，2，…，的振動方程，這里以w1為例有

式中邊界條件、初始條件和解法的處理與前面介紹的完全一致。求得w1后，采用類似方法可迭代求出w 中其余各項，再利用(4)式反解算出y，即可完成問題的最終求解。

對此種工況下推得的解析結(jié)果進行了數(shù)值仿真，參數(shù)選取:m=13.5 kg;v=687.5 m/s;l=5.5 m;α=45°; E =210 GPa; g =9.8 m/s2.仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 炮口振動分量yn(l，t)Fig.2 Component yn(l，t)of muzzle vibration

圖2為與w(1，t')相對應(yīng)的炮口振動幅度y(l，t)的各分量仿真結(jié)果。從圖2可以看出，y1(l，t)的數(shù)值變化范圍(10-6m)遠大于其余分量(10-7m)，因此在y(l，t)的最終數(shù)值確定中起主導地位。圖3為不同計算精度下y(l，t)的仿真結(jié)果，其中實線為計算到(25)式的第3 項，虛線為計算到第5 項。比較圖中曲線可發(fā)現(xiàn)，2 種情況下的仿真結(jié)果一致，誤差＜1%.實際上，由文獻［11］可知，一般情況下，采用小參數(shù)法進行本類問題的求解，取小參數(shù)解的前3 項便有足夠的精度。

圖3 不同計算精度下的炮口振動y(l，t)Fig.3 Muzzle vibration y(l，t)under different calculation precisions

改變彈丸膛內(nèi)運動速度v，重新進行炮口振動幅度y(l，t)的數(shù)值仿真，所得結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，隨著v 的增大，彈丸飛出炮口階段(0.7l/v≤t≤l/v)的炮口振動幅度減小; 反之，v 減小，振動幅度增大。

圖4 不同運動速度下的炮口振動y(l，t)Fig.4 Muzzle vibration y(l，t)at different projectile velocities

圖5 v 趨近于0 時的炮口振動y(l，t)Fig.5 Muzzle vibration y(l，t)when v approaches 0

圖5為v 趨近于0 時的炮口振動仿真結(jié)果。此時觀察彈丸飛出炮口瞬時(t =l/v)的炮口振動幅度y(l，l/v)，結(jié)果如表1所示。表1中，v=0 時的y(l，l/v)值是在不考慮阻尼和彈丸慣性效應(yīng)的前提下計算出來的，其值與彈丸直接作用于炮口處的靜態(tài)形變值相同。比較表中數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，隨著v 的不斷減小，彈丸飛出炮口瞬時炮口處的振動形態(tài)逐漸趨近于彈丸直接作用于炮口處的靜變形。

表1 v 趨近于0 時的炮口振動y(l，l/v)Tab.1 Muzzle vibration y(l，l/v)when v approaches 0

圖6為v 趨近于∞時的炮口振動仿真結(jié)果。與v 趨近于0 時類似，觀察彈丸飛出炮口瞬時的炮口振動幅度y(l，l/v)，結(jié)果如表2所示。隨著v 的不斷增大，彈丸飛出炮口瞬時炮口處的振動形態(tài)逐漸趨近于靜止。

圖6 v 趨近于∞時的炮口振動y(l，t)Fig.6 Muzzle vibration y(l，t)when v approaches ∞

表2 v 趨近于∞時的炮口振動y(l，l/v)Tab.2 Muzzle vibration y(l，l/v)when v approaches ∞

2.2 彈丸有質(zhì)偏

彈丸膛內(nèi)運動時，由于膛線的作用，使得彈丸沿身管軸線方向除作高速平移運動處，還作高速旋轉(zhuǎn)運動。此時彈丸如果存在質(zhì)偏，其在膛內(nèi)的高速旋轉(zhuǎn)運動就會產(chǎn)生極大的離心力，從而影響彈丸與身管之間的作用力。反映到(1)式中，F(xiàn)(t)不能再僅簡化為彈丸自重對身管的作用力，而應(yīng)附加考慮彈丸離心力的作用，即

式中:Rs為彈丸質(zhì)量偏心距;ω 為彈丸膛內(nèi)轉(zhuǎn)速。對于等齊膛線，由彈道學相關(guān)理論知

式中: η 為纏度; d 為身管內(nèi)徑。將(27)式、(28)式代入(24)式，整理有

求得f(t')后，采用與彈丸無質(zhì)偏時相同的處理方法，即可完成問題的求解。下面重點考察彈丸質(zhì)量偏心對身管炮口處振動幅度的影響，即僅取f(t')表達式中的第2 項來討論。參數(shù)選取: η =27，Rs=10-4d，其余參數(shù)保持不變，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 質(zhì)偏作用下炮口振動y(l，t)Fig.7 Muzzle vibration y(l，t)for mass-unbalance projectile

圖7給出了彈丸質(zhì)偏作用下炮口振動隨時間變化的響應(yīng)曲線，其數(shù)值變化范圍與圖3中相同，都為10-6m.但比較兩圖后可發(fā)現(xiàn)，質(zhì)偏作用下單次射擊周期內(nèi)的炮口振蕩次數(shù)明顯增多了，這主要是因為F(t)中含有正弦變化量所引起的。

圖8為變化彈丸膛內(nèi)運動速度v 后，質(zhì)偏作用下炮口振動的仿真曲線。從圖8中可看出，隨著v的增大，彈丸飛出炮口階段(0.7l/v≤t≤l/v)的炮口正向振動幅度減小，負向振動幅度增大; 反之，v 減小，則運動規(guī)律相反。事實上，由于考慮質(zhì)偏時F(t)的取值比較復雜，既與彈丸運動速度v 相關(guān)，又為t 的周期函數(shù)，因此圖8中反映出的炮口振動變化規(guī)律僅在局部范圍(膛內(nèi)運動時間處于6～10 ms)內(nèi)成立，對于全局范圍內(nèi)的炮口振動還需進一步分析。取v 趨近于0，重新進行炮口的振動仿真，如圖9所示。比較圖9中曲線可發(fā)現(xiàn)，隨著v 的取值大幅度減小，炮口振動幅度亦大幅度減小，并逐漸趨近于0.分析可知，由于v 的取值大幅度減小，勢必造成彈丸離心力的大幅度減小，從而導致炮口振幅的快速衰減。同理，亦可對v 趨近于∞時的炮口振動特性進行分析。

圖8 不同運動速度下的炮口振動y(l，t)Fig.8 Muzzle vibration y(l，t)at different projectile velocities

圖9 v 趨近于0 時的炮口振動y(l，t)Fig.9 Muzzle vibration y(l，t)when v approaches 0

2.3 連發(fā)射擊

進一步討論連發(fā)射擊時移動彈丸激勵下身管的橫向振動特性。這里以2 連發(fā)為例，設(shè)第1 發(fā)彈丸飛出炮口瞬時，第2 發(fā)彈丸恰好進入膛內(nèi)，則對第2發(fā)彈丸激勵下的身管有以下初始條件

式中: w*為第2 發(fā)射擊時的無量綱撓度; tg為無量綱射擊間隔; A、B 為第2 發(fā)彈丸激勵下的身管狀態(tài)初值，由第1 發(fā)彈丸激勵下身管的末狀態(tài)值決定。此時，對應(yīng)于第2 發(fā)彈丸的方程(15)式應(yīng)改寫為

采用類似方式，可改寫文中對應(yīng)于第2 發(fā)彈丸的其余方程，并依此進行動力學仿真。參數(shù)選取與彈丸無質(zhì)偏時一致，仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 2 連發(fā)射擊下的炮口振動Fig.10 Muzzle vibration y(l，t)in burst of fire

由圖10可知，連發(fā)彈丸激勵下的炮口振動幅度數(shù)量級為10-5m，遠大于單發(fā)激勵時的10-6m.可見第2 發(fā)彈丸激勵下的炮口振動受到第1 發(fā)的影響，使得炮口振動有增大趨勢，即火炮連發(fā)射擊時的炮口振動幅度遠大于單發(fā)射擊，因此射擊精度會有所下降。同時還可發(fā)現(xiàn)，連發(fā)射擊時的炮口振動較為復雜，并不是單發(fā)激勵下炮口振動的簡單重現(xiàn)。同樣，可進行多連發(fā)射擊下炮口振動的動力學仿真。

3 結(jié)論

本文基于小參數(shù)理論討論了計及慣性效應(yīng)的移動彈丸作用下身管橫向振動特性，并對彈丸有、無質(zhì)偏2 種工況下及連發(fā)射擊下的炮口振動響應(yīng)進行了較全面的分析，得到主要結(jié)論如下:

1)彈丸無質(zhì)偏時，膛內(nèi)運動速度v 越大，其飛出炮口階段的炮口振動幅度越小。對于新型電磁炮而言，雖然彈丸運動速度遠大于常規(guī)火炮，但對發(fā)射架的振動影響不大。

2)彈丸有質(zhì)偏時，其離心力作用下的炮口振動特性較為復雜，應(yīng)綜合考慮彈丸離心力、自重等因素的影響，合理控制彈丸膛內(nèi)的運動速度，使得合外力F(t)作用下的炮口振動保持盡量小的幅度。以達到對炮口振動的最佳抑制。

3)建立的動力學方程同樣適用于連發(fā)彈丸激勵下的身管振動求解。連發(fā)射擊下的炮口振動遠大于單發(fā)射擊，射擊精度呈下降趨勢。

文中采用的建模方法和小參數(shù)解法，亦可應(yīng)用于移動激勵作用下其它相關(guān)工程振動問題的求解。下一步工作的研究方向為考慮v 隨t 變化的情況，此時方程(5)式中各偏導項系數(shù)不再為常量，而為t的函數(shù)，問題求解的工作量會有所增大。

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