楊鋒平，孫 秦，羅金恒，張 華，張 奕

（1中國(guó)石油集團(tuán)石油管工程技術(shù)研究院，石油管力學(xué)和環(huán)境行為重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710065；2西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072）

平面狀態(tài)下EWK延性斷裂準(zhǔn)則與K準(zhǔn)則對(duì)比研究

楊鋒平1，孫 秦2，羅金恒1，張 華1，張 奕1

（1中國(guó)石油集團(tuán)石油管工程技術(shù)研究院，石油管力學(xué)和環(huán)境行為重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710065；2西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072）

為研究EWK延性斷裂準(zhǔn)則對(duì)金屬起裂及擴(kuò)展的預(yù)測(cè)能力，將EWK斷裂算法嵌入ABAQUS主程序。針對(duì)金屬I型裂紋，在平面應(yīng)變條件下，通過試驗(yàn)與有限元計(jì)算相互對(duì)比的方法，研究了該準(zhǔn)則與應(yīng)力強(qiáng)度因子K準(zhǔn)則對(duì)緊湊拉伸CT試樣起裂的預(yù)測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩者有近似等效性。在平面應(yīng)力條件下，以緊湊拉伸CS試樣為模型，通過有限元計(jì)算，提取由EWK控制斷裂的結(jié)構(gòu)KR-曲線，將該曲線與試驗(yàn)資料對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩者吻合良好。

EWK延性斷裂準(zhǔn)則；應(yīng)力強(qiáng)度因子；KR-曲線；有限元方法

1 引 言

金屬材料斷裂往往是一種彈塑性斷裂，相關(guān)研究工作非常多見。按理論歸類，這些工作主要集中在以下三類：第一、以古典強(qiáng)度理論為依據(jù)。這部分內(nèi)容非常豐富，中文可參考俞茂宏教授的論文[1]或

專著[2]；第二、以斷裂力學(xué)的應(yīng)力強(qiáng)度因子和J積分等為理論依據(jù)；第三、以損傷力學(xué)為理論依據(jù)。三者特別是前兩者為許多工程問題的解決提供了強(qiáng)有力的支持，而第三者則正在成為更好的理論。三者各自的缺陷在于，古典強(qiáng)度理論對(duì)材料進(jìn)行了理想化的假設(shè)，對(duì)斷裂的研究大部分停留在經(jīng)驗(yàn)上。斷裂力學(xué)有比較完善的理論體系，但其研究對(duì)象是含裂體，且對(duì)裂紋作了理想化的假設(shè)。對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu)從無初始裂紋開始斷裂或含復(fù)雜形狀裂紋的問題則無能為力。損傷力學(xué)由50年代前蘇聯(lián)學(xué)者Kachanov提出雛形，其發(fā)展特別是連續(xù)損傷力學(xué)（CDM）的發(fā)展是在70年代由Lemaitre教授[3]領(lǐng)導(dǎo)完成。宏細(xì)觀結(jié)合的損傷力學(xué)被認(rèn)為是研究斷裂最有前途的方法，不過就目前而言，損傷因子的演化方程一直是理論與試驗(yàn)亟待突破的瓶頸。

基于理論一或三的一類重要工程應(yīng)用是各種金屬延性斷裂準(zhǔn)則，主要解決無初始裂紋結(jié)構(gòu)的開裂問題，在金屬成型等領(lǐng)域起著重要作用。如何評(píng)定某種準(zhǔn)則的精確程度成為其控制斷裂的關(guān)鍵，目前較為多見的方法是通過幾類不同的試驗(yàn)[4-10]，包括不同尺寸的鐓粗、拉伸試驗(yàn)，然后建立試驗(yàn)的有限元模型，將基于該延性斷裂準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)比，以此確定這種延性斷裂準(zhǔn)則的優(yōu)劣，本文作者也研究過此類方法。該方法的不足之處在于其判定的依據(jù)僅來自有限的幾類試驗(yàn)，無法從理論上獲得更多的支持。

由于斷裂力學(xué)有比較完善的理論基礎(chǔ)，若某種延性斷裂準(zhǔn)則的判定結(jié)果與斷裂力學(xué)的判定結(jié)果一致，則說明該準(zhǔn)則與斷裂力學(xué)K或J準(zhǔn)則等效，從而獲得了一定的理論支持。在等效關(guān)系確立后，可進(jìn)一步認(rèn)為對(duì)于K準(zhǔn)則或J準(zhǔn)則無法解決的問題（例如無初始裂紋結(jié)構(gòu)開裂問題），可以試圖用該延性斷裂準(zhǔn)則解決，當(dāng)然其最終結(jié)果需要試驗(yàn)評(píng)定。這樣做的實(shí)質(zhì)是把基于古典強(qiáng)度理論或損傷力學(xué)理論的金屬延性斷裂準(zhǔn)則與斷裂力學(xué)理論結(jié)合在一起考慮，充分發(fā)揮了各自的優(yōu)勢(shì)，使得到的結(jié)論更加合理。然而很少有學(xué)者在同樣的結(jié)構(gòu)中將兩者一起對(duì)比，本文的研究工作即在于此。通過兩種緊湊拉伸試樣（兩類模型均滿足小范圍屈服假設(shè)，金屬小范圍屈服僅表示塑性區(qū)范圍較小，但塑性區(qū)內(nèi)變形仍非常劇烈，材料斷裂屬于韌性斷裂），將Kamoulakos博士提出的EWK延性斷裂準(zhǔn)則[11]與K準(zhǔn)則對(duì)比。結(jié)果證實(shí)了EWK準(zhǔn)則與K準(zhǔn)則有較好的互換性。

2 EWK斷裂模型

EWK模型是Kamoulakos博士在McClintock、Wilkins（主要貢獻(xiàn)）等人的工作基礎(chǔ)上加以總結(jié)，在假設(shè)裂紋形成和擴(kuò)展是材料一個(gè)連續(xù)特性的前提下，認(rèn)為結(jié)構(gòu)斷裂是材料應(yīng)變損傷的累積結(jié)果。裂紋的起始、擴(kuò)展和結(jié)構(gòu)的斷裂主要取決于危險(xiǎn)區(qū)域現(xiàn)時(shí)和歷史的受力情況，獨(dú)立于危險(xiǎn)區(qū)域的形狀、邊界條件，除非危險(xiǎn)區(qū)域的形狀和邊界條件影響著它的受力情況。他給出公式如下：

當(dāng)材料中某個(gè)點(diǎn)的損傷變量Dp值達(dá)到臨界值時(shí)，以該點(diǎn)為中心的某個(gè)局部區(qū)域（半徑為Rc的圓）斷裂失效。式中εp表示等效塑性應(yīng)變，p代表該點(diǎn)所受的靜水壓力，Si表示應(yīng)力偏量；α、β為材料常數(shù)，分別代表拉、剪對(duì)材料微孔洞生長(zhǎng)的影響因子，plim表示不考慮孔洞效應(yīng)時(shí)的理想極限靜水壓力，為材料常數(shù)。該模型與損傷力學(xué)概念的區(qū)別之處在于，認(rèn)為損傷變量Dp的演化不影響材料的本構(gòu)關(guān)系。因?yàn)閺谋磉_(dá)式看，Dp是由代表外力作用因素的量（w1代表拉、w2代表剪）構(gòu)成，而不是由諸如材料微孔洞面積等內(nèi)部因素構(gòu)成，因此它不影響本構(gòu)曲線。微孔洞的生長(zhǎng)等材料內(nèi)部因素則由α、β確定，認(rèn)為是材料常數(shù)。從斷裂力學(xué)角度考慮，Dp具有應(yīng)變能密度性質(zhì)，一定程度上和斷裂力學(xué)中的能量釋放率理論吻合。從古典強(qiáng)度理論體系出發(fā)，也可將其僅僅理解為與第二強(qiáng)度理論等相似的一種理論，區(qū)別在于EWK表達(dá)式是一種積分。該理論涉及的4個(gè)材料常數(shù)Dp、α、β、plim可由4種斷裂實(shí)驗(yàn)確定。本文以鋁合金2A12-CZ（LY12-CZ）為材料，分別進(jìn)行如圖1所示5種試驗(yàn)以確定材料常數(shù)（α試驗(yàn)為了得到材料本構(gòu)關(guān)系）。 由試驗(yàn)確定的該材料常數(shù)分別為：Dp=0.234 6，α=2.311 0，β=-0.385 7，plim=1 717MPa。

在有限元計(jì)算時(shí)，EWK算法的實(shí)現(xiàn)是基于單元積分點(diǎn)計(jì)算的。將自行編制的EWK斷裂子程序嵌入ABAQUS主程序中。對(duì)于每個(gè)單元的每個(gè)積分點(diǎn)，主程序每完成一次增量步計(jì)算，子程序提取一次EWK判斷準(zhǔn)則需要的參數(shù)，并進(jìn)行判斷，若達(dá)到斷裂門檻值，積分點(diǎn)楊氏模量置零，否則不作任何變化。遍歷所有單元的積分點(diǎn)后，程序進(jìn)行下一個(gè)增量步計(jì)算。這樣保證了主、子程序之間的實(shí)時(shí)通信，直到外載全部添加完畢為止。算法流程圖如圖2所示，該算法將使斷裂發(fā)生在單元上，故單元越小，其計(jì)算所得的結(jié)果越精確，但它對(duì)單元的形狀沒有任何要求。另外，只要計(jì)算收斂，該算法可一直進(jìn)行到裂紋擴(kuò)展完畢。

3 緊湊拉伸（CT）試樣模擬

3.1 方法

該模型目的在于考察K準(zhǔn)則與EWK準(zhǔn)則的關(guān)系。K準(zhǔn)則對(duì)于彈塑性斷裂的有效性僅僅限于小范圍屈服。因此，為了保證裂紋頂端處于小范圍屈服條件，標(biāo)準(zhǔn)CT試樣（其試樣設(shè)計(jì)以及結(jié)果評(píng)定都需要核實(shí)小范圍屈服及平面應(yīng)變條件）是可靠的。用標(biāo)準(zhǔn)CT試樣可以得到材料的斷裂韌性KIC。反過來說，如果用測(cè)得的KIC值（一般需要用有效裂紋長(zhǎng)度修正后的K準(zhǔn)則）來預(yù)測(cè)CT試驗(yàn)的P-V曲線，其預(yù)測(cè)結(jié)果應(yīng)當(dāng)與試驗(yàn)曲線一致。若采用EWK準(zhǔn)則預(yù)測(cè)，如果其預(yù)測(cè)所得的P-V曲線也與試驗(yàn)曲線一致，則證明了在小范圍屈服條件下，EWK與K準(zhǔn)則有等效性；如果不一致，則說明EWK準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)能力在材料小范圍屈服條件下沒有很好的精度。因此，本節(jié)通過試驗(yàn)與基于EWK準(zhǔn)則的有限元模擬對(duì)比的方法來確認(rèn)上述思想。

試驗(yàn)依據(jù)HB5142-96，試樣厚度B取25mm，寬厚比W/B=2。有限元計(jì)算時(shí)材料模型使用圖1(a)所得的本構(gòu)關(guān)系，其真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線特征數(shù)據(jù)如下：彈性模量71 200MPa，泊松比0.33，屈服應(yīng)力380MPa，極限應(yīng)力590MPa，最大應(yīng)變0.15。裂尖模型建成半徑為0.08mm的半圓，裂尖局部細(xì)化網(wǎng)格，使最小網(wǎng)格尺度為0.1mm。采用8節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元。分別在模型的兩個(gè)銷軸孔處添加1mm的位移載荷，并在模型對(duì)稱軸處約束好1方向的位移，如圖3所示（線切割及疲勞裂紋建成了開口裂紋）。試樣斷口及測(cè)得的P-V曲線取部分點(diǎn)如圖4“Experiment”所示。有限元計(jì)算在斷裂處理上采用1節(jié)中的辦法，單元變剛度引起的收斂性問題可參看文獻(xiàn)[12]。計(jì)算一直持續(xù)到載荷加載完畢或計(jì)算不收斂，其結(jié)果如圖4的“Simulation”所示。

3.2 結(jié)果及討論

對(duì)于平面應(yīng)變的應(yīng)力條件（厚板）而言，一旦起裂，則迅速達(dá)到失穩(wěn)擴(kuò)展，而不像薄板那樣起裂后還可繼續(xù)承載。因此對(duì)于圖4中的曲線，以最大載荷為界限，只有前半段曲線對(duì)KIC計(jì)算有意義。對(duì)于前半段曲線的線性段，有限元模擬比試驗(yàn)略顯剛硬，約2%。原因與計(jì)算采用平面應(yīng)變單元有關(guān)。因?yàn)檎嬲囼?yàn)中，試樣只有沿厚度方向正中間一層才處于純粹平面應(yīng)變狀態(tài)，其上下兩個(gè)表面均處于純粹平面應(yīng)力狀態(tài)，沿厚度方向中心向兩邊是一種平面應(yīng)變狀態(tài)向平面應(yīng)力狀態(tài)的過渡。當(dāng)然這種過渡劇烈，使得絕大部分處于近似的平面應(yīng)變狀態(tài)。而有限元模擬將這“絕大部分”變成了“全部”，于是顯得有些剛硬。有限元計(jì)算所得的最大載荷則顯示了該延性斷裂準(zhǔn)則的精度。由曲線可以看出，三件試樣所得最大載荷均值為21.41kN，有限元計(jì)算所得最大載荷為20.90kN，相對(duì)誤差2.38%。這種考察精度的缺點(diǎn)在于忽略了實(shí)際裂紋長(zhǎng)度的影響。有限元建模時(shí)取裂紋長(zhǎng)度a′=0.5W=25mm，實(shí)際試件在疲勞裂紋預(yù)制時(shí)不可避免會(huì)有長(zhǎng)有短，本試驗(yàn)三個(gè)試樣的裂紋長(zhǎng)度分別為25.29mm、24.00mm、24.57mm。

為了避免裂紋長(zhǎng)度的影響，還可從另一個(gè)種更加客觀的角度去評(píng)價(jià)其精度，即：真實(shí)試驗(yàn)可以得到這種材料的平面應(yīng)變斷裂韌性KIC，而基于EWK斷裂子程序的有限元計(jì)算可看成一種虛擬試驗(yàn)，通過這種虛擬試驗(yàn)也可計(jì)算得到這種材料的平面應(yīng)變斷裂韌性KIC′。于是可通過KIC與KIC′的接近程度來考察EWK延性斷裂準(zhǔn)則的精度。根據(jù)HB5142-96數(shù)據(jù)處理方法，可得三件試樣所得KIC分別為34.15MPa·m1/2、31.82MPa·m1/2、34.85MPa·m1/2，且三組數(shù)據(jù)均有效，均值 KIC為 33.61 MPa·m1/2。 對(duì)于虛擬試驗(yàn)，條件載荷 PQ′=20.05kN，最大載荷 Pmax′=21.41kN，載荷比 Pmax′/PQ′=1.04<1.1，裂紋長(zhǎng)度 a′=25mm，計(jì)算得 KIC′的條件值 KQ′=34.65MPa·m1/2，計(jì)算 2.5(KQ′/σs)2=20.78

4 緊湊拉伸（CS）試樣模擬

4.1 方法

本節(jié)目的在于考察平面應(yīng)力條件下K準(zhǔn)則與EWK準(zhǔn)則的關(guān)系。當(dāng)試樣厚度足夠大，三維約束已經(jīng)達(dá)到平面應(yīng)變條件時(shí)，斷裂韌度KIC是與厚度B和裂紋擴(kuò)展量Δa無關(guān)的材料特性。但當(dāng)試樣厚度很薄，塑性區(qū)尺寸與厚度相比不再是很小，則裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)將處于平面應(yīng)力狀態(tài)。與平面應(yīng)變斷裂問題相比，平面應(yīng)力斷裂問題更為復(fù)雜。其主要原因在于材料起裂后，結(jié)構(gòu)并未馬上進(jìn)入失穩(wěn)，而是可以繼續(xù)承受載荷而出現(xiàn)緩慢、穩(wěn)態(tài)的擴(kuò)展。在這種情況下，材料的抗裂阻力（R）既與結(jié)構(gòu)厚度有關(guān)，又與裂紋擴(kuò)展量Δa有關(guān)。對(duì)于給定厚度而言，測(cè)量K-Δa曲線成為衡量結(jié)構(gòu)斷裂韌性的一種辦法。

于是為了評(píng)價(jià)在平面應(yīng)力條件下EWK斷裂算法的準(zhǔn)確性，可將給定材料給定厚度的標(biāo)準(zhǔn)試樣用基于EWK斷裂準(zhǔn)則的有限元算法計(jì)算其斷裂過程，將計(jì)算得到的K-Δa曲線與真實(shí)試驗(yàn)所得曲線對(duì)比，若兩者符合較好，則說明EWK斷裂算法在平面應(yīng)力條件下有較好精度。為此，采用HB5261-83金屬板材KR-曲線試驗(yàn)方法中的標(biāo)準(zhǔn)緊湊拉伸試樣，取厚度B=2mm，寬度W=400mm，初始裂紋a0=160mm，如圖5所示。裂紋尖端建成半徑為0.08mm的半圓模型，此舉既模擬了裂尖的鈍化效果，又可使劃分網(wǎng)格時(shí)避免應(yīng)力奇異。有限元計(jì)算時(shí)取其一半模型，將對(duì)稱線上沿2方向的位移約束，銷釘孔加拉力載荷，同時(shí)為約束1方向運(yùn)動(dòng)，將對(duì)稱線上遠(yuǎn)離裂尖的地方添加1方向約束。模型采用4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元，在裂尖以及裂紋可能擴(kuò)展的路徑上細(xì)化單元，使其最小尺寸為0.1mm（基本為肉眼可見最小裂紋的尺寸），以保證獲得較為精確的K-Δa，如圖6所示。材料的本構(gòu)關(guān)系采用2節(jié)中的數(shù)據(jù)。

4.2 結(jié)果及分析

有限元計(jì)算時(shí)，有效裂紋增量的計(jì)算根據(jù)HB5261-83“有形裂紋長(zhǎng)度加塑性區(qū)修正量”方法可得如下

其中da表示當(dāng)前可見裂紋擴(kuò)展量，即模型中單元丟失的長(zhǎng)度，ry表示裂紋前沿塑性區(qū)修正量，可用以下公式計(jì)算：

其中KI指當(dāng)前的應(yīng)力強(qiáng)度因子。KR的獲取也可根據(jù)HB5261-83中提供的方法，即

其中P表示當(dāng)前所加的載荷量，可由約束端沿2方向的支反力求出；F （a/W） 表示形狀系數(shù)，可由以下公式計(jì)算：

其中a表示有效裂紋長(zhǎng)度，其計(jì)算表達(dá)式如下

由此可知，此方法中Δa的計(jì)算依賴于當(dāng)前的KR值，而KR的計(jì)算又依賴于當(dāng)前的Δa值，這就形成一對(duì)矛盾。解決該矛盾可采用迭代求解，即取很小的增量步，利用上一步的Δai-1值，根據(jù)公式（8）算得當(dāng)前步 KR(i)值，然后根據(jù)公式（7）、（6）求解當(dāng)前步的 Δai，再利用當(dāng)前步 Δai，求解下一步 KR(i+1)。 在第一步 KR(1)的計(jì)算中，可認(rèn)為上一步 Δa0=0。 將得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)（Δai，KR(i)）每十個(gè)取一個(gè)如圖 7“simulation”所示。并將其擬合成函數(shù)，外推至Δa0=0，可得圖7曲線“Fitting of simulation”。真實(shí)試驗(yàn)擬合所得的KRΔa 曲線如圖 7“Data-1”、“DATA-2”所示，其數(shù)據(jù)源自文獻(xiàn)《中國(guó)航空材料手冊(cè)（第三卷）》[13]，列出 6 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的信息見表1。

表1 試驗(yàn)及模擬所得某些裂紋擴(kuò)展阻力值KR/MPa·m1/2Tab.1 Some resistance values of crack propagation given by tests and simulation,KR/MPa·m1/2

在認(rèn)為試驗(yàn)可靠的前提下，將模擬數(shù)據(jù)與試驗(yàn)所得兩組數(shù)據(jù)的均值做相對(duì)誤差分析，其值可見表1的最后一行。最大相對(duì)誤差出現(xiàn)在Δa=20mm處，即出現(xiàn)在曲線的中部，為6.22%，最小相對(duì)誤差為0.96%，出現(xiàn)在裂紋擴(kuò)展量Δa=10mm處，起裂時(shí)，其相對(duì)誤差為1.29%，6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)平均誤差為3.70%。這些數(shù)據(jù)說明，基于EWK斷裂準(zhǔn)則對(duì)平面應(yīng)力條件下薄板斷裂韌性的預(yù)測(cè)有很好的精度。

5 結(jié) 論

（1）平面應(yīng)變條件下，通過數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比的方法確立了EWK延性斷裂準(zhǔn)則與K準(zhǔn)則之間存在近似等效關(guān)系。

（2）平面應(yīng)力條件下，EWK準(zhǔn)則預(yù)測(cè)裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展所獲得的KR-曲線與現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。

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Studies on comparison between EWK ductile criterion and K criterion in plane state

YANG Feng-ping1,SUN Qin2,LUO Jin-heng1,ZHANG Hua1,ZHANG Yi1
(1 The Key Laboratory for Mechanical and Environmental Behavior of Tubular Goods,CNPC Tubular Goods Research Institute,Xi’an 710065,China;2 School of Aeronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

In order to study the precision of EWK ductile criterion for mode I cracking of metallic material,a subroutine of EWK fracture criterion was programmed and added to ABAQUS’main program.For 2A12-T4 aluminum alloy,under the stress condition of plane strain state,this criterion was compared with K-Criterion in the initial cracking prediction of compact tension specimen.Through comparison of experimental result and FEM result,it is found that EWK criterion and K-Criterion are approximatly equivalent.Under the stress condition of plane stress state,another compact tension specimen was taken as computational model whose cracking was judged by EWK criterion.KR-curve was derived after this computation was complete.It shows that the KR-curve is close to the published experimental data.

EWK ductile criteria;stress intensity factor(SIF);KR-curve;finite element method(FEM)

TB125

A

1007-7294（2011）05-0506-07

2010-05-10

楊鋒平（1982-），男，博士，中國(guó)石油集團(tuán)石油管工程技術(shù)研究院工程師；

孫 秦（1956-），男，西北工業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。