茍凱

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院, 成都610031)

微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展的影響

茍凱

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院, 成都610031)

基于Gong推導(dǎo)的主裂紋與微裂紋的理論解，分析了微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋的影響。通過最大周向應(yīng)力判據(jù)，定性和定量地分析了微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展方向的影響。通過計(jì)算主裂紋的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子，定性地分析了微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展速率的影響。結(jié)果表明：當(dāng)微裂紋區(qū)位于-75°<θ<75°時(shí)，微裂紋區(qū)增加主裂紋的擴(kuò)展速率，而位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°時(shí)，減弱主裂紋的擴(kuò)展速率。當(dāng)微裂紋區(qū)位于-30°<θ<30°時(shí)，對(duì)主裂紋的擴(kuò)展方向影響不大；當(dāng)位于30°<θ<115°和-150°<θ<-115°時(shí)，主裂紋朝逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)；當(dāng)位于-115°<θ<-30°和115°<θ<150°時(shí)，主裂紋朝順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)。這些結(jié)果能夠?yàn)轭A(yù)測(cè)脆性材料的疲勞和斷裂行為提供有用的信息。

主裂紋；微裂紋；最大周向應(yīng)力判據(jù)；擴(kuò)展速率；擴(kuò)展方向

引言

上世紀(jì)以來，人們發(fā)現(xiàn)了疲勞和斷裂是材料失效的主要原因。因此疲勞斷裂問題成為研究工作者的一個(gè)重要的關(guān)注點(diǎn)，斷裂力學(xué)由此發(fā)展起來。斷裂力學(xué)主要研究含裂紋材料的力學(xué)行為。當(dāng)構(gòu)件產(chǎn)生裂紋以后，并不意味著它因此而失效，只要能夠?qū)λ牧W(xué)行為作出準(zhǔn)確的判斷，那么這個(gè)構(gòu)件還是能夠使用的，可以大大節(jié)約成本，這也是斷裂力學(xué)研究的意義所在。

材料在制造和使用過程中，很難避免會(huì)有損傷，產(chǎn)生微缺陷，如微裂紋、微雜質(zhì)等。這些微缺陷對(duì)材料的疲勞和斷裂行為會(huì)產(chǎn)生很大的影響，因此缺陷對(duì)裂紋的影響被很多研究者關(guān)注[1-4]。另一方面，對(duì)于脆性材料，例如混凝土、金屬玻璃等，微裂紋增韌機(jī)制一直是一個(gè)重要的研究領(lǐng)域。微裂紋能夠使主裂紋尖端應(yīng)力集中作用增強(qiáng)，導(dǎo)致裂紋加速擴(kuò)展，也可以使主裂紋尖端應(yīng)力集中效果減弱，導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展減速，甚至不再向前擴(kuò)展。因此很多的科研工作者都研究了微裂紋與主裂紋的相互影響。

Kachanov[5-7]提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的思想來研究裂紋間的相互作用，將裂紋面上作用的面力用面力的平均值代替，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算。閆向橋[8-9]提出了研究裂紋相互作用的數(shù)值方法?；趶椥粤W(xué)復(fù)變函數(shù)方法，Gong[10-12]求解了主裂紋和微裂紋的理論解，進(jìn)一步分析了微裂紋對(duì)主裂紋的影響。還有一些研究者[13-14]利用有限元模擬，研究了裂紋間的相互作用。

這些研究工作揭示了裂紋之間的相互作用機(jī)制。但是很多情況下，特別是對(duì)于脆性材料，微裂紋通常是成群的產(chǎn)生的，這些研究工作并沒有考慮損傷區(qū)或者微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋的影響。本文基于Gong的理論解，考慮一個(gè)微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋的影響。

1理論闡述

1.1半無(wú)限長(zhǎng)主裂紋與微裂紋

圖1顯示的是在一個(gè)無(wú)限大平面中，存在一個(gè)半無(wú)限長(zhǎng)主裂紋與一個(gè)任意方位微裂紋。微裂紋長(zhǎng)度為2a，主裂紋尖端到微裂紋中心的距離為d，微裂紋的方位為θ，微裂紋的角度為φ。通過應(yīng)用彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)解法，Gong對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了求解，得到了主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。微裂紋引起的主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的增量為：

圖1一個(gè)半無(wú)限長(zhǎng)的主裂紋與一個(gè)任意方位的微裂紋

(1)

其中

G11=2cos(θ+φ)+4cos(θ-2φ)+ 8cos2(θ-φ)-6cos(3θ-2φ)- 8cos2(2θ-φ)-3cos3θ+3cosθ

G12=-6sin(2θ+φ)-8sin(θ-2φ)- 6sin(3θ-2φ)+8sin2(2θ-φ)+ 9sin3θ-3sin3θ

G21=-2sin(θ+2φ)+6sin(3θ-2φ)+ 8sin2(2θ-φ)+3sin3θ-sinθ

G22=-6cos(θ+2φ)-4cos2(θ-2φ)+ 8cos2(θ-φ)-6cos(3θ-2φ)+ 8cos2(2θ-φ)+9cos3θ+7cosθ

C11=cos(1.5θ)cos(0.5θ)

C12=-cos(1.5θ)sin(0.5θ)

C21=-sin(1.5θ)cos(0.5θ)

C22=sin(1.5θ)sin(0.5θ)

(2)

那么主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以得到：

(3)

(4)

其中，n表示微裂紋的數(shù)量。

1.2最大周向應(yīng)力判據(jù)

裂紋擴(kuò)展方向的研究是斷裂力學(xué)的一個(gè)重要領(lǐng)域，對(duì)于復(fù)合型裂紋擴(kuò)展，有多個(gè)判據(jù)被提出，例如最大周向應(yīng)力判據(jù)[15]、最小應(yīng)變能密度判據(jù)[16]和最大能量釋放率判據(jù)[17]等。其中應(yīng)用最廣泛的就是最大周向應(yīng)力判據(jù)，因?yàn)樗鼞?yīng)用簡(jiǎn)便，對(duì)脆性材料的擴(kuò)展方向能比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)。最大周向應(yīng)力判據(jù)是由薛昌明提出[15]，對(duì)認(rèn)為裂紋將會(huì)朝周向拉應(yīng)力最大的方向擴(kuò)展，由此可以得到裂紋擴(kuò)展方向：

(5)

其中，β為裂紋擴(kuò)展方向，規(guī)定裂紋逆時(shí)針擴(kuò)展為正，順時(shí)針擴(kuò)展為負(fù)。

2問題描述

本文研究一個(gè)微裂紋區(qū)域?qū)σ粋€(gè)半無(wú)限長(zhǎng)主裂紋的影響，在此先考慮一個(gè)較簡(jiǎn)單的情況，如圖2所示。微裂紋區(qū)域內(nèi)包含5個(gè)長(zhǎng)度相同的微裂紋，微裂紋的長(zhǎng)度均為2a，五條微裂紋的方位分別為θ-20°，θ-10°，θ，θ+10°和θ+20°。五條微裂紋的角度均為φ=0，即均為平行的微裂紋。本文將要分析這個(gè)微裂紋區(qū)域，即損傷區(qū)對(duì)主裂紋的影響。外部載荷考慮最簡(jiǎn)單的情況，在豎直方向上承受遠(yuǎn)端拉伸，即對(duì)于主裂紋是Ⅰ型加載。

圖2一個(gè)半無(wú)限長(zhǎng)的主裂紋和一個(gè)微裂紋區(qū)

3有限元驗(yàn)證

為了驗(yàn)證式(1)～式(3)給出的公式是否正確，在這一部分建立了一個(gè)2維的有限元模型。這個(gè)模型的長(zhǎng)為300 mm，高為400 mm，其中包含一個(gè)表面主裂紋和一個(gè)方位角θ=30°的微裂紋。主裂紋的長(zhǎng)度為10 mm，微裂紋長(zhǎng)度取了三個(gè)值分別為5 mm，2 mm和1 mm。有限元模型的單元類型是plane183，材料的彈性模量為90 GPa，泊松比為0.36。主裂紋尖端和微裂紋尖端均用三角形的奇異單元，有20個(gè)奇異單元圍繞在裂紋尖端一周。有限元的計(jì)算是彈性的。模型的網(wǎng)格劃分如圖3所示。

圖3有限元模型

4結(jié)果與討論

4.1有限元驗(yàn)證

圖4給出的是一個(gè)微裂紋與一個(gè)主裂紋相互作用的結(jié)果。其中的b表示的是主裂紋的長(zhǎng)度。微裂紋的方位角取θ=30°。由圖4可知，主裂紋相對(duì)微裂紋的長(zhǎng)度越大，模擬結(jié)果就越接近理論結(jié)果，這是因?yàn)槔碚摻Y(jié)果是建立在主裂紋是半無(wú)限長(zhǎng)裂紋假設(shè)的基礎(chǔ)上得到的，因此b/a越大，模擬結(jié)果就越接近理論結(jié)果。這也驗(yàn)證了理論公式的正確性。對(duì)于大多數(shù)情況而言，微裂紋相對(duì)于主裂紋時(shí)非常小的，因此Gong[10]給出的理論公式能夠適用于分析微裂紋對(duì)主裂紋的影響問題。同時(shí)可知，隨著微裂紋與主裂紋之間的距離增加，主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子不斷地減小，這是因?yàn)榫嚯x增加，它們之間的影響就變小了。

圖4模擬結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比

4.2微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋區(qū)位置的變化如圖5所示。由圖5可知，主裂紋與微裂紋區(qū)之間的距離越大，主裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子越小，這與圖4的結(jié)果是一致的。由圖5(a)可知，當(dāng)微裂紋區(qū)位于-75°<θ<75°時(shí)，微裂紋區(qū)增強(qiáng)主裂紋的KⅠ，而微裂紋區(qū)位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°時(shí)，微裂紋區(qū)減弱主裂紋的KⅠ。位于θ=105°和θ=-105°時(shí)，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋KⅠ的減弱作用最明顯，位于θ=30°和θ=-30°時(shí)，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋KⅠ的增強(qiáng)作用最明顯。從圖5(b)可以看出，當(dāng)微裂紋區(qū)位于-115°<θ<-30°，0°<θ<30°和115°<θ<150°時(shí)，主裂紋的KⅡ?yàn)檎?。?dāng)微裂紋區(qū)位于其他的位置時(shí)，主裂紋的KⅡ?yàn)樨?fù)值。位于θ=75°和θ=-75°時(shí)，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋KⅡ的增強(qiáng)作用最明顯。

圖5主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋區(qū)位置的變化

4.3微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展速率的影響

由Paris公式[18]可以得知，裂紋擴(kuò)展速率與應(yīng)力強(qiáng)度因子的幅值是成正相關(guān)的關(guān)系。對(duì)于復(fù)合型裂紋，要用等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Keff來表示KⅠ和KⅡ作用的共同結(jié)果[19-21]：

(6)

主裂紋尖端等效應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋區(qū)位置的變化如圖6所示。由圖6可知，主裂紋的Keff和KⅠ的變化情況大致一樣，這是因?yàn)橹髁鸭y的KⅡ比較小，因此它對(duì)等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Keff影響不大。當(dāng)微裂紋區(qū)位于-75°<θ<75°時(shí)，微裂紋區(qū)增加主裂紋的擴(kuò)展速率，而微裂紋區(qū)位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°時(shí)，微裂紋區(qū)減弱主裂紋的擴(kuò)展速率。在θ=105°和θ=-105°時(shí)，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展速率的減小作用最大，在θ=30°和θ=-30°時(shí)，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展速率的增加作用最大。從圖6也能夠看出主裂紋與微裂紋區(qū)之間的距離越大，對(duì)主裂紋的擴(kuò)展速率影響越小。

圖6主裂紋尖端等效應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋區(qū)位置的變化

4.4微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展方向的影響

主裂紋擴(kuò)展方向隨微裂紋區(qū)位置的變化如圖7所示。由圖7可知，當(dāng)微裂紋區(qū)位于-30°<θ<30°時(shí)，對(duì)主裂紋的擴(kuò)展方向影響不大。當(dāng)微裂紋區(qū)位于30°<θ<115°和-150°<θ<-115°時(shí)，主裂紋朝逆時(shí)針方向擴(kuò)展，當(dāng)微裂紋區(qū)大約位于-115°<θ<-30°和115°<θ<150°時(shí)，主裂紋朝順時(shí)針方向擴(kuò)展。當(dāng)微裂紋區(qū)大約位于θ=80°和θ=-80°時(shí)，主裂紋擴(kuò)展方向偏轉(zhuǎn)最大。當(dāng)d/a=2是，主裂紋擴(kuò)展方向最大偏轉(zhuǎn)達(dá)到了45°，說明微裂紋引起了主裂紋劇烈的偏轉(zhuǎn)，這個(gè)影響是非常大的。從圖7中也能看出主裂紋與微裂紋區(qū)之間的距離越大，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋的擴(kuò)展方向影響越小。

圖7主裂紋擴(kuò)展方向隨微裂紋區(qū)位置的變化

5結(jié)論

本文基于Gong的理論公式，分析了微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋的影響，得到的以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1) 當(dāng)主裂紋長(zhǎng)度是微裂紋長(zhǎng)度10倍以上時(shí)，Gong的理論公式是比較準(zhǔn)確的。

(2) 主裂紋與微裂紋區(qū)之間的距離越大，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋的影響越小。

(3) 當(dāng)微裂紋區(qū)位于-75°<θ<75°時(shí)，微裂紋區(qū)增加主裂紋的擴(kuò)展速率，位于θ=30°和θ=-30°時(shí)，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展速率的增加作用最大。而當(dāng)微裂紋區(qū)位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°時(shí)，減弱主裂紋的擴(kuò)展速率，位于θ=105°和θ=-105°時(shí)，微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋擴(kuò)展速率的減小作用最大。

(4) 當(dāng)微裂紋區(qū)大約位于-30°<θ<30°時(shí)，對(duì)主裂紋的擴(kuò)展方向影響不大。當(dāng)微裂紋區(qū)大約位于30°<θ<115°和-150°<θ<-115°時(shí)，主裂紋朝逆時(shí)針方向擴(kuò)展，當(dāng)微裂紋區(qū)大約位于-115°<θ<-30°和115°<θ<150°時(shí)，主裂紋朝順時(shí)針方向擴(kuò)展。當(dāng)微裂紋區(qū)大約位于θ=80°和θ=-80°時(shí)，引起主裂紋擴(kuò)展方向偏轉(zhuǎn)最大。

[1] TAO Y S, FANG Q H, ZENG X,et al.Influence of dislocation on interaction between a crack and a circular inhomogeneity[J].International Journal of Mechanical Sciences,2014,80:47-53.

[2] PENG B,LI Z,FENG M.The mode I crack-inclusion interaction in orthotropic medium[J].Engineering Fracture Mechanics,2015,136:185-194.

[3] PAUL S K.Numerical models to determine the effect of soft and hard inclusions on different plastic zones of a fatigue crack in a C(T) specimen[J].Engineering Fracture Mechanics,2016,159:90-97.

[4] YANG R, XU P, YUE Z,et al.Dynamic fracture analysis of crack-defect interaction for mode I running crack using digital dynamic caustics method[J].Engineering Fracture Mechanics,2016,161:63-75.

[5] KACHANOV M.A simple technique of stress analysis in elastic solids with many cracks[J].International Journal of Fracture,1985,28(1):R11-R19.

[6] KACHANOV M.Elastic solids with many cracks:a simple method of analysis[J].International Journal of Solids & Structures,1987,23(1):23-43.

[7] CHUDNOVSKY A,DOLGOPOLSKY A,KACHANOV M.Elastic interaction of a crack with a microcrack array—II. Elastic solution for two crack configurations (piecewise constant and linear approximations)[J].International Journal of Solids & Structures,1987,23(1):11-21.

[8] 閆相橋.主裂紋與微裂紋相互作用的有效算法[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2006,38(1):119-124.

[9] 閆相橋.有限長(zhǎng)主裂紋與微裂紋的相互作用[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2006,38(4):503-506.

[10] GONG S X,HORII H.General solution to the problem of microcracks near the tip of a main crack[J].Journal of the Mechanics & Physics of Solids,1989,37(1):27-46.

[11] GONG S X,MEGUID S A.Microdefect interacting with a main crack:A general treatment[J].International Journal of Mechanical Sciences,1992,34(12):933-945.

[12] GONG S X.On the main crack-microcrack interaction under mode III loading[J].Engineering Fracture Mechanics,1995,51(5):753-762.

[13] BOUIADJRA B B,BENGUEDIAB M,ELMEGUENNI M,et al.Analysis of the effect of micro-crack on the plastic strain ahead of main crack in aluminium alloy 2024 T3[J].Computational Materials Science,2008,42(1):100-106.

[14] ALAM M M,BARSOUM Z,JONSéN P,et al.Influence of defects on fatigue crack propagation in laser hybrid welded eccentric fillet joint[J].Engineering Fracture Mechanics,2011,78(10):2246-2258.

[15] ERDOGAN F,SIH G C.On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear[J].Journal of Fluids Engineering,1963,85:519-525.

[16] SIH G C.Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems[J].International Journal of fracture,1974,10(3):305-321.

[17] PALANISWAMY K,KNAUSS W.Propagation of a crack under general, in-plane tension[J].International Journal of Fracture,1972,8(1):114-117.

[18] PARIS P C,GOMEZ M P,ANDERSON W E.A rational analytic theory of fatigue[J].The Trend in Engineering,1961,13:9-14.

[19] SCH?LLMANN M,RICHARD H A,KULLMER G,et al.A new criterion for the prediction of crack development in multiaxially loaded structures[J].International Journal of Fracture,2002,117(2):129-141.

[20] RICHARD H,FULLAND M,SANDER M.Theoretical crack path prediction[J].Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures,2005,28(1-2):3-12.

[21] RICHARD H A,SCHRAMM B,SCHIRMEISEN N H.Cracks on mixed mode loading:theories,experiments,simulations[J].International Journal of Fatigue,2014,62(2):93-103.

Influence of a Micro-crack Zone on the Macro-crack Propagation

GOUKai

(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The influence of a micro-crack zone on the macro-crack is analyzed based on the theoretical equation derived by Gong. The influence of the micro-crack zone on the macro-crack propagation direction is quantitatively and qualitatively investigated by the maximum circumferential stress criterion. And the influence of the micro-crack zone on the macro-crack propagation rate is qualitatively studied by the calculation of the equivalent stress intensity factor. The results show that the micro-crack zone increases the macro-crack propagation rate at -75°<θ<75°, while it decreases the macro-crack propagation rate at -150o<θ<-75° and 75°<θ<150°. The micro-crack zone has a little effect on the macro-crack propagation direction at -30°<θ<30°. The macro-crack propagates along the counterclockwise direction at 30°<θ<115° and -150°<θ<-115°, while the macro-crack propagates along the clockwise direction at -115°<θ<-30° and 115°<θ<150°. The results obtained in the paper are useful to predict fatigue and fracture behavior of brittle materials.

macro-crack; micro-crack; maximum circumferential stress criterion; propagation rate; propagation direction

2017-02-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372259)

茍 凱(1993-),男,陜西咸陽(yáng)人,碩士生,主要從事裂紋擴(kuò)展方面的研究,(E-mail)2424947668@com

1673-1549(2017)03-0051-05

10.11863/j.suse.2017.03.11

U211.5

A