鄺向軍， 賈連寶

(西南科技大學(xué)理學(xué)院， 四川綿陽621010)

任意四邊形均勻帶電線的空間電勢和空間電場計算

鄺向軍， 賈連寶

(西南科技大學(xué)理學(xué)院， 四川綿陽621010)

由位于坐標(biāo)軸上的均勻帶電直線電勢表達(dá)式出發(fā)，給出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時的電勢表達(dá)式，然后，利用電場強(qiáng)度與電勢梯度的關(guān)系，導(dǎo)出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時的電場強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式。只需將各個頂點的坐標(biāo)相應(yīng)地代入表達(dá)式，采取分段計算然后疊加的方法，原則上可以計算任意多邊形均勻帶電線的電勢和電場。實例計算任意四邊形均勻帶電線的空間電勢和空間電場，并討論了矩形、正方形及其中心軸線上的特殊情況。給出了一個計算任意多邊形均勻帶電線的普遍方法，具有良好的普適性。所得到的電勢分布和電場分布都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，具體、準(zhǔn)確，便于在工程技術(shù)中應(yīng)用。

任意四邊形均勻帶電線；分段計算；空間電勢；空間電場

引言

一定形狀的均勻帶電線的空間電勢和空間電場計算是電磁學(xué)中的一個重要問題，在各種不同的均勻帶電線中，具有軸對稱性的圓形帶電線分布以及與其相關(guān)帶電體的電勢和電場強(qiáng)度的計算研究得比較多[1-9]。矩形和正方形均勻帶電線的電勢和電場也有研究[10-11]。而對于對稱性不高的任意多邊形帶電線，由于其電勢和電場的計算非常復(fù)雜，則研究得非常少[12-13]。雖然已經(jīng)對任意三角形帶電線的空間電勢和電場進(jìn)行了計算[12]，但是，該方法不具有普適性。本文從位于坐標(biāo)軸上的均勻帶電直線的電勢表達(dá)式出發(fā)[14]，給出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時的電勢表達(dá)式，進(jìn)而導(dǎo)出了它的電場強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式。只需將各個頂點的坐標(biāo)相應(yīng)地代入該表達(dá)式，采取分段計算然后疊加的方法，原則上就可以計算任意多邊形均勻帶電線的空間電勢和電場，具有良好的普適性。實例計算任意四邊形均勻帶電線的空間電勢和空間電場，并討論了矩形、正方形及其中心軸線上的特殊情況。

1任意位置均勻帶電直線的空間電勢和空間電場

一均勻帶電直線，電荷線密度為λ，長為2l。取帶電直線的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖1所示的平面坐標(biāo)系oxy，取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點位置，則該帶電直線上的dx′在任意場點P(x,y)產(chǎn)生的電勢為：

(1)

該均勻帶電直線在P(x,y)產(chǎn)生的電勢為[14]：

(2)

圖1有限長均勻帶電直線的電勢

計算由均勻帶電直線組成的帶電體的電場時，均勻帶電直線未必正好在坐標(biāo)軸上，因此，需要得到均勻帶電直線在空間任意位置時的電勢表達(dá)式和電場表達(dá)式。如圖2所示，不失一般性，設(shè)均勻帶電直線AB位于oxy平面內(nèi)，兩端點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1,0)和B(x2,y2,0)，場點P的坐標(biāo)為P(x,y,z)，顯然有

圖2有限長帶電直線電場的分量表達(dá)式

代入(2)式，有：

(3)

根據(jù)電場強(qiáng)度與電勢梯度的關(guān)系，可得到在空間任意位置時的均勻帶電直線的電場強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式分別為：

(4)

(5)

(6)

2任意四邊形均勻帶電線的空間電勢和空間電場

如圖3所示，不失一般性，以任意四邊形均勻帶電線所在的平面為oxy平面，四個頂點的坐標(biāo)分別為A(l1,l2,0)、B(l3,l4,0)、C(l5,l6,0)和D(l7,l8,0)，場點坐標(biāo)為P(x,y,z)，電荷線密度為λ。對AB、BC、CD和DA四條邊，分別有：

圖3均勻帶電任意四邊形線框的電勢和電場

相應(yīng)地代入(3)式后，可得任意四邊形均勻帶電線的空間電勢為：

(7)

代入式(4)、式(5)和式(6)，可得任意四邊形均勻帶電線的電場為：

(8)

(9)

(10)

3討論

對于長為2l1、寬為2l2矩形線框，l3=l5=-l1，l6=l8=-l2，l4=l2，l7=l1，此時有：

代入(7)式可得矩形均勻帶電線的空間電勢為：

(11)

代入式(8)、式(9)和式(10)則可得矩形均勻帶電線的電場為：

(12)

(13)

(14)

若場點P恰好在中心軸線上，則再令x=y=0，可得矩形線框中心軸線上的電勢和電場強(qiáng)度分別為：

(15)

EPx=0，

(16)

在上述矩形線框結(jié)果的基礎(chǔ)上，再令l1=l2=l，就可得到均勻帶電正方形線框的空間電勢和空間電場分布表達(dá)式。若場點P在正方形線框的中心軸線上，則有：

(17)

EPx=0，

(18)

4結(jié)束語

本文從位于坐標(biāo)軸上的均勻帶電直線的電勢表達(dá)式出發(fā)，給出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時的電勢表達(dá)式，進(jìn)而利用電場強(qiáng)度與電勢梯度的關(guān)系，導(dǎo)出了均勻帶電直線在xy平面內(nèi)任意空間位置時的電場強(qiáng)度坐標(biāo)分量表達(dá)式。只需將各個頂點的坐標(biāo)相應(yīng)地代入該表達(dá)式，采取分段計算然后疊加的方法，原則上利用此表達(dá)式可以計算任意多邊形均勻帶電線的空間電勢和電場，提供了一個計算任意多邊形均勻帶電線的普遍方法，具有良好的普適性。實例計算任意四邊形均勻帶電線的空間電勢和空間電場，并討論了矩形、正方形及其中心軸線上的特殊情況。

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Electric Potential and Electric Field Calculations onArbitrarily Quadrilateral Uniformly Charged Coil

KUANGXiangjun,JIALianbao

(School of Science, Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621002, China)

Using the expression of electric potential distribution for uniformly charged wire, the electric potential distribution expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is derived. Then, using the relation between electric potential gradient and electric field, the electric field intensity coordinate component expression for uniformly charged wire at arbitrarily space position is gotten. Introducing each vertex coordinates into the above expression accordingly, adopting the method of piecewise calculation and overlay, the electric potential and electric field of arbitrary polygon charge wire can be calculated in principle. As an example, the electric potential and electric field of arbitrarily quadrilateral charged coil are calculated, and the special cases for uniformly rectangular and square charged coil are discussed. A common method for calculating arbitrary polygon charged wire is presented which has good universality. The results of electric potential and electric field distribution is a function of spatial coordinates. It is specific, accurate, and convenient for application in engineering.

arbitrarily quadrilateral uniformly charged coil; subsection calculation; electric potential distribution; electric field distribution

2017-03-19

國家自然科學(xué)基金(11505144)

鄺向軍(1967-)，湖南永州人，教授，博士，主要從事凝聚態(tài)物理方面的研究，(E-mail)kuangxiangjun@163.com

1673-1549(2017)03-0079-06

10.11863/j.suse.2017.03.16

O441

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