甘恒一 胡 安 湯辰旭 姜付錦

(黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430030)

1 題目

如圖1所示，在第一象限內(nèi)存在垂直紙面向外的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=B0+kx,(B0>0,k>0且都是常數(shù))，x為某點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，有一個(gè)邊長為L的正方形導(dǎo)體線框ABCD沿x軸從原點(diǎn)以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)，求導(dǎo)體線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E.

圖1 題目題圖

設(shè)AD所在位置坐標(biāo)為xD，BC邊所在位置為

xC，由法拉第電磁感應(yīng)定律，則

EAD=BDLv0EBC=BCLv0xC-xD=L

導(dǎo)體線框中的總電動(dòng)勢(shì)為

E=BCLv0-BDLv0=L2kv0

2 若導(dǎo)體線框是正三角形會(huì)怎樣

總電動(dòng)勢(shì)微元

把上式求定積分得

圖2 導(dǎo)體線框邊長為L的正三角形

3 若導(dǎo)體線框是一個(gè)半徑為R的圓形，則結(jié)果又如何

如圖3所示，在夾角為θ兩邊對(duì)稱位置取微元Rdθ，則電動(dòng)勢(shì)微元為

dE=dE2-dE1=[B0+k(x0+Rsinθ)]Rv0·

sinθdθ-[B0+k(x0-Rsinθ)]Rv0sinθdθ

整理后得

dE=2RsinθkRv0sinθdθ=2R2kv0sin2θdθ

對(duì)以上式子求定積分得

圖3 導(dǎo)體線框?yàn)榘霃絉的圓形

4 一點(diǎn)猜想

當(dāng)導(dǎo)體線框是正方形時(shí)，導(dǎo)體線框中的總電動(dòng)勢(shì)為

E=BCLv0-BDLv0=L2kv0

當(dāng)導(dǎo)體線框是正三角形時(shí)，導(dǎo)體線框中的總電動(dòng)勢(shì)為

當(dāng)導(dǎo)體線框是圓形時(shí)，導(dǎo)體線框中的總電動(dòng)勢(shì)為

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)體線框的面積成正比，比例系數(shù)為kv0，為什么是這樣的呢？

5 數(shù)學(xué)證明

如圖4所示，假設(shè)導(dǎo)體線框是任意形狀的封閉曲線，把曲線在縱向平均分割成無數(shù)個(gè)條狀面元，每個(gè)面元的高度為Δy，在其上任意選擇一個(gè)矩形ABCD，則這個(gè)矩形中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

dE=(B0+kxD)v0Δy-(B0+kxA)v0Δy=

v0k(xD-xA)Δy=v0kΔxΔy

上式中的ΔyΔx正好是面元的面積，所以對(duì)它求定積分后就是導(dǎo)體線框的面積.

綜上所述，在隨位移均勻變化的磁場(chǎng)中，導(dǎo)體線框在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)體線框的面積成正比，比例系數(shù)為kv0.

圖4 導(dǎo)體線框?yàn)槿我庑螤畹姆忾]曲線